趙 雙 ，張雅聲，戴樺宇

0 引 言

星座從初始構(gòu)型變換到另一種構(gòu)型，稱之為星座構(gòu)型重構(gòu)[1].當(dāng)星座中出現(xiàn)故障衛(wèi)星或者星座任務(wù)發(fā)生變化時一般會通過在軌資產(chǎn)響應(yīng)或地面資產(chǎn)響應(yīng)的方式對星座構(gòu)型進(jìn)行調(diào)整來改善和恢復(fù)星座性能.

文獻(xiàn)[2]針對連續(xù)多顆衛(wèi)星失效的情況，以最大不可視時間為評價指標(biāo)，提出了調(diào)整相鄰衛(wèi)星、均勻相位和均勻星座3種星座重構(gòu)策略綜合考慮燃料消耗和重構(gòu)時間，提出了以總重構(gòu)時間最小為優(yōu)化目標(biāo)的衛(wèi)星星座快速重構(gòu)構(gòu)型優(yōu)化設(shè)計方法.文獻(xiàn)[3]針對全球衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)在部分衛(wèi)星失效的情況下，通過調(diào)整剩余衛(wèi)星的軌道進(jìn)行星座重構(gòu)，達(dá)到降低失效影響、優(yōu)化地面導(dǎo)航性能的目的.文獻(xiàn)[4]研究了將GPS從6軌道面變換到3軌道面時，對星座性能影響最小的構(gòu)型變換重構(gòu)控制策略.文獻(xiàn)[5]研究了混合導(dǎo)航星座的中高軌道子星座重構(gòu)策略和同軌道面內(nèi)重構(gòu)的方法，分析了重構(gòu)優(yōu)化目標(biāo)與方法.

上述重構(gòu)方法均屬于在軌資產(chǎn)響應(yīng)的范疇.通常認(rèn)為在軌資產(chǎn)的響應(yīng)速度要比地面資產(chǎn)的響應(yīng)速度快，然而事實卻正好相反.一方面，在軌運行的航天器其運行速度往往都很大，要改變其運行狀態(tài)必然要付出很大的代價[6]；另一方面，地面快速響應(yīng)可以相對自由地選擇航天器的發(fā)射時間、發(fā)射地點和運行軌道，與空間快速響應(yīng)相比完成相同任務(wù)所耗費的時間要更短，所以本文提出基于地面快速響應(yīng)的導(dǎo)航星座構(gòu)型重構(gòu)方法，并針對快速響應(yīng)任務(wù)中的相關(guān)特性進(jìn)行分析.包括快速響應(yīng)任務(wù)中的發(fā)射方式、入軌方式以及響應(yīng)時間，建立了基于快速響應(yīng)任務(wù)的導(dǎo)航星座重構(gòu)構(gòu)型設(shè)計，并利用NSGA-Ⅱ算法對重構(gòu)模型進(jìn)行求解.

1 快速響應(yīng)任務(wù)中的軌道設(shè)計

1.1 發(fā)射方式

快速響應(yīng)衛(wèi)星的發(fā)射方式一般可分為：定點發(fā)射和機(jī)動發(fā)射[7].

(1)定點發(fā)射

定點發(fā)射是指在固定的發(fā)射場通過運載器將衛(wèi)星送入預(yù)定軌道.定點發(fā)射的發(fā)射時間一般包括發(fā)射準(zhǔn)備時間和發(fā)射等待時間.其中發(fā)射準(zhǔn)備時間是指從任務(wù)下達(dá)開始到完成發(fā)射設(shè)備進(jìn)場和調(diào)試所耗費的時間，發(fā)射等待時間則是完成發(fā)射準(zhǔn)備后等待發(fā)射窗口所需要的時間，不考慮升軌發(fā)射和降軌發(fā)射的區(qū)別，發(fā)射等待時間可以定義為從發(fā)射準(zhǔn)備完成開始到發(fā)射場依靠地球自轉(zhuǎn)第一次穿越快速發(fā)射軌道平面所經(jīng)歷的時間.定點發(fā)射由于受限于發(fā)射場地理位置，只能被動的等待發(fā)射窗口來臨.假設(shè)發(fā)射場E的地理經(jīng)緯度為(λE,ψE)，當(dāng)快速發(fā)射軌道的升交點赤經(jīng)Ω∈[0°,180°]時，發(fā)射等待時間可由式(1)得到：

tw=

(1)

