施娟

[摘 要]解決問題的復(fù)習(xí)課一直被視為復(fù)習(xí)課中較有難度的課型，因?yàn)榻鉀Q問題情境很豐富，即使是對同一類型的題目的描述也是多種多樣的。解決問題教學(xué)應(yīng)該重視數(shù)學(xué)建模，學(xué)生只有建立了清晰的分?jǐn)?shù)問題的數(shù)學(xué)模型，才能做出準(zhǔn)確的判斷，從而利用相應(yīng)的方法解題。以第二學(xué)段人教版教材六年級上冊“分?jǐn)?shù)乘除法解決問題”的復(fù)習(xí)課為例，對如何在解決問題復(fù)習(xí)課中引入“數(shù)學(xué)建?！辈呗赃M(jìn)行探討。

[關(guān)鍵詞]分?jǐn)?shù)解決問題；復(fù)習(xí)課；關(guān)鍵句；數(shù)學(xué)建模

[中圖分類號] G623.5 [文獻(xiàn)標(biāo)識碼] A [文章編號] 1007-9068（2018）20-0018-02

解決問題的復(fù)習(xí)課一直被視為復(fù)習(xí)課中較有難度的課型，因?yàn)榻鉀Q問題情境很豐富。教師常常很苦惱：為什么換個情境，學(xué)生就不會做了？為什么同一種類型的兩道題目，學(xué)生只會做其中的一道題目？究其原因，是學(xué)生不能辨別題目類型，換句話說，就是沒有建立清晰的數(shù)學(xué)模型。本文以人教版教材六年級上冊“分?jǐn)?shù)乘除法解決問題”的復(fù)習(xí)課為例，對解決問題的復(fù)習(xí)課中“數(shù)學(xué)建?！辈呗缘膽?yīng)用進(jìn)行探討。

一、一句引領(lǐng)，整體呈現(xiàn)

知識該如何重現(xiàn)在學(xué)生面前？知識點(diǎn)呈現(xiàn)是復(fù)習(xí)課的重要環(huán)節(jié)，我認(rèn)為這個環(huán)節(jié)不僅僅要承載重現(xiàn)知識的功能，更應(yīng)承載激活學(xué)生思維的功能。任何一類解決問題的過程都可以概括為：已知兩個量的關(guān)系（多、少、倍率）和一個量，求未知量的過程。分?jǐn)?shù)應(yīng)用題和其他類型應(yīng)用題最大的不同在于描述兩個量的關(guān)系（描述兩個量的關(guān)系的句子，稱為“關(guān)鍵句”），根據(jù)關(guān)鍵句來分，分?jǐn)?shù)應(yīng)用題可以分成兩類：第一類，a 是b的；第二類，a 比b多（少）。因此，教師可用關(guān)鍵句作為教學(xué)的引領(lǐng)，以此促進(jìn)學(xué)生積極思考。

【教學(xué)片段1】呈現(xiàn)關(guān)鍵句：（1）梨樹的棵數(shù)是桃樹的；（2）杏樹比蘋果樹多。

師：關(guān)鍵句（1）中的單位“1”是什么？另一個量該怎么表示？

生：單位“1”是桃樹的棵數(shù)，梨樹的棵數(shù)可以用“”表示。

板書：桃樹：1 梨樹：

師：關(guān)鍵句（2）中的單位“1”是什么？另一個量又該怎么表示？

生：單位“1”是蘋果樹的棵數(shù)，杏樹的棵數(shù)可以用“1+”表示。

板書：蘋果樹：1 杏樹：1+

師：能用這兩個關(guān)鍵句分別編一道題目并解決嗎？

生1：桃樹有20棵，梨樹的棵數(shù)是桃樹的，梨樹有幾棵？

補(bǔ)充板書：桃樹：1 20棵 梨樹： ？棵

生2：蘋果樹有20棵，杏樹比蘋果樹多，杏樹有幾棵？

板書：蘋果樹：1 20棵 杏樹：1+ ？棵

……

關(guān)鍵句能起到牽一發(fā)動全身的作用。學(xué)生根據(jù)兩個關(guān)鍵句分別編寫了利用分?jǐn)?shù)乘、除法解決的問題各一道，整體呈現(xiàn)了利用分?jǐn)?shù)解決問題的基本類型。與教師直接呈現(xiàn)題目相比，“由關(guān)鍵句引領(lǐng)，補(bǔ)充填空”的方式充分調(diào)動了學(xué)生思維的積極性和主動性，學(xué)生從一開始就成為學(xué)習(xí)的主人。

