☉江蘇省無(wú)錫市第一女子中學(xué) 項(xiàng) 菲

學(xué)生在遇到難題時(shí)能夠及時(shí)請(qǐng)教老師是一種優(yōu)良的本能反應(yīng)，教師及時(shí)幫助學(xué)生解決疑難能夠起到多方面的效應(yīng).學(xué)生帶著問(wèn)題請(qǐng)教老師是其內(nèi)在需求驅(qū)動(dòng)的表現(xiàn)，教師為學(xué)生診斷思維障礙則是了解學(xué)情的大好良機(jī)，這相互之間的情感交融能更好地促進(jìn)學(xué)生心智的覺(jué)醒以及智慧的生成.

教師在回答學(xué)生疑問(wèn)之時(shí)能夠采取的形式很多，但終究必須遵循幫助學(xué)生學(xué)會(huì)思考并形成智慧的這一原則.筆者教學(xué)中的一個(gè)實(shí)例如下.

學(xué)生疑問(wèn)：已知A（2，-3），B（4，-1），C（a，0），D（a+3，0）在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，當(dāng)a為何值時(shí)能令四邊形ABCD周長(zhǎng)最?。?/p>

幫助學(xué)生解決這一問(wèn)題的整個(gè)過(guò)程如下.

一、以退為進(jìn)，降低探索入口

圖1

師：大家先來(lái)看看這個(gè)問(wèn)題：已知A（2，-3），B（4，-1），C（a，0），則a為何值時(shí)能令△ABC周長(zhǎng)最小？此題會(huì)做嗎？

生1：這是求CA+CB最小的幾何問(wèn)題，如圖1所示，關(guān)鍵是x軸上的點(diǎn)C的橫坐標(biāo).可以先找出A（2，-3）關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)A′（2，3），然后連接A′B，可得直線A′B的解析式為y=-2x+7，令y=0，得x=，聯(lián)系初二學(xué)習(xí)過(guò)得內(nèi)容可知，當(dāng)a=時(shí)，CA+CB最小，AB的長(zhǎng)是一定的，因此此時(shí)△ABC周長(zhǎng)最小.

圖2

生2：（觀察很久）：C點(diǎn)應(yīng)該滿足CA′=CA和C、A′、B三點(diǎn)一線才可以.

師：觀察得很仔細(xì)，你的結(jié)果或許有用.我們回過(guò)頭來(lái)看看你們先前的問(wèn)題，四邊形ABCD的周長(zhǎng)是AB+BD+DC+CA，DC為長(zhǎng)是3的位于x軸的動(dòng)線段，AB為定線段，因此，問(wèn)題直接轉(zhuǎn)化成了AC+BD最小即能令四邊形ABCD周長(zhǎng)最小，兩定兩動(dòng)求距離和最小這一問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化成兩定一動(dòng)的問(wèn)題嗎？（如圖2中的實(shí)線部分四邊形ABCD）

給幾位學(xué)生一定的思考與討論時(shí)間后，有學(xué)生發(fā)言了.

生3：如果將圖2中的AC向右平

通過(guò)采用現(xiàn)代的組合砂輪工具，磨削工藝和拋光工藝能夠同時(shí)實(shí)現(xiàn)。在展成法磨齒工藝中，組合砂輪工具得到了充分地使用。

移到A′D的位置，求AC+BD最小就意味著求x軸上一點(diǎn)D并使A′D+DB最小這一問(wèn)題了.具體如下：把點(diǎn)A（2，-3）右移3個(gè)單位得A′（5，-3），作A′關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)A′′（5，3），連接A′B，則A′B和x軸的交點(diǎn)就是我們要求的，而且點(diǎn)D確定之后點(diǎn)C也因此確定了.

師：能說(shuō)說(shuō)理由嗎？

生3：根據(jù)平移知識(shí)可得AC=A′D，A′、A′′關(guān)于x軸對(duì)稱，所以A′D=A′D，即AC=A′D，由線段基本性質(zhì)得A′D+DB最小，則有AC+DB最小，因?yàn)锳B、CD的長(zhǎng)都為定值，因此四邊形ABCD的周長(zhǎng)此時(shí)是最小的.

師：怎樣求a呢？

生4：首先求出直線A′′B的解析式y(tǒng)=4x-17，令y=0，得x=，所以a+3=，則a=.

師：還有其他辦法嗎？

生1：他是平移AC來(lái)轉(zhuǎn)化解題得，平移DB也行，我來(lái)畫圖（圖3）.