(2)機(jī)動發(fā)射

機(jī)動發(fā)射是指通過飛機(jī)、艦船、發(fā)射車等載體將運載器機(jī)動至某一指定位置，然后通過運載器將衛(wèi)星送入預(yù)定軌道.與定點發(fā)射相比，機(jī)動發(fā)射的發(fā)射地點并不局限于某一固定位置，而且機(jī)動發(fā)射具備靈活、機(jī)動、反應(yīng)速度快、主動性強(qiáng)的顯著優(yōu)勢，在一些應(yīng)急情況和對響應(yīng)時間要求較高的空間任務(wù)中運用比較普遍.由于不受地理位置的限制，機(jī)動發(fā)射可以很大程度上縮減發(fā)射等待時間.如果發(fā)射區(qū)域無限制，可以認(rèn)為：

tw=0

(2)

除此之外，機(jī)動發(fā)射同時也可以執(zhí)行定點發(fā)射的任務(wù).

1.2 入軌方式

衛(wèi)星的入軌方式一般可以分為兩類：直接入軌、間接入軌.

(1)直接入軌

直接入軌是指通過運載器的連續(xù)工作將衛(wèi)星從發(fā)射點送入預(yù)定軌道.這種方式簡單直接而且具備一定的應(yīng)急響應(yīng)能力，但由于運載器本身所攜帶的燃料有限，采用直接入軌的衛(wèi)星其軌道高度一般較低.衛(wèi)星直接入軌的示意圖如圖1所示.

圖中點L、I分別為衛(wèi)星的發(fā)射點和入軌點，σL、σS分別對應(yīng)衛(wèi)星發(fā)射軌道和預(yù)定軌道，βL為衛(wèi)星發(fā)射段地心角，所對應(yīng)的時間tL為衛(wèi)星發(fā)射段飛行時間.當(dāng)衛(wèi)星采用直接入軌方式入軌時，衛(wèi)星的入軌段地心角與入軌時間與發(fā)射段地心角和發(fā)射段飛行時間相等.

直接入軌過程中當(dāng)發(fā)射軌道與預(yù)定軌道共面時，與非共面相比由于在入軌點不需要進(jìn)行軌道面的調(diào)整，此時發(fā)射段消耗的能量將顯著減少，所以對于直接入軌的衛(wèi)星一般其發(fā)射軌道與預(yù)定軌道處于同一平面內(nèi).對于發(fā)射軌道與預(yù)定軌道共面的情況，根據(jù)發(fā)射軌道是否與預(yù)定軌道和地球表面相切而又分為：單共切入軌和雙共切入軌(圖2).

單共切入軌中，發(fā)射軌道的遠(yuǎn)地點與預(yù)定軌道在入軌點I處相切，在發(fā)射點L處，發(fā)射速度矢量與當(dāng)?shù)厮矫娴膴A角Θ為發(fā)射速度傾角，當(dāng)發(fā)射速度傾角給定的條件下，所有發(fā)射軌道中，單共切軌道最省能量.雙共切入軌中，發(fā)射軌道的近地點與地球表面在發(fā)射點L處相切，遠(yuǎn)地點與預(yù)定軌道在入軌點I處相切.此時發(fā)射段地心角βL=π,與單共切入軌相比由于雙共切入軌對應(yīng)的發(fā)射段地心角大于單共切入軌，所以雙共切入軌在快速響應(yīng)能力上比單共切入軌差，由于直接入軌的衛(wèi)星其預(yù)定軌道通常離地面較近，不管是采用單共切入軌還是雙共切入軌，發(fā)射軌道的半長軸都相差不大，導(dǎo)致其消耗的能量也較為接近，綜合考慮發(fā)射段的時間和能量，在快速響應(yīng)任務(wù)中普遍采用單共切入軌.單共切入軌中發(fā)射段飛行時間的計算方法如下[7]：

