盛連超, 李 威, 王禹橋, 范孟豹, 楊雪鋒

(中國礦業(yè)大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，江蘇 徐州 221116)

相對于串聯(lián)機(jī)器人，并聯(lián)機(jī)器人具有高速度、高加速度、高承載能力、低能耗、無累積誤差、精度高等優(yōu)點，被廣泛用于航空航天、精密光學(xué)儀器、生物工程操作、精密加工機(jī)床等領(lǐng)域[1-5]。

隨著社會的發(fā)展，高速高效、輕型低耗成為當(dāng)今全球機(jī)械產(chǎn)品的重要標(biāo)志和發(fā)展趨勢[6-8]，但輕型化的柔性并聯(lián)機(jī)器人在高速帶載情況下運(yùn)行時，由于慣性力等諸多因素，各柔性桿件極易產(chǎn)生彈性變形，導(dǎo)致機(jī)器人的整體動態(tài)性能下降，影響其正常工作[9-11]。如應(yīng)用在食品包裝中的拾取類并聯(lián)機(jī)器人[12]及農(nóng)業(yè)采摘機(jī)器人[13-14]。

為了解決這個問題，首先要建立柔性并聯(lián)機(jī)器人動力學(xué)模型[15]，徐晗[16]、余躍慶[17]、張清華[18]、張緒沖[19]分別采用不用方法，考慮不同因素建立了平面3-RRR平面并聯(lián)機(jī)器人的動力學(xué)模型。 Sharifnia[20]，Zhang等[21-22]采用假設(shè)模態(tài)法分別對柔性3-PSP和平面3-RRR并聯(lián)機(jī)器人建立了動力學(xué)模型。

然而通過目前的研究發(fā)現(xiàn)，簡單的動力學(xué)模型極易產(chǎn)生過大的誤差，而精確度較高的模型往往特別復(fù)雜，導(dǎo)致后續(xù)振動控制難度較大甚至無法實施。因此選取合適的動力學(xué)建模方法，考慮實際邊界條件及影響因素，建立既能保證高精確度，同時又能方便求解的動力學(xué)模型具有重要的研究意義。針對上述存在的問題，本文考慮系統(tǒng)剛?cè)狁詈闲?yīng)及柔性中間連桿兩端集中轉(zhuǎn)動慣量影響，選取動態(tài)參數(shù)相對較少，基于系統(tǒng)模態(tài)特性為建?；A(chǔ)的假設(shè)模態(tài)法為建模方法，通過拉格朗日方程建立平面3-RRR并聯(lián)機(jī)器人耦合動力學(xué)模型，并與有限元軟件(ANSYS)分析及模態(tài)試驗結(jié)果作比較，結(jié)果表明文中所建立動力學(xué)模型能夠有效反映系統(tǒng)主要振動模態(tài)，并能充分反映慣性力和耦合力對系統(tǒng)模態(tài)特性的影響，這對后續(xù)的振動控制及結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計提供了有力的參考依據(jù)。

1 柔性3-RRR平面并聯(lián)機(jī)器人系統(tǒng)概況

柔性平面3-RRR并聯(lián)機(jī)器人的系統(tǒng)構(gòu)成及坐標(biāo)系如圖1所示，系統(tǒng)由末端運(yùn)動平臺C1C2C3,固定支撐平臺A1A2A3,三條連接末端運(yùn)動平臺和固定支撐平臺的支鏈A1B1C1，A2B2C2，A3B3C3組成，且三條支鏈完全相同，即A1B1=A2B2=A3B3,B1C1=B2C2=B3C3,通過轉(zhuǎn)動副將驅(qū)動連桿與柔性中間連桿以及柔性中間連桿與動平臺進(jìn)行連接，其中A1、A2、A3是驅(qū)動關(guān)節(jié)，桿長A1B1=A2B2=A3B3=B1C1=B2C2=B3C3=210 mm,末端運(yùn)動平臺上關(guān)節(jié)所在圓的半徑為R=68 mm。在三個驅(qū)動電機(jī)的驅(qū)動下，該并聯(lián)平臺可以完成沿x軸方向和y軸方向的平動運(yùn)動以及繞z軸方向的轉(zhuǎn)動運(yùn)動的三自由度運(yùn)動。

圖1 柔性平面3-RRR并聯(lián)機(jī)器人平面示意圖Fig.1 The structure diagram of the flexible planar 3-RRR parallel robot