其他學(xué)生在這啟發(fā)下又畫出了圖4和圖5并進(jìn)行了理由說(shuō)明（略）.

圖3

圖4

圖5

教師將學(xué)生的疑問(wèn)進(jìn)行轉(zhuǎn)化并促進(jìn)學(xué)生自主思考就好比為學(xué)生培育了智慧生長(zhǎng)的土壤，教師在這一過(guò)程中應(yīng)啟發(fā)學(xué)生這一思維主體的覺(jué)醒并使其心智得到啟發(fā).回顧此題的思考與解決，圖1中的AC=A′C，A′、C、B三點(diǎn)共線這兩個(gè)本質(zhì)條件的靈活應(yīng)用正是學(xué)生在智慧生成的過(guò)程中獲得的.

二、啟思誘導(dǎo)，變式中拓展思維空間

問(wèn)題解決到這一階段也已經(jīng)算解決了，不過(guò)細(xì)看C、D兩點(diǎn)的位置不難發(fā)現(xiàn)本題仍具有一定的可變性，于是筆者提出這樣一問(wèn)：假設(shè)C、D位置發(fā)生了變化，你們能不能進(jìn)行新題的改編呢？

學(xué)生在另一個(gè)課余時(shí)間進(jìn)行了改編題目與解答的展示.

題目1：已知A（2，-3），B（4，-1），C（0，a），D（0，a+3）在平面直角坐標(biāo)系中，則a為何值時(shí)能令四邊形ABDC周長(zhǎng)最??？

略解：如圖6，作點(diǎn)A關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)A′并將之往上平移3個(gè)單位可得A′′（-2，0），連接A′′B與y軸相交于D，根據(jù)原題的解答可知此時(shí)四邊形ABDC的周長(zhǎng)最小.

設(shè)直線A′′B的解析式為y=kx+b，將A′′（-2，0），B（4，-1）代入可得y=-x-.令x=0得y=-，所以a+3=-，即a=-.

題目2：已知A（2，-3），B（4，-1），C（0，a），D（b，0）在平面直角坐標(biāo)系中，則a、b為何值時(shí)能令四邊形ABDC周長(zhǎng)最?。?/p>

圖6

圖7

略解：如圖7，作點(diǎn)A關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)A′（-2，-3），作點(diǎn)B關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)B′（4，1），連接A′B′交x軸于點(diǎn)D，交y軸于點(diǎn)C，則四邊形ABDC周長(zhǎng)此時(shí)最小.

筆者追問(wèn)：有什么理由說(shuō)它周長(zhǎng)此時(shí)最小呢？

生1：在x、y軸上分別取不同于D、C的點(diǎn)D1、C1，則有BD+DC+CA=B′D+CD+CA′=B′A′＜B′D1+D1C1+C1A′（線段B′A′的長(zhǎng)小于折線斷BD1C1A′的長(zhǎng)），因此四邊形ABDC周長(zhǎng)最小.

生2：設(shè)直線A′B′的解析式為y=kx+b，將A（′-2，-3），B（′4，1）代入后可得y=x-，令x=0得y=-，令y=0得x=，則當(dāng)a=-，b=時(shí)，四邊形ABDC周長(zhǎng)最小.

生3：假如將C、D兩點(diǎn)的坐標(biāo)改成C（a，0），D（0，b），由圖8可得，當(dāng)a、b不等于0時(shí)，四邊形ABDC的周長(zhǎng)取不到最小值.

生4：我們也有將點(diǎn)D坐標(biāo)用（a+3，0）或（0，a+3）來(lái)表示的想法，不過(guò)在符合條件的a的值上感覺(jué)有難度，是不是有什么辦法可以解決？

筆者在學(xué)生展示自編新題與解答過(guò)程中也適時(shí)進(jìn)行了追問(wèn)，學(xué)生在整個(gè)過(guò)程中展現(xiàn)出了流暢的思路，感受到了學(xué)生在此題的探索中已經(jīng)逐步學(xué)會(huì)了運(yùn)用變化的觀點(diǎn)來(lái)進(jìn)行可變圖形的觀察，深知學(xué)生對(duì)課本知識(shí)的本質(zhì)以及思維的入口已經(jīng)很好掌握與定位，欣慰于學(xué)生內(nèi)在驅(qū)動(dòng)力不斷生成的同時(shí)也對(duì)學(xué)生提出了更高的要求，請(qǐng)學(xué)生對(duì)問(wèn)題的新型解法進(jìn)行探索.

