陳曉穎

[摘 要]導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)及其性質(zhì)的重要工具.導(dǎo)數(shù)可以解決函數(shù)中的最值問題、恒成立問題、不等式問題.研究導(dǎo)數(shù)在解題中的應(yīng)用具有現(xiàn)實(shí)意義.

[關(guān)鍵詞]導(dǎo)數(shù)；高考；解題；策略

[中圖分類號(hào)] G633.6 [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A [文章編號(hào)] 1674-6058（2018）14-0004-02

近年有的省高考題中出現(xiàn)將導(dǎo)數(shù)和不等式、函數(shù)的單調(diào)性等有機(jī)設(shè)計(jì)的綜合題.本人結(jié)合平時(shí)教學(xué)實(shí)踐，就導(dǎo)數(shù)在解題中的應(yīng)用作個(gè)淺析.

一、求函數(shù)的切線

【例1】 （1）曲線[y=x3-x+3]在點(diǎn)[（1，3）]處的切線方程為 .

分析：此題主要考查導(dǎo)數(shù)在某點(diǎn)處的切線方程及導(dǎo)數(shù)的幾何意義.

解：[y′|x=1=3×12-1=2]，[∴]切線方程為[y-3=2（x-1）]，即[2x-y+1=0].

（2）若曲線[y=ax2-lnx]在點(diǎn)[（1，a）]處的切線平行于[x]軸，則[a=] .

分析：此題主要考查由切線方程求參.

解： [y′=2ax-1x，y′|x=1=2a-1=0，∴a=12] .

<攻略一>函數(shù)[y=f（x）]在點(diǎn)[x0]處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義就是[y=][f（x）]在點(diǎn)[P（x0，f（x0））]處的切線的斜率，即[k切線=f′（x0）].此類考題主要是利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義解決.

二、求函數(shù)的單調(diào)性、極值和最值

【例2】 設(shè)函數(shù)[f（x）=x3-kx2+x] [k∈R].

（1） 當(dāng)[k=1]時(shí)，求函數(shù)[f（x）]的單調(diào)區(qū)間；

（2） 當(dāng)[k<0]時(shí)，求函數(shù)[f（x）]在[k，-k]上的最小值[m]和最大值[M].

分析：此題考查函數(shù)的單調(diào)性、極值以及最值.第（1）問利用導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)；第（2）問函數(shù)表達(dá)式、定義域中含有參數(shù)k，故需要分類討論，分類標(biāo)準(zhǔn)為考慮區(qū)間[k，-k]與對(duì)稱軸[x=k3] 的關(guān)系.

解：（1）當(dāng)[k=1]時(shí)，[f ′x=3x2-2x+1，Δ=4-12=-8<0]， [∴f ′x>0]，[fx]在[R]上單調(diào)遞增.

（2）當(dāng)[k<0]時(shí)，[f ′x=3x2-2kx+1]，其開口向上，對(duì)稱軸[x=k3] ，且過[0，1] ，如圖所示.

（i）當(dāng)[Δ=4k2-12=4k+3k-3≤0]，即[-3≤k<0]時(shí)，[f ′x≥0]，[fx]在[k，-k]上單調(diào)遞增.[∴fxmin=][m=fk=k]，[fxmax=][M=f-k=-k3-k3-k=-2k3-k].

（ii）當(dāng)[Δ=4k2-12=4k+3k-3>0]，即[k<-3]時(shí)，令[f ′x=3x2-2kx+1=0 ，]解得 [x1=k+k2-33，x2=k-k2-33]，

由[k

[∵fx1-fk=x31-kx21+x1-k]

[=x1-k·x21+1>0 ]，

[∴fxmin]=[m=fk=k]，

[∵fx2-f-k=x32-kx22+x2--k3-k?k2-k=x2+k[x2-k2+k2+1]<0，]

[∴fxmax]=[M=f-k=-2k3-k.]

綜上所述，當(dāng)[k<0]時(shí)，[fxmax]= [m=fk=k]，[fxmax=][M=f-k=-2k3-k].

<攻略二>首先求出函數(shù)的定義域.利用導(dǎo)數(shù)求出單調(diào)區(qū)間進(jìn)而求極值及最值.此題是求動(dòng)區(qū)間上的最值問題，含有字母參數(shù)的應(yīng)重點(diǎn)分析參數(shù)的取值范圍對(duì)結(jié)論的影響.本題第二問關(guān)鍵在求最大值，需要因式分解，才能找到極值點(diǎn)的位置，進(jìn)而求最值.

