施娟

[摘 要]解決問(wèn)題的復(fù)習(xí)課一直被視為復(fù)習(xí)課中較有難度的課型，因?yàn)榻鉀Q問(wèn)題情境很豐富，即使是對(duì)同一類型的題目的描述也是多種多樣的。解決問(wèn)題教學(xué)應(yīng)該重視數(shù)學(xué)建模，學(xué)生只有建立了清晰的分?jǐn)?shù)問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型，才能做出準(zhǔn)確的判斷，從而利用相應(yīng)的方法解題。以第二學(xué)段人教版教材六年級(jí)上冊(cè)“分?jǐn)?shù)乘除法解決問(wèn)題”的復(fù)習(xí)課為例，對(duì)如何在解決問(wèn)題復(fù)習(xí)課中引入“數(shù)學(xué)建模”策略進(jìn)行探討。

[關(guān)鍵詞]分?jǐn)?shù)解決問(wèn)題；復(fù)習(xí)課；關(guān)鍵句；數(shù)學(xué)建模

[中圖分類號(hào)] G623.5 [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A [文章編號(hào)] 1007-9068（2018）20-0018-02

解決問(wèn)題的復(fù)習(xí)課一直被視為復(fù)習(xí)課中較有難度的課型，因?yàn)榻鉀Q問(wèn)題情境很豐富。教師常常很苦惱：為什么換個(gè)情境，學(xué)生就不會(huì)做了？為什么同一種類型的兩道題目，學(xué)生只會(huì)做其中的一道題目？究其原因，是學(xué)生不能辨別題目類型，換句話說(shuō)，就是沒(méi)有建立清晰的數(shù)學(xué)模型。本文以人教版教材六年級(jí)上冊(cè)“分?jǐn)?shù)乘除法解決問(wèn)題”的復(fù)習(xí)課為例，對(duì)解決問(wèn)題的復(fù)習(xí)課中“數(shù)學(xué)建模”策略的應(yīng)用進(jìn)行探討。

一、一句引領(lǐng)，整體呈現(xiàn)

知識(shí)該如何重現(xiàn)在學(xué)生面前？知識(shí)點(diǎn)呈現(xiàn)是復(fù)習(xí)課的重要環(huán)節(jié)，我認(rèn)為這個(gè)環(huán)節(jié)不僅僅要承載重現(xiàn)知識(shí)的功能，更應(yīng)承載激活學(xué)生思維的功能。任何一類解決問(wèn)題的過(guò)程都可以概括為：已知兩個(gè)量的關(guān)系（多、少、倍率）和一個(gè)量，求未知量的過(guò)程。分?jǐn)?shù)應(yīng)用題和其他類型應(yīng)用題最大的不同在于描述兩個(gè)量的關(guān)系（描述兩個(gè)量的關(guān)系的句子，稱為“關(guān)鍵句”），根據(jù)關(guān)鍵句來(lái)分，分?jǐn)?shù)應(yīng)用題可以分成兩類：第一類，a 是b的；第二類，a 比b多（少）。因此，教師可用關(guān)鍵句作為教學(xué)的引領(lǐng)，以此促進(jìn)學(xué)生積極思考。

【教學(xué)片段1】呈現(xiàn)關(guān)鍵句：（1）梨樹(shù)的棵數(shù)是桃樹(shù)的；（2）杏樹(shù)比蘋果樹(shù)多。

師：關(guān)鍵句（1）中的單位“1”是什么？另一個(gè)量該怎么表示？

生：?jiǎn)挝弧?”是桃樹(shù)的棵數(shù)，梨樹(shù)的棵數(shù)可以用“”表示。

板書：桃樹(shù)：1 梨樹(shù)：

師：關(guān)鍵句（2）中的單位“1”是什么？另一個(gè)量又該怎么表示？

生：?jiǎn)挝弧?”是蘋果樹(shù)的棵數(shù)，杏樹(shù)的棵數(shù)可以用“1+”表示。

板書：蘋果樹(shù)：1 杏樹(shù)：1+

師：能用這兩個(gè)關(guān)鍵句分別編一道題目并解決嗎？

生1：桃樹(shù)有20棵，梨樹(shù)的棵數(shù)是桃樹(shù)的，梨樹(shù)有幾棵？

補(bǔ)充板書：桃樹(shù)：1 20棵 梨樹(shù)： ？棵

生2：蘋果樹(shù)有20棵，杏樹(shù)比蘋果樹(shù)多，杏樹(shù)有幾棵？

板書：蘋果樹(shù)：1 20棵 杏樹(shù)：1+ ？棵

……

關(guān)鍵句能起到牽一發(fā)動(dòng)全身的作用。學(xué)生根據(jù)兩個(gè)關(guān)鍵句分別編寫了利用分?jǐn)?shù)乘、除法解決的問(wèn)題各一道，整體呈現(xiàn)了利用分?jǐn)?shù)解決問(wèn)題的基本類型。與教師直接呈現(xiàn)題目相比，“由關(guān)鍵句引領(lǐng)，補(bǔ)充填空”的方式充分調(diào)動(dòng)了學(xué)生思維的積極性和主動(dòng)性，學(xué)生從一開(kāi)始就成為學(xué)習(xí)的主人。