在實際結(jié)構(gòu)中，一般情況下驅(qū)動連桿橫截面積尺寸較大以保證其剛度，而柔性中間連桿截面積尺寸較小以減輕其質(zhì)量。柔性平面3-RRR并聯(lián)機(jī)器人的具體材料、尺寸參數(shù)如下，加工材料為鋁合金7075，材料的彈性模量為E=7.1×1010N/m2，密度為ρ=2.81×103kg/m3，主動桿的長寬厚分別為210 mm，25 mm，10 mm，柔性中間連桿的長寬厚分別為210 mm，25 mm，5 mm，柔性中間連桿兩端的集中轉(zhuǎn)動慣量JBi=JCi=2.2×10-3kg/m2，截面慣性矩Ii=2.6×10-10m4。

機(jī)構(gòu)的振動主要是由電機(jī)驅(qū)動、慣性力和移動平臺的有效載荷造成的。為了進(jìn)一步確定系統(tǒng)的振動情況，減小不必要的計算，提高計算速度，應(yīng)對柔性并聯(lián)機(jī)器人的模型作簡化。考慮到柔性并聯(lián)機(jī)器人的運(yùn)動部件只有各運(yùn)動支鏈和動平臺，電機(jī)、減速器及其支架等都固連在底座上，實際中為保證運(yùn)行平穩(wěn)，剛度支撐等要求，底座設(shè)計得比較厚重，這里可以將除運(yùn)動支鏈和動平臺之外的部件視為固定，運(yùn)動支鏈的主動桿的電機(jī)驅(qū)動端視為與基座固定，同時，對各支鏈和動平臺上的倒角、圓角、非必要的孔等特征也進(jìn)行簡化，簡化后的柔性平面3-RRR并聯(lián)機(jī)器人有限元(ANSYS)仿真結(jié)果如圖2所示，前四階振動頻率分別為66.894 Hz、68.289 Hz、85.716 Hz、122.57 Hz，通過前四階振型發(fā)現(xiàn)，發(fā)生彎曲的部位主要集中在柔性中間連桿部分，第四階振型顯示，柔性中間連桿不僅發(fā)生彎曲甚至發(fā)生扭轉(zhuǎn)，這將直接導(dǎo)致末端運(yùn)動平臺的傾覆，影響末端運(yùn)動平臺的操作精度和質(zhì)量，因此如何控制中間連桿的振動以及找出其共振頻率就顯得非常重要，這也為提高末端運(yùn)動平臺操作精度和質(zhì)量打下堅實的基礎(chǔ)。

圖2 柔性平面3-RRR并聯(lián)機(jī)器人的前四階振型Fig.2 The first four mode shapes of flexible planar 3-RRR parallel robot

2 動力學(xué)建模與數(shù)值仿真

2.1 有限元分析法

在有限元分析軟件(ANSYS)中建立柔性中間連桿的物理模型，材料選擇鋁合金，柔性中間連桿兩端邊界條件設(shè)置為鉸支，并定義為柔性接觸，同時考慮兩端集中質(zhì)量和轉(zhuǎn)動慣量的影響。仿真分析結(jié)果如圖3所示, 柔性中間連桿前兩階振動頻率分別為53.18 Hz，204.07 Hz。

圖3 柔性中間連桿前兩階模態(tài)振型Fig.3 The first two mode shapes of flexible intermediate link

2.2 假設(shè)模態(tài)法

基于有限元(ANSYS)分析的結(jié)果,如圖2所示，驅(qū)動連桿的振動幅值要遠(yuǎn)小于中間連桿的振動幅值，因此在建模過程中只把中間連桿作為柔性桿處理，而其他構(gòu)件均視為剛性構(gòu)件。機(jī)器人系統(tǒng)坐標(biāo)如圖1所示，其中給出了柔性中間連桿的變形和不變形兩種狀態(tài)。在建模過程中，做如下假設(shè)：①基于Euler-Bernoulli梁模型分析柔性中間連桿系統(tǒng)動力學(xué)特性，只考慮柔性中間連桿在運(yùn)動方向的橫向振動；②相對于柔性中間連桿的長度，其橫向變形是小變形，所以方程可被線性化處理；③忽略重力的影響。為了與上述有限元(ANSYS)分析作對比，建模過程中柔性中間連桿尺寸、材料等因素均與上述有限元(ANSYS)分析法中的條件一致?？紤]柔性中間連桿兩個末端軸承引入集中轉(zhuǎn)動慣量的影響，基于假設(shè)模態(tài)法，建立系統(tǒng)耦合動力學(xué)模型。

