☉江 南 大 學(xué) 附 屬 實(shí) 驗(yàn) 中 學(xué) 龐彥福

☉江蘇省無錫市東絳實(shí)驗(yàn)學(xué)校（中學(xué)部） 陳秋曉

☉山 東 省 肥 城 市 龍 山 中 學(xué) 李洪濤

一、試卷的整體情況分析

數(shù)學(xué)教育教學(xué)的目的是使學(xué)生掌握必要的數(shù)學(xué)知識(shí)，體悟數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中的基本思想方法，提升數(shù)學(xué)能力，增長(zhǎng)數(shù)學(xué)智慧.中考是檢測(cè)學(xué)生幾年來在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中獲得的知識(shí)、能力與智慧，以及學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的理解力、運(yùn)用力及學(xué)習(xí)力的有效手段.2018年南京數(shù)學(xué)中考試題遵循《關(guān)于全面深化課程改革，落實(shí)立德樹人根本任務(wù)的意見》的基本要求，體現(xiàn)《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（以下簡(jiǎn)稱《標(biāo)準(zhǔn)》）的基本理念，充分考查了學(xué)生的基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能，注重對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)思想方法、創(chuàng)新意識(shí)與實(shí)踐能力的考查.將數(shù)學(xué)能力的考查落實(shí)在學(xué)生層面上體現(xiàn)了“算”與“證”的本質(zhì).當(dāng)然試卷上的“算”并不是死算，而需要有“運(yùn)”的過程、“計(jì)”的方法；“證”是推理，是尋道，是發(fā)現(xiàn).全卷采取多題把關(guān)、多題壓軸，而且把關(guān)的大題切入點(diǎn)適宜，信度、效度、梯度合理，制高點(diǎn)具有挑戰(zhàn)性，設(shè)問角度新，思辨空間靈動(dòng)且豐富，能激發(fā)學(xué)生的好奇心和探究欲，學(xué)生的解答過程能夠體現(xiàn)出不同層次的數(shù)學(xué)品質(zhì)、素養(yǎng)和習(xí)慣，具有很好的效度和區(qū)分度.同時(shí)試題在堅(jiān)守近幾年的命題風(fēng)格基礎(chǔ)上，進(jìn)行了適度的發(fā)展與創(chuàng)新，對(duì)知識(shí)和能力實(shí)現(xiàn)了寬視野、多角度、多層次考查，既考查了初中畢業(yè)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的整體理解力，也考查了學(xué)生對(duì)所掌握基本知識(shí)的運(yùn)用力、思維力，同時(shí)又兼顧了高中階段選拔需要的可持續(xù)發(fā)展力.在“數(shù)與代數(shù)”“空間與圖形”“統(tǒng)計(jì)與概率”等板塊設(shè)置合理，而且能夠?qū)ⅰ熬C合與實(shí)踐”內(nèi)容有機(jī)融入其中，把“四基”作為命題的重點(diǎn)，從知識(shí)技能、數(shù)學(xué)思考、問題解決、情感態(tài)度四個(gè)維度進(jìn)行考查.不像有的試題命制風(fēng)格是前半部分“送分”后半部分“送命”！整份試卷立意求新，層次分明，亮點(diǎn)紛呈，考查知識(shí)覆蓋面廣，是一份質(zhì)量較高的考查數(shù)學(xué)能力的試卷.

表1 試卷考查的知識(shí)點(diǎn)分布

二、典型試題賞析

1.低起點(diǎn)，易上手，立足基礎(chǔ)

初中階段數(shù)學(xué)中的核心知識(shí)點(diǎn)是形成數(shù)學(xué)能力的重要載體和抓手.對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的考核與評(píng)價(jià)首先體現(xiàn)在基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想方法和基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)四個(gè)方面，注重知識(shí)的直接應(yīng)用.試卷中基礎(chǔ)題占的比重較大，約為總量的70%.即使是后面的大題對(duì)大部分學(xué)生來說還是比較容易上手的.