二、分類對(duì)比，有效建模

學(xué)生在學(xué)習(xí)各個(gè)單元的知識(shí)時(shí)，只是對(duì)各單元的知識(shí)有了初步的領(lǐng)悟，對(duì)各知識(shí)點(diǎn)的內(nèi)在聯(lián)系的認(rèn)識(shí)還是膚淺的，達(dá)不到應(yīng)有的深度，難以構(gòu)建整體性的“認(rèn)知框架”，以及形成綜合駕馭整體知識(shí)的能力。UbD理論認(rèn)為，留于淺表的簡(jiǎn)單覆蓋教材內(nèi)容的復(fù)習(xí)不利于學(xué)生深刻理解知識(shí)，不被理解的知識(shí)就難以實(shí)現(xiàn)遷移、應(yīng)用，只會(huì)造成“教一道會(huì)一道，沒(méi)教過(guò)就不會(huì)”的現(xiàn)象。因此，再現(xiàn)知識(shí)后，只有對(duì)單元知識(shí)之間的關(guān)系進(jìn)行研究分析，將零散的知識(shí)以一定的線索進(jìn)行組織加工，形成新的結(jié)構(gòu)，或是將其進(jìn)一步納入原有的知識(shí)體系中，才能幫助學(xué)生完善數(shù)學(xué)的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，而分類對(duì)比是梳理知識(shí)結(jié)構(gòu)行之有效的方法。

【教學(xué)片段2】師：下面是大家剛才編出的四道題，能按一定的標(biāo)準(zhǔn)把這四道題進(jìn)行分類嗎？

板書：

（1）梨樹(shù)的棵數(shù)是桃樹(shù)的

桃樹(shù)：1 20棵 桃樹(shù)：1 ？棵

梨樹(shù)： ？棵 梨樹(shù)： 18棵

（2）杏樹(shù)比蘋果樹(shù)多

蘋果樹(shù)：1 20棵 蘋果樹(shù)：1 ？棵

杏樹(shù)：1+ ？棵 杏樹(shù)：1+ 25棵

生1：第一行的兩道為一類，第二行的兩道為一類。因?yàn)榈谝活惗际且阎獑挝弧?”的量，用乘法做的；第二類的單位“1” 都是未知的，用除法或者方程解決。

師：明明關(guān)鍵句不一樣，為什么解決的方法一樣呢？

生2：其實(shí)關(guān)鍵句（2）“杏樹(shù)比蘋果樹(shù)多”，意思是“杏樹(shù)是蘋果樹(shù)的（1+）”，這樣改寫后跟關(guān)鍵句（1）的描述方法就一樣了。

師：也就是說(shuō)，這兩個(gè)關(guān)鍵句都在描述“一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的幾分之幾”。因此，看似不同的兩類題目，其實(shí)為同一類，解決方法也相同，只是穿了不同的“外衣”。

師：這四道題有什么相同的地方嗎？

生3：都是已知兩個(gè)量的分率關(guān)系和其中一個(gè)量，求另一個(gè)量。

師：對(duì)，兩個(gè)量的關(guān)系已知，其中一個(gè)量已知，就可以求出另一個(gè)量。像這樣的題目你還能編幾道嗎？

（在學(xué)生編題后，教師可追問(wèn)：“你編的這個(gè)問(wèn)題能解決嗎？怎么解決呢？”）

師：除了添加一個(gè)量的條件，還可以是怎么樣的條件？

生4：桃樹(shù)和梨樹(shù)共24棵，梨樹(shù)的棵數(shù)是桃樹(shù)的，桃樹(shù)、梨樹(shù)各幾棵？

板書：桃樹(shù)：1 ？棵 梨樹(shù)： ？棵

桃樹(shù)+梨樹(shù)：（1+） 24棵

生5：可以把“桃樹(shù)+梨樹(shù)”看成第三種樹(shù)，第三種樹(shù)是桃樹(shù)的（1+），而第三種樹(shù)的棵數(shù)是已知的，就可以求出單位“1”的量（桃樹(shù)的棵數(shù)）。如果已知桃樹(shù)和梨樹(shù)的差，也可以求出桃樹(shù)的棵數(shù)，方法類似。

師：誰(shuí)來(lái)試著編一題？

生6：桃樹(shù)比梨樹(shù)多8棵，梨樹(shù)的棵數(shù)是桃樹(shù)的，桃樹(shù)、梨樹(shù)各幾棵？把“桃樹(shù)-梨樹(shù)”看成第三種樹(shù)，第三種樹(shù)是桃樹(shù)的（1-），有8棵，也能求出單位“1”的量（桃樹(shù)的棵數(shù)）。

