胡錦昌,張洪華,王澤國,陳上上

0 引 言

航天器在實際運行過程中，一般要受到外界干擾作用和控制力矩飽和的限制.關(guān)于同時考慮輸入飽和與外界干擾的姿態(tài)控制問題，已有諸多文獻進行過研究.文獻[1]設(shè)計了一種類滑模的連續(xù)控制律來抑制有界干擾的影響；文獻[2]利用飽和函數(shù)和自適應(yīng)控制律來解決有界輸入下的抗干擾問題.文獻[1-2]的共同問題是其中的自適應(yīng)參數(shù)有可能趨于零，此時無法保證四元數(shù)矢量部分收斂到零.文獻[3]則在輸入飽和的約束下，進一步考慮了輸入不確定性和速率受限的情形.文獻[4]提出了一種飽和PD+干擾抑制項的飽和控制器，其中的干擾抑制項根據(jù)干擾類型的不同而具有不同的形式.

本文研究采用飽和PD控制律時，姿態(tài)系統(tǒng)受到不同干擾時的閉環(huán)穩(wěn)定性問題.文獻[5]已證明在PD控制律作用下，姿態(tài)系統(tǒng)的平衡點是近乎全局收斂的.事實上，如果速率反饋項具有飽和限制的話，那么姿態(tài)系統(tǒng)的平衡點仍然是收斂的.文獻[6]指出，由于姿態(tài)空間SO(3)的特性，任何連續(xù)控制律都不可能使得任意平衡點獲得全局穩(wěn)定的結(jié)果.對于四元數(shù)表述的姿態(tài)系統(tǒng)，由于兩個符號相反的四元數(shù)表示物理空間完全相同的方向，因此連續(xù)控制律將有可能產(chǎn)生“退繞”現(xiàn)象.為避免退繞問題，文獻[7]設(shè)計了具有時滯的混雜型控制器，而文獻[8]設(shè)計的混雜控制器則需要知道慣量陣信息.文獻[7-8]的問題是沒有對受到干擾時的情形進行分析.從目前的文獻調(diào)研來看，目前很少有學(xué)者研究過姿態(tài)系統(tǒng)在飽和PD控制作用下，如果受到外界干擾時的閉環(huán)特性.本文將對此進行較為深入的研究：首先針對連續(xù)飽和PD控制律下閉環(huán)系統(tǒng)的行為特性進行研究，然后設(shè)計混雜型的控制律以進一步獲得魯棒控制的結(jié)果.

1 問題描述與定義

考慮四元數(shù)描述的剛體姿態(tài)方程

(1)

(2)

本文的控制目標為：在控制力矩u有界的情形下，設(shè)計控制律使得四元數(shù)矢量部分和角速度趨于零或者最終有界.

2 不同干擾下的閉環(huán)控制結(jié)果

2.1 干擾平方可積的情形

考慮采用如下形式的連續(xù)飽和控制律：

u=-kpqv-σM(kvω)

(3)

其中：σ(·):R3→R3為矢量形式的飽和函數(shù)，其定義為：?s∈R3，(σM(s))i=sign(si)min{M,|si|}，i=1,2,3;M為飽和幅值.

將式(3)代入式(2)可得姿態(tài)動力學(xué)閉環(huán)形式為：

(4)

假設(shè)干擾僅漸近收斂到零，即

d(t)→0，t→∞

由于在控制器式(3)的作用下，平衡點(q0,qv,ω)=(1,0,0)屬于鞍點，因此將無法保證閉環(huán)系統(tǒng)平衡點(qv,ω)=0的收斂性.為避免此問題，需要干擾至少是二階收斂的.其結(jié)果如定理1所示.