第i根柔性中間連桿的變形可以表達(dá)為：

(1)

式中：φij(x)為模型的振型函數(shù)；qij(t)為時間變化的模態(tài)幅度；r代表所選的假設(shè)模態(tài)。

每個柔性中間連桿都被看作是Euler-Bernoulli梁，末端運(yùn)動平臺和驅(qū)動連桿均被看作剛體，柔性中間連桿的邊界條件采用兩端鉸支的約束方式，所以，振型函數(shù)φij(x)可以表示為：

φij(x)=sin(jπx/L)=sin(jπξ)=φij(ξ),j=1, 2, …,r

(2)

式中：ξ=x/L，r代表所選的假設(shè)模態(tài)，驅(qū)動連桿和柔性中間連桿的桿長均為L，x是柔性中間連桿上任意一點到Bi點的距離。

為了獲得柔性中間連桿的動力學(xué)方程，與Lagrange方程聯(lián)合建模，因此需要先求得系統(tǒng)的動能和勢能。系統(tǒng)的總動能包括驅(qū)動連桿、柔性中間連桿和末端運(yùn)動平臺的動能，見式(3)。

(3)

當(dāng)柔性平面機(jī)器人運(yùn)動時，重力沿著z軸方向并穿過一個x-y平面，所以機(jī)器人重力造成的勢能并不發(fā)生改變。系統(tǒng)的勢能是由柔性中間連桿的變形造成的，可表示為：

(4)

式中：Ei和Ii分別代表第i根柔性中間連桿的彈性模量和截面慣性矩。

將系統(tǒng)動能和勢能代入拉格朗日第二類方程

(5)

整理后為：

(6)

將其寫成矩陣形式：

(7)

因此第i根柔性桿件的第j階響應(yīng)可以表示為，

(8)

(9)

根據(jù)Duhamel積分求解上述方程，則其響應(yīng)為

(10)

假定柔性并聯(lián)機(jī)器人末端執(zhí)行器的運(yùn)行軌跡為半徑60 mm的圓，xp=60-60cos 20πtmm，yp=60sin(20πt) mm。由于三根柔性中間連桿的參數(shù)一致，本文以柔性中間連桿1為例，研究其動態(tài)特性，柔性中間連桿1中點前兩階響應(yīng)的運(yùn)動仿真結(jié)果，圖4所示。

圖4 柔性中間連桿1中點處的前兩階響應(yīng)Fig.4 The first two elastic vibration deformation at midpoint of the first intermediate link

通過圖4中得到的柔性中間連桿1中點處前兩階曲線可以看出柔性中間連桿的一階振動響應(yīng)幅值明顯高于二階振動響應(yīng)幅值，柔性中間連桿的振動響應(yīng)是機(jī)器人在工作運(yùn)行過程中產(chǎn)生振動的一個表征，為了進(jìn)一步研究其振動特性，確定振動產(chǎn)生的頻率，降低對機(jī)器人整體性能的影響，通過快速傅里葉變換將柔性中間連桿1中點處的一階響應(yīng)特性從時域轉(zhuǎn)化到頻域中，如圖5所示。

圖5 柔性中間連桿1中點處的第一階振動響應(yīng)FFT變換Fig.5 FFT of the first order elastic vibration of the first intermediate link

圖6 柔性中間連桿所受慣性力和耦合力Fig.6 The inertial force and coupling force of the first intermediate link

從圖5中可以看出其振動頻率主要集中在10 Hz，20 Hz，30 Hz和48.5 Hz附近，根據(jù)公式(6)，可以算出柔性中間連桿在考慮轉(zhuǎn)動慣量的情況下的前兩階自由振動頻率分別為48.5 Hz，212.6 Hz,通過公式(6)還可以發(fā)現(xiàn)，除了自由振動，柔性中間連桿還受到慣性力和耦合力的作用產(chǎn)生強(qiáng)迫振動，慣性力和耦合力隨時間的變化曲線，如圖6所示。