在發(fā)射點和入軌點處有：

(3)

式中fL、fI分別為發(fā)射點和入軌點在發(fā)射軌道上的真近點角，且fL=π-βL、fI=π，ρ為發(fā)射軌道的半通徑，a0為預(yù)定軌道的半長軸.通過式(3)可以求得發(fā)射軌道偏心率eL

(4)

發(fā)射點偏近點角：

(5)

發(fā)射點平近點角：

ML=EL-eLsinEL

(6)

發(fā)射軌道半長軸：

(7)

衛(wèi)星入軌時刻：

(8)

其中,tL0為發(fā)射時刻，當(dāng)發(fā)射段地心角βL和預(yù)定軌道半長軸a0已知的條件下，便可以根據(jù)上述方程求得發(fā)射段飛行時間tL.

(2)間接入軌

與直接入軌相比，間接入軌最大的區(qū)別在于增加了自由飛行段，這種入軌方式一般用于對衛(wèi)星入軌相位要求較高的空間任務(wù)中，例如空間交會、星座組網(wǎng)等.間接入軌又分為調(diào)相入軌、轉(zhuǎn)移入軌、滑行入軌等多種方式，其中以調(diào)相入軌最為常見[8].

調(diào)相入軌與轉(zhuǎn)移入軌相似，調(diào)相入軌過程中衛(wèi)星先經(jīng)歷發(fā)射段進(jìn)入調(diào)相軌道，然后由調(diào)相軌道進(jìn)入預(yù)定軌道.調(diào)相入軌又分為低軌調(diào)相入軌和高軌調(diào)相入軌(圖3)，低軌(高軌)調(diào)相入軌中衛(wèi)星S在I處施加沖量進(jìn)入比預(yù)定軌道低(高)的調(diào)相軌道，然后在調(diào)相軌道上運行一圈或數(shù)圈之后，再在I處施加沖量進(jìn)入預(yù)定軌道.此時未進(jìn)入調(diào)相軌道的衛(wèi)星S′在預(yù)定軌道上運行相同的時間后，其站位位于衛(wèi)星S之后或之前.

這一過程中，位于初始位置的衛(wèi)星在轉(zhuǎn)移軌道上等待的圈數(shù)為Ntra,位于目標(biāo)位置的衛(wèi)星在原始軌道上運行的整圈數(shù)為Norg,完成相位調(diào)整所需要的總時間為tM,有：

(9)

式中a0、aM表示原始軌道和調(diào)相軌道的半長軸，θ表示從初始位置沿著衛(wèi)星在軌道上的運行方向到目標(biāo)位置所轉(zhuǎn)過的角度.

調(diào)相入軌中，衛(wèi)星先后經(jīng)歷發(fā)射段和相位調(diào)整段，βL、2kMπ為各階段所對應(yīng)的地心角，tL、tM為各階段所需要的時間，衛(wèi)星的入軌時間為ti:

(10)

1.3 響應(yīng)時間

響應(yīng)時間是快速響應(yīng)任務(wù)的主導(dǎo)量和關(guān)鍵參數(shù)，受衛(wèi)星發(fā)射方式、發(fā)射地點、入軌方式等多種因素共同影響[9].通過對快速響應(yīng)任務(wù)中衛(wèi)星的發(fā)射和入軌方式的分析，確定快速響應(yīng)任務(wù)中響應(yīng)時間的構(gòu)成如圖4所示.