二、分類對比，有效建模

學(xué)生在學(xué)習(xí)各個單元的知識時，只是對各單元的知識有了初步的領(lǐng)悟，對各知識點(diǎn)的內(nèi)在聯(lián)系的認(rèn)識還是膚淺的，達(dá)不到應(yīng)有的深度，難以構(gòu)建整體性的“認(rèn)知框架”，以及形成綜合駕馭整體知識的能力。UbD理論認(rèn)為，留于淺表的簡單覆蓋教材內(nèi)容的復(fù)習(xí)不利于學(xué)生深刻理解知識，不被理解的知識就難以實(shí)現(xiàn)遷移、應(yīng)用，只會造成“教一道會一道，沒教過就不會”的現(xiàn)象。因此，再現(xiàn)知識后，只有對單元知識之間的關(guān)系進(jìn)行研究分析，將零散的知識以一定的線索進(jìn)行組織加工，形成新的結(jié)構(gòu)，或是將其進(jìn)一步納入原有的知識體系中，才能幫助學(xué)生完善數(shù)學(xué)的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，而分類對比是梳理知識結(jié)構(gòu)行之有效的方法。

【教學(xué)片段2】師：下面是大家剛才編出的四道題，能按一定的標(biāo)準(zhǔn)把這四道題進(jìn)行分類嗎？

板書：

（1）梨樹的棵數(shù)是桃樹的

桃樹：1 20棵 桃樹：1 ？棵

梨樹： ？棵 梨樹： 18棵

（2）杏樹比蘋果樹多

蘋果樹：1 20棵 蘋果樹：1 ？棵

杏樹：1+ ？棵 杏樹：1+ 25棵

生1：第一行的兩道為一類，第二行的兩道為一類。因?yàn)榈谝活惗际且阎獑挝弧?”的量，用乘法做的；第二類的單位“1” 都是未知的，用除法或者方程解決。

師：明明關(guān)鍵句不一樣，為什么解決的方法一樣呢？

生2：其實(shí)關(guān)鍵句（2）“杏樹比蘋果樹多”，意思是“杏樹是蘋果樹的（1+）”，這樣改寫后跟關(guān)鍵句（1）的描述方法就一樣了。

師：也就是說，這兩個關(guān)鍵句都在描述“一個數(shù)是另一個數(shù)的幾分之幾”。因此，看似不同的兩類題目，其實(shí)為同一類，解決方法也相同，只是穿了不同的“外衣”。

師：這四道題有什么相同的地方嗎？

生3：都是已知兩個量的分率關(guān)系和其中一個量，求另一個量。

師：對，兩個量的關(guān)系已知，其中一個量已知，就可以求出另一個量。像這樣的題目你還能編幾道嗎？

（在學(xué)生編題后，教師可追問：“你編的這個問題能解決嗎？怎么解決呢？”）

師：除了添加一個量的條件，還可以是怎么樣的條件？

生4：桃樹和梨樹共24棵，梨樹的棵數(shù)是桃樹的，桃樹、梨樹各幾棵？

板書：桃樹：1 ？棵 梨樹： ？棵

桃樹+梨樹：（1+） 24棵

生5：可以把“桃樹+梨樹”看成第三種樹，第三種樹是桃樹的（1+），而第三種樹的棵數(shù)是已知的，就可以求出單位“1”的量（桃樹的棵數(shù)）。如果已知桃樹和梨樹的差，也可以求出桃樹的棵數(shù)，方法類似。

師：誰來試著編一題？

生6：桃樹比梨樹多8棵，梨樹的棵數(shù)是桃樹的，桃樹、梨樹各幾棵？把“桃樹-梨樹”看成第三種樹，第三種樹是桃樹的（1-），有8棵，也能求出單位“1”的量（桃樹的棵數(shù)）。