為了進(jìn)一步研究其振動頻率，將慣性力和耦合力動態(tài)響應(yīng)曲線進(jìn)行快速傅里葉變換，得到頻域特性，如圖7所示。

從圖7中得到的結(jié)果發(fā)現(xiàn)，10 Hz，20 Hz，30 Hz為慣性力和耦合力共同引起的強(qiáng)迫振動頻率，這也意味著48.5 Hz和212.6 Hz為其一階和二階自由振動頻率。

3 實驗驗證與對比分析

為了比較兩種動力學(xué)分析方法的準(zhǔn)確性和實用性，搭建如圖8所示的實驗臺，在實驗過程中，將三個驅(qū)動電機(jī)鎖緊在初始位置，末端運(yùn)動平臺在中心位置 ，柔性中間連桿均勻布置7個測點，其中測點1和7在軸承處不作測量，采用多點激勵一點拾振的測試方法，將加速度傳感器粘貼在固定測點3處，用力錘分別敲擊測點2到測點6，所測數(shù)據(jù)通過與DH5927N動態(tài)測試儀連接的加速度傳感器和力錘采集，為了使結(jié)果更具真實性，每個測點測試5次，取平均值作為試驗結(jié)果，采集數(shù)據(jù)由DH5927N動態(tài)測試儀記錄，采集記錄完成后，采用Polylscf分析法分析其動態(tài)響應(yīng)，測點2到測點6的頻響特性曲線結(jié)果如圖9所示。分析結(jié)果發(fā)現(xiàn)一階頻率和阻尼比分別為49.992 Hz和0.043，二階振動頻率和阻尼比分別為277.813 Hz和 0.022。根據(jù)所得試驗結(jié)果表明，基于文中所建動力學(xué)模型得到的前兩階振動頻率分別為48.5 Hz，212.6 Hz，與有限元(ANSYS)得到的前兩階振動頻率53.18 Hz, 204.07 Hz相比，文中所建動力學(xué)模型得到的前兩階固有頻率更接近模態(tài)試驗結(jié)果，特別是一階固有頻率基本一致，因此文中考慮剛?cè)狁詈弦蛩丶叭嵝灾虚g連桿兩端集中轉(zhuǎn)動慣量所建立的動力學(xué)模型能較好的反映出柔性平面3-RRR并聯(lián)機(jī)器人柔性中間連桿的主要振動模態(tài)，也證明了此方法更準(zhǔn)確，同時也證明了10 Hz，20 Hz，30 Hz的振動頻率不是系統(tǒng)本身擁有的頻率，而是在運(yùn)動過程中慣性力和耦合力產(chǎn)生影響引起的強(qiáng)迫振動頻率，二階固有頻率產(chǎn)生較大誤差的主要原因主要是兩種方法在建模過程中的簡化處理，弱化了結(jié)構(gòu)體對柔性中間連桿固有頻率的影響，對比兩種動力學(xué)分析方法，文中通過數(shù)學(xué)方法所建立動力學(xué)模型在分析帶有柔性中間連桿剛?cè)狁詈舷到y(tǒng)的固有頻率及剛?cè)狁詈闲?yīng)時有更高的精度，同時由于動態(tài)參數(shù)較少，方便依托動力學(xué)模型的控制器設(shè)計。

圖9 振動響應(yīng)模態(tài)試驗結(jié)果Fig.9 The vibration response results of modal experiment

4 結(jié) 論

(1)相對于有限元分析軟件(ANSYS)，本文基于假設(shè)模態(tài)法所建立的耦合動力學(xué)模型能夠反映集中轉(zhuǎn)動慣量及剛?cè)狁詈闲?yīng)對系統(tǒng)動態(tài)特性的影響，與實際更符。

(2)考慮中間連桿端部集中轉(zhuǎn)動慣量和剛?cè)狁詈闲?yīng)的影響，文中建立的耦合動力學(xué)模型可以分析耦合力和慣性力對柔性中間連桿模態(tài)特性的影響，研究結(jié)果發(fā)現(xiàn)，慣性力和耦合力會導(dǎo)致強(qiáng)迫振動，其頻率為10 Hz，20 Hz，30 Hz。

(3)文中所提出的剛?cè)狁詈蟿恿W(xué)建模方法適用于各種剛?cè)峤Y(jié)合的柔性并聯(lián)機(jī)器人，所得模型精度高、易求解，解決了動力學(xué)模型復(fù)雜性問題，對需要以動力學(xué)模型為依托的控制器具有指導(dǎo)意義。