圖中,tr、tw、ti分別為發(fā)射準(zhǔn)備時間、發(fā)射等待時間、入軌時間，各時間段的起止時刻如圖所示.快速響應(yīng)衛(wèi)星的響應(yīng)時間tresp:

tresp=tr+tw+ti

(11)

1.4 預(yù)定軌道的描述方式

快速響應(yīng)任務(wù)中對預(yù)定軌道進(jìn)行設(shè)計時，本文僅考慮偏心率為0的近地圓軌道.在對預(yù)定軌道進(jìn)行描述時，選用軌道半長軸a0、軌道傾角i0、升交點赤經(jīng)Ω0、入軌點緯度幅角μI4個參數(shù)進(jìn)行描述.其中入軌點緯度幅角μI的求解方法如下：

假設(shè)在軌運行的衛(wèi)星在tB時刻位于軌道上的B點，且B點的赤經(jīng)和赤緯分別為αB、δB，緯度幅角為μB，軌道在天球上的投影如圖5所示.

在球面直角三角形MBN中有：

sinδB=sinμBsini

(12)

tan(αB-Ω)=tanμBcosi

(13)

若B的地理經(jīng)緯度為(λB,φB)，則有：

(14)

當(dāng)采用發(fā)射軌道與預(yù)定軌道共面的方式入軌時，發(fā)射軌道與預(yù)定軌道在天球上的投影重合，對于發(fā)射點L由式(12)～(14)可以得到：

sinφL=sinμLsini0

(15)

(16)

μI=μL+βL

(17)

所以當(dāng)發(fā)射點地理位置(λB,φB)和發(fā)射時刻tL0已知的情況下，發(fā)射軌道與預(yù)定軌道共面時，可以根據(jù)預(yù)定軌道的軌道傾角i0、升交點赤經(jīng)Ω0和發(fā)射段地心角βL求得衛(wèi)星入軌點I處的緯度幅角μI.

2 基于快速響應(yīng)的重構(gòu)構(gòu)型設(shè)計優(yōu)化模型

2.1 優(yōu)化變量

借助快速響應(yīng)衛(wèi)星來增強(qiáng)和恢復(fù)受損星座的服務(wù)性能時，發(fā)射的快速響應(yīng)衛(wèi)星數(shù)以及快速響應(yīng)衛(wèi)星預(yù)定軌道的軌道參數(shù)，直接決定了重構(gòu)后的星座性能和完成快速響應(yīng)任務(wù)的時間.此外，快速響應(yīng)衛(wèi)星的發(fā)射方式和入軌方式也影響了優(yōu)化模型中變量的種類和數(shù)量.不同發(fā)射方式所對應(yīng)的發(fā)射等待時間不一樣，而且發(fā)射點的地理經(jīng)緯度也會影響預(yù)定軌道的軌道參數(shù).

綜上，在基于快速響應(yīng)的重構(gòu)構(gòu)型設(shè)計中所涉及的優(yōu)化變量有：

2.2 約束條件

對在軌衛(wèi)星進(jìn)行相位機(jī)動，來調(diào)整星座的空間構(gòu)型時，追求的一般是在任務(wù)要求的時間內(nèi)以消耗能量最少為目的將衛(wèi)星調(diào)整至目標(biāo)位置，但是對于快速響應(yīng)任務(wù)而言，利用調(diào)相入軌的方式調(diào)整衛(wèi)星入軌時的相位角時，追求的則是在完成相位調(diào)整任務(wù)的前提下最大程度的縮短相位調(diào)整的時間.