例1 （第26題）如圖1，在正方形ABCD中，E是AB上一點(diǎn)，連接DE.過點(diǎn)A作AF⊥DE，垂足為F.⊙O經(jīng)過點(diǎn)C、D、F，與AD相交于點(diǎn)G.

（1）求證：△AFG∽△DFC；

（2）若正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，AE=1，求⊙O的半徑.

圖1

賞析：觀察圖形，對(duì)于第（1）問，學(xué)生容易上手，先根據(jù)“圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)”得∠FGD+∠FCD=180°，又由∠FGD+∠AGF=180°，得出∠FCD=∠AGF.再利用“同角的余角相等”得到∠FDC=∠FAG.根據(jù)“兩角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似”證得△AFG∽△DFC顯得自然合理.盡管是次壓軸題，該問絕大多數(shù)學(xué)生能夠拿到分?jǐn)?shù).第（2）問要求⊙O的半徑，如何獲得解題思路呢？其實(shí)方法較多，現(xiàn)舉出兩種解題思路.

圖2

思路二：連接GC，先規(guī)避繁瑣的運(yùn)算過程.由“90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑”，可知CG為⊙O的直徑，要求半徑，只要求出直徑CG即可.在Rt△GDC中，已有CD為4，若能出現(xiàn)AG=AE=1，則問題解決.利用（1）△AFG∽△DFC，可得.又易證△AEF∽△DAF（當(dāng)然也可證明△EDA∽△ADF），則，這樣就由AD=DC，得出AG=AE，從而問題得到解決.

解決第（2）問的思路二減少了復(fù)雜的運(yùn)算，但對(duì)學(xué)生的邏輯推理能力有了更高的要求，這樣證明線段相等的思路也是常見的.該題綜合考察圓、相似三角形的有關(guān)知識(shí).從題目呈現(xiàn)的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)看，第（1）問是解決第（2）的基礎(chǔ)、“梯子”.有了這樣的“梯子”或鋪墊就容易拾級(jí)而上.

2.高觀點(diǎn)，重核心，突出主干

主干知識(shí)是中考命題者青睞的對(duì)象，在數(shù)學(xué)的核心知識(shí)的交匯處命題，有利于考查學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)及探究能力，有助于從知識(shí)考查走向能力立意.

例2 （第20題）如圖3，在四邊形ABCD中，BC=CD，∠C=2∠BAD.O是四邊形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，且OA=OB=OD.求證：

（1）∠BOD=∠C；

（2）四邊形OBCD是菱形.

賞析：識(shí)別角的關(guān)系、識(shí)別特殊平行四邊形（菱形），是初中數(shù)學(xué)的核心知識(shí)點(diǎn)，是重要內(nèi)容.第（1）問，證明兩個(gè)角相等，結(jié)合已知條件中的“∠C=2∠BAD”，可轉(zhuǎn)化至證∠BOD=2∠BAD即可.

如何證明呢？方法是不唯一的.

思路一：題中“OA=OB=OD”屬于“定點(diǎn)定長(zhǎng)型”，易想到構(gòu)造圓.點(diǎn)A、B、D是在以點(diǎn)O為圓心、OA為半徑的“隱圓”上，如圖4.根據(jù)“圓周角的度數(shù)等于它所對(duì)弧上的圓心角度數(shù)的一半”即可得到∠BOD=2∠BAD.

思路二：若“心中無圓”，依然容易想到：作AO的延長(zhǎng)線OE，如圖5.由“三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和”，不難得到∠BOE=2∠BAO，∠DOE=2∠DAO，從而證明出∠BOD=2∠BAD，于是問題得到解決.