圖8

三、思路突破，探求新解法

用題目2的解法來(lái)解決生4所提出的問(wèn)題確實(shí)是行不通的，因?yàn)镃，D坐標(biāo)中的a、b并不能滿足b=a+3，也就是說(shuō)A′，C（0，a），D（a+3，0），B′或A′，C（a，0），D（0，a+3），B′不可能共線.

師生又作探討：設(shè)C（0，a）、D（a+3，0），根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式得：AC+BD=，此時(shí)用代數(shù)方法求AC+BD的最小值無(wú)法解決，是否能從式子的特征結(jié)構(gòu)來(lái)構(gòu)造符合等式結(jié)構(gòu)的圖形最終解決問(wèn)題呢？大家可以再試試.

這幾個(gè)學(xué)生在又一個(gè)空余的時(shí)間呈現(xiàn)了他們的再次解答：設(shè)a+3=x，則1-a=1-（x-3）=4-x，此時(shí)AC+BD=

圖9

根據(jù)這一等式特征可以構(gòu)造圖9并觀察得出：?jiǎn)栴}最終化歸為在長(zhǎng)是4的線段上找一點(diǎn)C（D）并使AC+BC最小，作點(diǎn)B關(guān)于直線EF的對(duì)稱點(diǎn)B′，連AB′交EF于C，則點(diǎn)C即為所求，由△AEC∽△B′FC可得：2∶x=1（∶4-x），x=，由a+3=時(shí)，折線CABD的長(zhǎng)最小.

生2受到啟發(fā)并畫出圖10進(jìn)行了解答.設(shè)C（a，0），D（0，a+3），根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式得AC+BD=.設(shè)a+4=x，則2-a=2-（x-4）=6-x，所以AC+，根據(jù)等式特征構(gòu)造出圖11并可觀察出，當(dāng)C、D重合且A、C、B三點(diǎn)共線時(shí)，AC+BD最小，由△AEC∽△BFC可得，4∶x=3（∶6-x），x=，由a+4=，得a=-，則a+3=，即當(dāng)C（-，0 ），D（0，）時(shí)，折線CABD最短.

圖10

圖11

很顯然，在C（0，a），D（a+3，0）或C（a，0），D（0，a+3）的條件下求四邊形ABDC周長(zhǎng)最小時(shí)a的值對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)是解決不了的，但學(xué)生在原題的深度討論與探索中所獲得的智慧與感悟卻是永存心間的.

四、反思總結(jié)，引領(lǐng)學(xué)生智慧成長(zhǎng)

1.引領(lǐng)學(xué)生在化歸中智慧成長(zhǎng)

學(xué)生往往因?yàn)橐延兄R(shí)與問(wèn)題結(jié)論之間無(wú)法形成聯(lián)系的通道而令自己的思維受阻，化歸是此時(shí)打破思維僵局并促進(jìn)學(xué)生智慧生成的有效辦法，因此，教師在解答學(xué)生疑惑時(shí)應(yīng)專注于啟發(fā)學(xué)生如何思考，使學(xué)生能夠在不斷的引導(dǎo)與啟發(fā)下將已有知識(shí)與有待解決的問(wèn)題形成對(duì)接并順利突破.

2.引領(lǐng)學(xué)生在變化中智慧成長(zhǎng)

很多教師在實(shí)際教學(xué)中往往止步于問(wèn)題的解釋、思路或結(jié)果，對(duì)于問(wèn)題所能產(chǎn)生的價(jià)值卻關(guān)注甚少，這對(duì)于學(xué)生的智慧成長(zhǎng)來(lái)說(shuō)是消極的.教師在解決學(xué)生疑惑時(shí)應(yīng)看到問(wèn)題背后隱藏的本質(zhì)并引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行條件、結(jié)論等的變式，使問(wèn)題在不斷變化中衍生出更多的內(nèi)涵并因此促進(jìn)學(xué)生智慧的生成.

3.引領(lǐng)學(xué)生在另辟蹊徑中智慧成長(zhǎng)

一些暫時(shí)無(wú)法解決的問(wèn)題在另辟蹊徑后往往會(huì)令學(xué)生學(xué)習(xí)興趣倍增，也能促進(jìn)學(xué)生能力的超越并使學(xué)生在再發(fā)現(xiàn)、再創(chuàng)造出獲得更加光亮的思維火花，學(xué)生在這些可變性、可解性問(wèn)題的探索中往往能夠迸發(fā)、生成新智慧.H