假設(shè)目標(biāo)位置的相位角為μt，初始位置的相位角為μ0，從初始位置沿著衛(wèi)星在軌道上的運行方向到目標(biāo)位置所轉(zhuǎn)過的角度為Δμ:

(18)

相位調(diào)整過程中，目標(biāo)位置的衛(wèi)星在預(yù)定軌道上運行的時間與初始位置的衛(wèi)星在調(diào)相軌道上運行的時間相同：

(19)

且有：

(20)

式中，k0為目標(biāo)位置的衛(wèi)星在預(yù)定軌道上運行的整圈數(shù)，在快速相應(yīng)任務(wù)中當(dāng)a0確定的條件下，要使得相位調(diào)整階段所消耗的時間最短，則必須保證在式(19)、(20)成立的條件下，k0取得最小值.聯(lián)立式(20)、(21)可以得到：

k0=

(21)

確定k0之后，根據(jù)式(21)求得調(diào)相軌道的半長軸aM以及衛(wèi)星在調(diào)相軌道運行的圈數(shù)kM.

2.3 目標(biāo)函數(shù)

本文在對重構(gòu)構(gòu)型進(jìn)行優(yōu)化時僅考慮重構(gòu)后的星座性能(目標(biāo)區(qū)域的平均GDOP值[10-11]，記為Gave)以及快速響應(yīng)任務(wù)的響應(yīng)時間.對于單顆衛(wèi)星而言，任務(wù)響應(yīng)時間tresp為任務(wù)下達(dá)開始到快速響應(yīng)衛(wèi)星進(jìn)入預(yù)定軌道截止所經(jīng)歷的時間；對于多顆衛(wèi)星而言，任務(wù)響應(yīng)時間Tresp為任務(wù)下達(dá)開始到所有快速響應(yīng)衛(wèi)星都進(jìn)入預(yù)定軌道截止所經(jīng)歷的時間：

(22)

所以目標(biāo)函數(shù)F(x)為：

minF(x)=(Gave,Tresp)

(23)

此外，當(dāng)發(fā)射軌道與預(yù)定軌道共面時，由于受發(fā)射點地理位置的限制，當(dāng)發(fā)射點的地理緯度為φL時，此時該點所能發(fā)射的快速響應(yīng)軌道的軌道傾角i∈[φL,π-φL]，所以在優(yōu)化過程中，如果快速響應(yīng)衛(wèi)星發(fā)射點的地理緯度φL>i或者π-φL

3 算例分析

對基于快速響應(yīng)的重構(gòu)構(gòu)型設(shè)計優(yōu)化模型進(jìn)行求解時，采用NSGA-Ⅱ算法[12-13].關(guān)于NSGA-Ⅱ算法的操作流程，以及多目標(biāo)優(yōu)化問題下不同個體的評價機(jī)制在此不再贅述.本節(jié)主要就快速響應(yīng)軌道參數(shù)的編碼方式進(jìn)行介紹，并對基于快速響應(yīng)的導(dǎo)航星座重構(gòu)構(gòu)型優(yōu)化模型進(jìn)行仿真計算和對比分析.

3.1 快速響應(yīng)軌道參數(shù)的編碼方式

基于快速響應(yīng)的導(dǎo)航星座構(gòu)型重構(gòu)是一個維數(shù)可變的優(yōu)化問題，快速響應(yīng)衛(wèi)星的數(shù)量直接決定了優(yōu)化變量的個數(shù)，但快速響應(yīng)衛(wèi)星數(shù)本身作為一個待優(yōu)化的變量，其取值也是不確定的.本文對快速響應(yīng)衛(wèi)星的軌道參數(shù)采用如圖6所示的雙層編碼方式：

Sj(j=1，2，3,…,n)為快速響應(yīng)衛(wèi)星的狀態(tài)函數(shù)，其中n為一次快速響應(yīng)任務(wù)中所能發(fā)射的最大衛(wèi)星數(shù).重構(gòu)過程中所發(fā)射的快速響應(yīng)衛(wèi)星數(shù)：

(24)