板書：桃樹：1 ？棵 梨樹： ？棵

桃樹-梨樹：（1-） 8棵

為了讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)知識之間的聯(lián)系，要盡量剔除不必要的細(xì)枝末節(jié)，便于學(xué)生觀察和發(fā)現(xiàn)。為此，我采用了如下板書形式：

桃樹：1 20棵 蘋果樹：1 20棵

梨樹： ？棵 杏樹：1+ ？棵

桃樹：1 ？棵 蘋果樹：1 ？棵

杏樹： 18棵 杏樹：1+ 25棵

學(xué)生很快就發(fā)現(xiàn)“每一行的結(jié)構(gòu)完全一樣，解題方法也一樣”，從而成功建立了分?jǐn)?shù)乘法、除法應(yīng)用題的“類”模型。學(xué)生在進(jìn)一步的比較中還能夠發(fā)現(xiàn)分?jǐn)?shù)應(yīng)用題的共同特點(diǎn)“已知兩個量的分率關(guān)系和一個量，就可以求出另一個量”，得出了分?jǐn)?shù)應(yīng)用題的模型。第二次的編題讓學(xué)生鞏固了解決分?jǐn)?shù)應(yīng)用題的基本模型及相應(yīng)的解決方法，第三次的編題能幫助學(xué)生根據(jù)分?jǐn)?shù)應(yīng)用題的模型豐富外延，內(nèi)化模型。通過這個完整的建模過程，學(xué)生建立起了分?jǐn)?shù)應(yīng)用題最基本模型：已知兩個量的關(guān)系和其中一個量，就可以求出另一個量。

三、縱深溝通，促進(jìn)理解

將新的知識納入已有的知識系統(tǒng)，有利于學(xué)生完善數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，對知識進(jìn)行化歸，從而促進(jìn)知識的理解。分?jǐn)?shù)乘除法應(yīng)用題是整數(shù)乘除法應(yīng)用題的延伸，如果能將其和整數(shù)乘除法應(yīng)用題進(jìn)行聯(lián)系，就能產(chǎn)生事半功倍的教學(xué)效果。

【教學(xué)片段3】師：已知兩個量的關(guān)系和其中一個量，求另一個量。以前我們學(xué)過類似的問題嗎？請舉個例子。

生1：小明有5本故事書，小紅的本數(shù)是小明的2倍，小紅有幾本故事書？（用乘法計(jì)算）

板書：小明：1 5本 小紅：2 ？本

生2：小東有8本科幻書，小東的本數(shù)是小丁的2倍，小丁有幾本科幻書？（求單位“1”用除法計(jì)算）

板書：小?。? ？本 小東：2 8本

師：以前我們說的一倍數(shù)就是現(xiàn)在的單位“1”的量。這些整數(shù)應(yīng)用題和分?jǐn)?shù)應(yīng)用題又有什么不同呢？

生3：前一類的兩個量的關(guān)系用整數(shù)（倍數(shù)）來表示，后一類的兩個量的關(guān)系用分?jǐn)?shù)（分率）表示，其實(shí)解決方法都一樣。

整數(shù)乘除法解決問題和分?jǐn)?shù)乘除法解決問題都是同一種類型的問題，但是相比較而言，學(xué)生更容易理解整數(shù)乘除法解決問題。通過板書分析整數(shù)乘除法問題的結(jié)構(gòu)，能夠從“形”上溝通聯(lián)系整數(shù)乘除法解決問題和分?jǐn)?shù)乘除法解決問題之間的關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注兩者的本質(zhì)聯(lián)系：以前我們說的一倍數(shù)就是現(xiàn)在的單位“1”的量。

數(shù)學(xué)模型關(guān)注的對象是許多具有普遍性的事物，而這樣的事物具有一些共同的特點(diǎn)。數(shù)學(xué)建模應(yīng)該是一個不斷感知、積累、分析和判斷的過程。教師要有數(shù)學(xué)建模的意識，要在學(xué)生已經(jīng)擁有的豐富的感性材料的基礎(chǔ)上引導(dǎo)學(xué)生緊緊抓住知識的關(guān)鍵特征，溝通聯(lián)系，從而完善、更新數(shù)學(xué)認(rèn)知體系。

（責(zé)編 金 鈴）