三、解決零點(diǎn)存在的問題

【例3】 已知函數(shù)[f（x）=ex-ax2-bx-1]，其中[a，b∈R]，[e=2.71828…]為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).

若[f（1）=0]，函數(shù)[f（x）]在區(qū)間[（0，1）]內(nèi)有零點(diǎn)，求[a]的取值范圍.

分析：此題主要考查函數(shù)取最值的條件及函數(shù)的零點(diǎn)求參，屬于綜合問題由零點(diǎn)求[a]的取值范圍.轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題，利用導(dǎo)數(shù)求最值.

解：由[f（1）=0][?][e-a-b-1=0][?][b=e-a-1]，又[f（0）=0].

若函數(shù)[f（x）]在區(qū)間[（0，1）]內(nèi)有零點(diǎn)，則函數(shù)[f（x）]在區(qū)間[（0，1）]內(nèi)至少有三個(gè)單調(diào)區(qū)間.

當(dāng)[a≤12]或[a≥e2]時(shí)，函數(shù)[g（x）]即[f ′（x）]在區(qū)間[[0，1]]上單調(diào)，不滿足“函數(shù)[f（x）]在區(qū)間[（0，1）]內(nèi)至少有三個(gè)單調(diào)區(qū)間”.

若[12

令[h（x）=32x-xlnx-e-1]（[10?x

所以[h（x）]在區(qū)間[（1，e）]上單調(diào)遞增，在區(qū)間[（e，e）]上單調(diào)遞減.

[h（x）max=h（e）=32e-elne-e-1=e-e-1<0]，即[g（x）min<0]恒成立.

于是，函數(shù)[f（x）]在區(qū)間[（0，1）]內(nèi)至少有三個(gè)單調(diào)區(qū)間[?][g（0）=2-e+a>0g（1）=-a+1>0][?a>e-2a<1].

又[12

<攻略三>函數(shù)零點(diǎn)或方程的實(shí)數(shù)根與函數(shù)的單調(diào)性關(guān)系是解決此類問題的關(guān)鍵.處理零點(diǎn)問題的基本方法是轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性及極值、最值來(lái)處理函數(shù)的圖像與x軸交點(diǎn)問題.

四、解決恒成立問題

【例4】 已知函數(shù)[f（x）=ex-ax]，其中[a]>0，[x∈R，f（x）≥1]恒成立，求[a]的取值集合.

分析：利用導(dǎo)函數(shù)法求出[f（x）min=f（lna）=a-alna.]對(duì)一切[x∈R， f（x）≥1]恒成立，轉(zhuǎn)化為[f（x）min≥1]，從而得出求[a]的取值集合.

解： [f ′（x）=ex-a，]令[f ′（x）=0得x=lna].當(dāng)[xlna]時(shí)，[f ′（x）>0， f（x）]單調(diào)遞增.故當(dāng)[x=lna]時(shí)，[f（x）]取最小值[f（lna）=a-alna.]

于是對(duì)一切[x∈R，f（x）≥1]恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)[a-alna≥1].①

令[g（t）=t-tlnt，]則[g′（t）=-lnt.]當(dāng)[00，g（t）]單調(diào)遞增；當(dāng)[t>1]時(shí)，[g′（t）<0，g（t）]單調(diào)遞減 . [∴]當(dāng)[t=1]時(shí)，[g（t）]取最大值[g（1）=1].因此，當(dāng)[a=1]時(shí)，①式成立.綜上，[a]的取值集合為[1].

<攻略四>解決恒成立問題通常轉(zhuǎn)化為構(gòu)造函數(shù)求最值，即f （x） [≥]m恒成立可轉(zhuǎn)化為f（x）min [≥]m，從而得出m的取值范圍.

總之，通過對(duì)近幾年高考試題的分析，發(fā)現(xiàn)導(dǎo)數(shù)在解決數(shù)學(xué)函數(shù)問題時(shí)使用非常方便，尤其利用導(dǎo)數(shù)來(lái)解決函數(shù)的單調(diào)性、最值、不等式恒成立、零點(diǎn)問題.

（責(zé)任編輯 黃桂堅(jiān)）