圖3

圖4

圖5

圖6

第（2）問證明四邊形OBCD是菱形.根據(jù)菱形的判定定理：四邊相等的四邊形是菱形，對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形.因此，證法1：連接OC，如圖6，先證△BOC≌△DOC，得到∠BOC=∠DOC、∠BCO=∠DCO.再根據(jù)（1）∠BOD=∠BCD，可得∠BOC=∠DOC=∠BCO=∠DCO.從而得到OB=BC=CD=DO，實(shí)現(xiàn)由“四邊形”到“菱形”的證明.證法2：若連接OC、BD，由“OB=OD、CB=CD”得OC是BD的垂直平分線，根據(jù)“對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形”，從而可以證明.這一過程中，容易忽略是沒有先證明出“四邊形OBCD是平行四邊形”，這是推理過程中不完備的地方.其實(shí)，菱形的定義也是識(shí)別菱形的方法，“有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形”，因此，還可運(yùn)用證法3：先證四邊形OBCD是平行四邊形，再找出一組鄰邊相等.

題目解答方法越多，學(xué)生答題時(shí)選擇的余地就較大，從而就越能考查出學(xué)生思維能力、理解能力、思辨能力以及運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題的能力.

3.識(shí)圖形，重關(guān)聯(lián)，彰顯本質(zhì)

選拔性考試離不開一定量的難題來實(shí)現(xiàn)區(qū)分，考試中的所謂難題，目的是將不同層次的學(xué)生區(qū)分開來.這樣的題目在命制和設(shè)置的過程中，或是綜合性較強(qiáng)，或是運(yùn)用的知識(shí)點(diǎn)較多，或是需要深度的思考與理解.

例3 （第16題）如圖7，在矩形ABCD中，AB=5，BC=4，以CD為直徑作⊙O.將矩形ABCD繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，使所得矩形A′B′C′D′的邊A′B′與⊙O相切，切點(diǎn)為E，邊CD′與⊙O相交于點(diǎn)F，則CF的長(zhǎng)為______.

圖7

圖8

賞析：求圓中的一條弦長(zhǎng)，從題目到圖形，構(gòu)圖自然、妥帖，為學(xué)生所熟悉，考查學(xué)生對(duì)基本圖形的識(shí)別和邏輯推理能力.多數(shù)學(xué)生可能會(huì)想到平時(shí)學(xué)習(xí)中常用的解題策略，譬如構(gòu)造“垂徑三角形”.如何構(gòu)造呢？由條件“相切”自然而然聯(lián)想到“垂直”，是一種常用的切入方法.連接OE并反向延長(zhǎng)交CD′于G，如圖8，便可構(gòu)造出所需要的目標(biāo)三角形Rt△OGC.由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知，CB′=CB=4=EG，由半徑OE=OC=CD=，進(jìn)而求得OG=，再根據(jù)勾股定理得出GC=2，然后根據(jù)垂徑定理求得CF=2CG=4，即為答案.

此題以幾何圖形的運(yùn)動(dòng)——旋轉(zhuǎn)變換為載體，結(jié)合矩形、圓和直角三角形，利用幾何知識(shí)進(jìn)行推算.作為填空題的壓軸題，也是客觀題的壓軸題，在計(jì)算并不復(fù)雜的前提下，覆蓋知識(shí)廣泛，較好地考查了學(xué)生的綜合能力.圖形變換的方法，融入數(shù)學(xué)核心思想方法，突出考查學(xué)生的思維過程和數(shù)學(xué)素養(yǎng)，這種理念與PISA測(cè)試的基本思想相吻合.

4.從方程，至函數(shù)，厘清推算

方程、函數(shù)是刻畫現(xiàn)實(shí)世界數(shù)量關(guān)系的有效模型，學(xué)習(xí)方程、函數(shù)，就要會(huì)探索簡(jiǎn)單實(shí)例中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，能結(jié)合圖像對(duì)簡(jiǎn)單實(shí)際問題中的函數(shù)關(guān)系進(jìn)行分析，用適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)表示法（包括圖像）刻畫簡(jiǎn)單實(shí)際問題中變量之間的關(guān)系，結(jié)合對(duì)函數(shù)關(guān)系的分析，能對(duì)變量的變化情況進(jìn)行合理討論，從定性分析到定量刻畫.