3.2 算例描述

以建成后的北斗衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)為對象，假定星座中的MEO衛(wèi)星全部失效.現(xiàn)通過發(fā)射快速響應(yīng)衛(wèi)星來對受損星座進(jìn)行重構(gòu),以實現(xiàn)短時間內(nèi)快速提升受損星座對目標(biāo)區(qū)域的服務(wù)性能.快速響應(yīng)衛(wèi)星采用機(jī)動發(fā)射與定點發(fā)射相結(jié)合的方式，發(fā)射范圍取為{(λL,φL)|100°≤λL≤120°,23°≤φL≤40°}，并忽略發(fā)射準(zhǔn)備所需要的時間即tr=0，快速響應(yīng)衛(wèi)星的軌道高度范圍取為[200 km,500 km]，發(fā)射軌道地心角所能取到的最小值βLmin=10°，一次快速響應(yīng)任務(wù)中所能發(fā)射的最大衛(wèi)星數(shù)n=8，且快速響應(yīng)衛(wèi)星均采用調(diào)相入軌的方式進(jìn)入預(yù)定軌道.

仿真時間為[1 Jan 2020 00:00:00.000 UTCG]～[8 Jan 2020 00:00:00.000 UTCG]，目標(biāo)區(qū)域為亞太區(qū)域(東經(jīng)55°～東經(jīng)180°，南緯55°～北緯55°)，考慮到快速響應(yīng)衛(wèi)星的軌道高度較低，受大氣阻力攝動的影響較大，所以在分析重構(gòu)后星座對目標(biāo)區(qū)域的服務(wù)性能時，除了考慮地球扁率攝動外還應(yīng)該考慮大氣阻力攝動.地面網(wǎng)格分辨率為2°×2°，NSGA-Ⅱ算法中的初始參數(shù)設(shè)定：初始種群規(guī)模為150，最大迭代次數(shù)為200，上層染色體與下層染色體的交叉、變異概率分別為0.9和0.09.

3.3 仿真計算

當(dāng)種群進(jìn)化至200代時，將最后一代種群中的個體作為該問題的Pareto前沿，如圖7所示.

該響應(yīng)策略下每顆快速響應(yīng)衛(wèi)星的響應(yīng)時間Tresp如圖8所示.

表1 (Gave,Tresp)=(3.900 0,14.162 7)所對應(yīng)的響應(yīng)策略Tab.1 Response strategy corresponding to (Gave,Tresp)= (3.900 0,14.162 7)

在表1中所對應(yīng)的重構(gòu)策略下，對受損星座重構(gòu)前后Gave隨時間和空間的分布情況進(jìn)行對比，如圖9、圖10所示.仿真結(jié)果顯示：重構(gòu)前Gave隨時間的波動范圍為[4.863 0,5.064 3]，而重構(gòu)后Gave隨時間的波動范圍為[3.127 9，4.643 8]；重構(gòu)前Gave≤6 的網(wǎng)格數(shù)為83.11%，重構(gòu)后Gave≤6的網(wǎng)格數(shù)為94.60%.經(jīng)過重構(gòu)受損星座對目標(biāo)區(qū)域的服務(wù)性能得到了有效的提升.

4 結(jié) 論

本文借助地面快速響應(yīng)的方式對受損后的導(dǎo)航星座進(jìn)行重構(gòu)，建立快速響應(yīng)衛(wèi)星發(fā)射、入軌過程以及響應(yīng)時間的數(shù)學(xué)模型，和基于快速響應(yīng)的重構(gòu)構(gòu)型優(yōu)化設(shè)計模型，并通過仿真算例證明了該方法的有效性.但本文僅分析了利用地面快速響應(yīng)的方式來提升和恢復(fù)受損導(dǎo)航星座性能的方法，除此之外，利用在軌衛(wèi)星的軌道機(jī)動和借助其他導(dǎo)航星座形成組合導(dǎo)航系統(tǒng)來增強(qiáng)受損導(dǎo)航星座性能的方法[14-15]也具有一定研究價值，而這對增強(qiáng)我國空間系統(tǒng)的彈性、可靠性面具有重要的戰(zhàn)略意義.