板書：桃樹(shù)：1 ？棵 梨樹(shù)： ？棵

桃樹(shù)-梨樹(shù)：（1-） 8棵

為了讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)知識(shí)之間的聯(lián)系，要盡量剔除不必要的細(xì)枝末節(jié)，便于學(xué)生觀察和發(fā)現(xiàn)。為此，我采用了如下板書形式：

桃樹(shù)：1 20棵 蘋果樹(shù)：1 20棵

梨樹(shù)： ？棵 杏樹(shù)：1+ ？棵

桃樹(shù)：1 ？棵 蘋果樹(shù)：1 ？棵

杏樹(shù)： 18棵 杏樹(shù)：1+ 25棵

學(xué)生很快就發(fā)現(xiàn)“每一行的結(jié)構(gòu)完全一樣，解題方法也一樣”，從而成功建立了分?jǐn)?shù)乘法、除法應(yīng)用題的“類”模型。學(xué)生在進(jìn)一步的比較中還能夠發(fā)現(xiàn)分?jǐn)?shù)應(yīng)用題的共同特點(diǎn)“已知兩個(gè)量的分率關(guān)系和一個(gè)量，就可以求出另一個(gè)量”，得出了分?jǐn)?shù)應(yīng)用題的模型。第二次的編題讓學(xué)生鞏固了解決分?jǐn)?shù)應(yīng)用題的基本模型及相應(yīng)的解決方法，第三次的編題能幫助學(xué)生根據(jù)分?jǐn)?shù)應(yīng)用題的模型豐富外延，內(nèi)化模型。通過(guò)這個(gè)完整的建模過(guò)程，學(xué)生建立起了分?jǐn)?shù)應(yīng)用題最基本模型：已知兩個(gè)量的關(guān)系和其中一個(gè)量，就可以求出另一個(gè)量。

三、縱深溝通，促進(jìn)理解

將新的知識(shí)納入已有的知識(shí)系統(tǒng)，有利于學(xué)生完善數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，對(duì)知識(shí)進(jìn)行化歸，從而促進(jìn)知識(shí)的理解。分?jǐn)?shù)乘除法應(yīng)用題是整數(shù)乘除法應(yīng)用題的延伸，如果能將其和整數(shù)乘除法應(yīng)用題進(jìn)行聯(lián)系，就能產(chǎn)生事半功倍的教學(xué)效果。

【教學(xué)片段3】師：已知兩個(gè)量的關(guān)系和其中一個(gè)量，求另一個(gè)量。以前我們學(xué)過(guò)類似的問(wèn)題嗎？請(qǐng)舉個(gè)例子。

生1：小明有5本故事書，小紅的本數(shù)是小明的2倍，小紅有幾本故事書？（用乘法計(jì)算）

板書：小明：1 5本 小紅：2 ？本

生2：小東有8本科幻書，小東的本數(shù)是小丁的2倍，小丁有幾本科幻書？（求單位“1”用除法計(jì)算）

板書：小?。? ？本 小東：2 8本

師：以前我們說(shuō)的一倍數(shù)就是現(xiàn)在的單位“1”的量。這些整數(shù)應(yīng)用題和分?jǐn)?shù)應(yīng)用題又有什么不同呢？

生3：前一類的兩個(gè)量的關(guān)系用整數(shù)（倍數(shù)）來(lái)表示，后一類的兩個(gè)量的關(guān)系用分?jǐn)?shù)（分率）表示，其實(shí)解決方法都一樣。

整數(shù)乘除法解決問(wèn)題和分?jǐn)?shù)乘除法解決問(wèn)題都是同一種類型的問(wèn)題，但是相比較而言，學(xué)生更容易理解整數(shù)乘除法解決問(wèn)題。通過(guò)板書分析整數(shù)乘除法問(wèn)題的結(jié)構(gòu)，能夠從“形”上溝通聯(lián)系整數(shù)乘除法解決問(wèn)題和分?jǐn)?shù)乘除法解決問(wèn)題之間的關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注兩者的本質(zhì)聯(lián)系：以前我們說(shuō)的一倍數(shù)就是現(xiàn)在的單位“1”的量。

數(shù)學(xué)模型關(guān)注的對(duì)象是許多具有普遍性的事物，而這樣的事物具有一些共同的特點(diǎn)。數(shù)學(xué)建模應(yīng)該是一個(gè)不斷感知、積累、分析和判斷的過(guò)程。教師要有數(shù)學(xué)建模的意識(shí)，要在學(xué)生已經(jīng)擁有的豐富的感性材料的基礎(chǔ)上引導(dǎo)學(xué)生緊緊抓住知識(shí)的關(guān)鍵特征，溝通聯(lián)系，從而完善、更新數(shù)學(xué)認(rèn)知體系。

（責(zé)編 金 鈴）