例4 （第24題）已知二次函數(shù)y=2（x-1）（x-m-3）（m為常數(shù)）.

（1）求證：不論m為何值，該函數(shù)的圖像與x軸總有公共點(diǎn)；

（2）當(dāng)m取什么值時(shí)，該函數(shù)的圖像與y軸的交點(diǎn)在x軸的上方？

這個(gè)試題立意新穎，構(gòu)思巧妙，極富創(chuàng)意，蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)內(nèi)涵和思想方法，考查了學(xué)生對(duì)信息的提取與處理能力、問題的探索與分析能力、模型的建立與選擇能力，考查學(xué)生對(duì)函數(shù)本質(zhì)的理解水平，同時(shí)能很好地考查出學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和數(shù)學(xué)基本功.

5.探與思，理中運(yùn)，孕育過程

《標(biāo)準(zhǔn)》指出：數(shù)學(xué)課程內(nèi)容“不僅包括數(shù)學(xué)的結(jié)果，也包括數(shù)學(xué)結(jié)果的形成過程和蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法”.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程是學(xué)生在特定的數(shù)學(xué)目標(biāo)的指引下，進(jìn)行數(shù)學(xué)探究和發(fā)現(xiàn)活動(dòng)的過程.

例5 （第27題）結(jié)果如此巧合！

下面是小穎對(duì)一道題目的解答.

題目：如圖9，Rt△ABC的內(nèi)切圓與斜邊AB相切于點(diǎn)D，AD=3，BD=4，求△ABC的面積.

解：設(shè)△ABC的內(nèi)切圓分別與AC、BC相切于點(diǎn)E、F，CE的長(zhǎng)為x.

根據(jù)切線長(zhǎng)定理，得AE=AD=3，BF=BD=4，CF=CE=x.

根據(jù)勾股定理，得（x+3）2+（x+4）2=（3+4）2.

整理，得x2+7x=12.

圖9

小穎發(fā)現(xiàn)“12”恰好就是“3×4”，即△ABC的面積等于AD與BD的積.這僅僅是巧合嗎？

請(qǐng)你幫她完成下面的探索.

已知：△ABC的內(nèi)切圓與AB相切于點(diǎn)D，AD=m，BD=n.

可以一般化嗎？

（1）若∠C=90°，求證：△ABC的面積等于mn.

倒過來思考呢？

（2）若AC·BC=2mn，求證∠C=90°.

改變一下條件……

（3）若∠C=60°，用m、n表示△ABC的面積.

賞析：該題考法新穎，貼合學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的已有經(jīng)驗(yàn)，考查學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)力，需要學(xué)生具有閱讀理解能力、遷移能力和創(chuàng)新能力，旨在引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)探究的學(xué)習(xí)方式，促進(jìn)學(xué)生終生學(xué)習(xí)能力的發(fā)展.第（1）問，特殊問題一般化，不僅能使命題的結(jié)構(gòu)和規(guī)律更為清晰，同時(shí)又是下面問題的“藥引”，肯學(xué)習(xí)的學(xué)生是不難上手的.第（2）問，逆向思考，引導(dǎo)學(xué)生合理思辨，探究逆命題的正確性，會(huì)學(xué)習(xí)的學(xué)生是能夠嘗試的.第（3）問，是前兩問的升華，既要通過前兩問獲得猜想結(jié)果，又要找出問題的突破口和切入點(diǎn)，善于學(xué)習(xí)的學(xué)生是可以乘勝追擊的.通過“問題一般化”“倒過來思考”“條件變式”來完成課題學(xué)習(xí).公平合理地考查學(xué)生的現(xiàn)場(chǎng)學(xué)習(xí)能力，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)解題后的反思，不斷積累學(xué)習(xí)和解題的經(jīng)驗(yàn).“授人以魚，不如授人以漁”，學(xué)生在自主學(xué)習(xí)“方法示范”的基礎(chǔ)上，為解題打開思路.解題的過程就是問題轉(zhuǎn)化的過程.