定理1. 考慮(1)～(2)所示的姿態(tài)系統(tǒng).設(shè)計式(3)所示的控制器.假設(shè)干擾為二階可積的，即有：

那么對任意初始狀態(tài)，均有：

qv(t)→0，ω(t)→0，t→∞

證明.構(gòu)造Lyapunov函數(shù)如下：

(5)

對V1沿閉環(huán)系統(tǒng)求導(dǎo)可得：

(6)

對式(6)應(yīng)做兩種情形下的分析：

1)對于i∈{1,2,3}，若|kvωi|≤M，此時有：

ωi[-σM(kvωi)+di(t)]

(7)

其中0<χ

2)對于i∈{1,2,3}，若|kvωi|>M

注意到di(t)→0，因此總能找到有限時間T0>0，使得

?t>T0

(8)

此時應(yīng)有：

ωi[-σM(kvωi)+di(t)]

≤-|ωi|[M-|di(t)|]

(9)

由式(7)和(9)可見，兩種情形下均有：

i=1,2,3, ?t>T0

(10)

于是由式(6)有：

?t>T0

(11)

對式(11)兩邊同時積分，可得：

?t>T0

(12)

易證姿態(tài)系統(tǒng)不存在有限逃逸時間，因此V1(t)在時間[0,T0)內(nèi)是有界的.又由條件知d(t)是二階可積的，因此由式(12)可知V1(t)在[0,∞)內(nèi)是有界的.由式(5)可知ω是全局有界的，即ω∈L∞.設(shè)在時間區(qū)間[0,∞)內(nèi)ω的最大值為Mω，則必能找到充分小的正數(shù)φ>0，使得

?t>T0

(13)

從而式(9)可以化簡為

ωi[-σM(kvωi)+di(t)]

(14)

利用(7)、(14)可進一步推得在1)、2)兩種情形下有：

ωi[-σM(kvωi)+di(t)]

(15)

其中γ:=min{(kv-χ),φ}

將式(15)代入式(6)，可得

?t>T0

(16)

又由

?t>T0

(17)

注1. 定理1只是證明了對于任意初始條件，四元數(shù)矢量部分均趨于零，即qv(t)→0，但是無法保證q0→1還是q0→-1.事實上，對于近乎所有工況，都有q0→1.這導(dǎo)致對q0(0)在-1附近的工況也收斂于q0→1，這就導(dǎo)致了退繞現(xiàn)象.

注2. 對于僅d(t)→0的情形，可能對于某些初始條件可以先保持在q0=-1附近，而后再轉(zhuǎn)移到q0=1附近.在轉(zhuǎn)移的過程中可能導(dǎo)致四元數(shù)和角速度變得很大.由于開始轉(zhuǎn)移的時間可能是任意的，這就不滿足收斂性的定義.因此此時無法得到qv(t)→0和ω(t)→0的結(jié)論.

注3. 定理1可以應(yīng)用在具有干擾辨識的控制器設(shè)計當中.假設(shè)干擾為常值，設(shè)控制器為如下的飽和PD+前饋形式：

(18)

(19)

(20)

由式(20)可得干擾辨識誤差為：

(21)

(22)

利用定理1即可證明閉環(huán)系統(tǒng)平衡點的收斂性.

2.2 混雜型飽和控制律的收斂結(jié)果

當干擾不屬于二階可積時，為保證閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性或魯棒性，可以設(shè)計具有時滯的混雜型控制器.設(shè)計控制器為如下形式[4]：

u=-kphqv-σM(kvω)

(23)

其中h為具有時滯的切換型變量，其變化律為

(24)

其中δ>0為選擇的切換閾值，c>0應(yīng)充分小.

將式(23)代入式(2)可得：

(25)

可以證明當干擾d(t)→0時，平衡點(hq0,ω)=(1,0)是全局漸近穩(wěn)定的.這放松了定理1干擾二階可積的要求.

定理2. 設(shè)輸入力矩采用式(23)、(24)所示的混雜型姿態(tài)控制律.則當干擾d(t)→0時平衡點(hq0,ω)=(1,0)是全局漸近穩(wěn)定的.

證明.構(gòu)造Lyapunov函數(shù)如下：

(26)

對V2按時間進行求導(dǎo)可得：

(27)

由于d(t)→0，因此對于任意小的ε>0，必能找到有限時間T1>0，使得：

‖d(t)‖1≤ε，t>T1

(28)

定義區(qū)域

(29)

假設(shè)ω?Ω，則易知

‖kvω‖∞>ε

(30)

從而可得：

(31)

(32)

因此ω(t)必然在[T1,∞)內(nèi)必然是有界的.而由于閉環(huán)系統(tǒng)在[0,T1)內(nèi)沒有有限逃逸時間，因此ω(t)必然在[0,∞)內(nèi)是全局有界的.

構(gòu)造Lyapunov函數(shù)

(33)

其中的c與式(24)中的c相同.