三、教學(xué)建議

1.注重基礎(chǔ)，凸顯數(shù)學(xué)理解力

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)重在理解，理解就必須打好基礎(chǔ).譬如運(yùn)算往往是許多學(xué)生考試中的“關(guān)”和“坎”.基礎(chǔ)的是基本的、重要的，教與學(xué)只有立足基礎(chǔ)、夯實(shí)基礎(chǔ)，才能循序漸進(jìn)，不斷進(jìn)步與提高.即使是課外拓展與延伸也往往是功在課內(nèi)，問題在課外，題根在課內(nèi).教學(xué)中，要特別關(guān)注培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).教學(xué)中不能忽略了代數(shù)的變形、推算，要夯實(shí)運(yùn)算“童子功”；厘清幾何的推證與邏輯關(guān)系，要強(qiáng)化推理“命根子”.

2.關(guān)注過程，體現(xiàn)數(shù)學(xué)運(yùn)用力

讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)之間、數(shù)學(xué)與其他學(xué)科之間、數(shù)學(xué)與生活之間的聯(lián)系，運(yùn)用數(shù)學(xué)的思維方式進(jìn)行思考，增強(qiáng)發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力、分析和解決問題的能力.數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)的精髓和靈魂，是學(xué)生形成良好認(rèn)知結(jié)構(gòu)的紐帶，是知識(shí)轉(zhuǎn)化為能力的橋梁，要在平時(shí)的教學(xué)中逐步滲透，而且讓學(xué)生多加體悟，要能夠應(yīng)用到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和問題解決中，在學(xué)習(xí)中反思，在反思中改進(jìn)，在學(xué)習(xí)和應(yīng)用的過程中不斷積累進(jìn)一步學(xué)習(xí)的經(jīng)驗(yàn).

3.回歸本質(zhì)，彰顯數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)力

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)不能單純依賴記憶與模仿，而需要感悟與思考.注重培養(yǎng)學(xué)生的探究能力.重視概念、方法的形成過程，使學(xué)生在參與數(shù)學(xué)活動(dòng)的過程中理解、鞏固、應(yīng)用和拓展新知，數(shù)學(xué)素養(yǎng)是一種個(gè)人能力，主要體現(xiàn)為“理解數(shù)學(xué)、運(yùn)用數(shù)學(xué)、創(chuàng)新數(shù)學(xué)”的數(shù)學(xué)能力.學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界（數(shù)學(xué)抽象、直觀想象）、會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界（邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算）、會(huì)用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界（數(shù)學(xué)建模、數(shù)據(jù)分析），教學(xué)中讓學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)的建構(gòu)過程，突出對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的認(rèn)識(shí)和理解，讓學(xué)生學(xué)會(huì)探究，讓學(xué)生成為善于發(fā)現(xiàn)的智慧人.

4.固化知識(shí)，提升學(xué)生解題力

通過不斷思考，讓學(xué)生在掌握所學(xué)知識(shí)技能的同時(shí)，感悟知識(shí)的本質(zhì)，積累思維和實(shí)踐的經(jīng)驗(yàn).關(guān)注學(xué)生的合理解題、快速解題.解題教學(xué)中要關(guān)注學(xué)生是怎樣獲得解題思路的，關(guān)注學(xué)科本質(zhì)，注重通性通法.通過解題把握數(shù)學(xué)本質(zhì)，體會(huì)隱含在其中的數(shù)學(xué)思想方法，感悟數(shù)學(xué)的認(rèn)知結(jié)構(gòu).解題教學(xué)不能以題論題，要培養(yǎng)學(xué)生的問題意識(shí)，要以知識(shí)為載體培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的能力與潛力，以提升學(xué)生數(shù)學(xué)綜合素養(yǎng).