可以證明，當c充分小時有：

(34)

其中P1，P2是適當?shù)恼ň仃?，由于篇幅所限，這里省略其具體形式.由式(34)可見V3是關(guān)于x的凸函數(shù).

一方面，在離散控制域，由式(24)應(yīng)有：

≤-4kpδ<0

(35)

另一方面，在連續(xù)控制域，對V3求導(dǎo)可得：

≤-ωTσM(kvω)-ckp‖qv‖2+

(chqv+ω)Td(t)

(36)

由于角速度全局有界，因此必然可以找到充分小的數(shù)φ2，使得

-ωTσM(kvω)≤-φ2kvωTω

(37)

將式(37)代入(36)可得：

chkv‖qv‖‖ω‖+(chqv+ω)Td(t)

(38)

其中

(39)

易證如果c充分小那么Q總能保持正定.

定義區(qū)域：

(40)

由式(35)和(38)可知，對于?x?Θ，V3(t)對于連續(xù)和離散控制域都是遞減的.因此必然有x(t)→Θ.由(28)可知，Θ的半徑由干擾d(t)的大小決定，由d(t)→0，可知Θ→0，由此容易證明x(t)→0.

注4. 對于干擾d(t)任意小但不趨于零的情形，類似定理2可以證明四元數(shù)和角速度的最終界也將是任意小的.當注3中的干擾是時變但導(dǎo)數(shù)有界的情形即可屬于該種情形.此時可以設(shè)計參數(shù)β使得干擾辨識誤差任意小，從而可以證明四元數(shù)和角速度的最終誤差可以任意小.

3 數(shù)值仿真

選取航天器的慣量為：

初始狀態(tài)為：

q0(0)=-0.899 5，

qv(0)=[0.06 0.08 0.01]T，

ω(0)=[0.343 8 0.458 4 0.057 3]T(°)/s

選取控制參數(shù)：kp=6，kv=80，c=0.01，δ=0.01，飽和限幅值M=0.5.

針對連續(xù)控制器的情形，設(shè)干擾為如下指數(shù)衰減形式：

d(t)=(1,1,1)Te-0.1tN·m

易知干擾是平方可積的.圖1與圖2分別顯示了四元數(shù)和角速度的控制結(jié)果.由圖可見，四元數(shù)矢量部分和角速度最終收斂到零.雖然物理上姿態(tài)初值已經(jīng)接近平衡點，但是圖1四元數(shù)標量部分卻從-1最終變化到1，表明發(fā)生了姿態(tài)的退繞現(xiàn)象.由圖2可見，在退繞過程中，角速度產(chǎn)生了較大的峰值，這表明退繞不僅使得姿態(tài)運動更長的路徑，對姿態(tài)穩(wěn)定也產(chǎn)生了不利的結(jié)果.

針對混雜型控制器的情形，設(shè)干擾為如下形式：

d(t)=(1,1,1)T/(1+10t)1/2N·m

易知干擾是不能二階可積的，但是d(t)→0.圖3與圖4分別顯示了四元數(shù)和角速度的控制結(jié)果.由圖可見，由于采用了混雜型的控制器，本體姿態(tài)和角速度最終收斂到(q0,ω)=(-1,0)T，且并沒有發(fā)生退繞現(xiàn)象.仿真結(jié)果表明了混雜型控制器設(shè)計的有效性.

4 結(jié) 論

本文針對飽和PD控制器作用下的剛體航天器姿態(tài)系統(tǒng)，研究了不同干擾作用下的閉環(huán)系統(tǒng)行為.由于姿態(tài)空間SO(3)的特殊性，采用連續(xù)控制器會產(chǎn)生退繞現(xiàn)象.但是對于外界干擾二階可積的情形來說，采用連續(xù)型飽和PD控制器仍然可以獲得四元數(shù)矢量部分和角速度收斂于零的結(jié)論；對于外界干擾不能二階可積但收斂于零的情形，可以設(shè)計混雜型控制器避免退繞現(xiàn)象并保證物理平衡點是全局漸近穩(wěn)定的.文章最后利用數(shù)值仿真驗證了所設(shè)計控制器的有效性.本文結(jié)論對姿態(tài)系統(tǒng)的控制具有一定的指導(dǎo)意義.