李尚志

(北京航空航天大學 100083)

測試題2

題3常數(shù)a,b使恒等式a(2x2+x+5)+b(x2+x+1)=x2-3x+13成立,則(a,b)=(__,__).

解恒等式左邊合并同類項,整理為:

(2a+b)x2+(a+b)x+(5a+b)=x2-3x+13，

比較等式兩邊對應項的系數(shù),得待定常數(shù)a,b滿足的方程

(1)式-(2)式,得:a=4.代入(2)式得:4+b=-3,b=-7.

將a=4,b=-7代入(3)式檢驗:左邊=5×4+(-7)=13=右邊.

答案:4,-7.

點評此題很常規(guī).唯一“不正?！钡氖?每個方程都是二元一次方程,卻由三個方程組成方程組.是不是二元一次方程組?是.只要由二元一次方程組成,無論多少個都是二元一次方程組.

怎樣求解?很簡單:先求出前兩個方程的公共解a=4,b=-7.代入第3個方程去檢驗,等號仍然成立.就是三個方程的公共解.

如果前兩個方程的公共解不是第3個方程的解,方程組無解.

這道題看起來意思不大.卻是為后面一道題埋下的伏筆.

原方程化為u+v=w.易驗證

4(2x2+x+5)-7(x2+x+1)=x2-3x+13

(1)

也就是

4u2-7v2=w2=(u+v)2=u2+2uv+v2.

移項,整理得3u2-2uv-8v2=0.

分解因式得(u-2v)(3u+4v)=0

?u-2v=0或3u+4v=0.

因此3u+4v>0.

只能u-2v=0,u=2v,

2x2+x+5=4(x2+x+1)?2x2+3x-1=0，

借題發(fā)揮:線性相關(guān)

本題是初中數(shù)學競賽題.初中學生能想出來嗎?按初中數(shù)學常規(guī)思路,兩邊平方去根號.左邊產(chǎn)生一個新根號,其余各項移到右邊再平方.化成4次方程,沒有有理根.難以求解.以上解法每一步用到的知識確實是初中知識.關(guān)鍵是要想到關(guān)系式(1).這個關(guān)系式不難驗證,卻很難把它湊出來.不過,只要想到根號內(nèi)的3個二次三項式可能有這種關(guān)系

a(2x2+x+5)+b(x2+x+1)=x2-3x+13 (2)

就可以解方程求出待定系數(shù)a,b.如果方程無解,那就是沒有這種關(guān)系.

多項式不是幾何向量,不能畫出圖,但也可以做加法,可以乘實數(shù),因此可以看成向量,也可以定義線性相關(guān).考慮到中學生不熟悉線性相關(guān),我的考試題中設計了第3題先讓考生算a,b,啟發(fā)他們利用這個計算結(jié)果來做第14題.

第14題能否兩邊平方去根號,化成有理系數(shù)方程求解?不妨一試.

=x2-3x+13，

再平方:8x4+12x3+32x2+24x+20

=4x4+20x3-3x2-70x+49,

移項合并得:4x4-8x3+35x2+94x-29=0

(1)

如果先由前面的解法求出了方程2x2+3x-1=0的兩個根是原方程的根,它們也應該是方程(1)的根.2x2+3x-1應該能夠整除方程(1)左邊.用2x2+3x-1除方程(1)左邊得到分解式

(2x2+3x-1)(2x2-7x+29)=0,

如果沒有前面的解法,你能將方程(1)左邊因式分解嗎?

圖1

題4P是拋物線

y2=2x上的點,Q是圓

(x-5)2+y2=1上的點,則|PQ|的最小值是________.

解圓心C(5,0)到拋物線上點P(x,y)的距離

|CP|≤|CQ|+|PQ|=1+|PQ|,

因此|PQ|≤|CP|-1.

當|CP|最小,且Q在線段CP上,

則|PQ|=|CP|-1最小.

取Q為線段CP與圓的交點,則|PQ|取最小值2.

答案:2

圖2

題5使y=

解建立平面直角坐標系xOz.A(1,4),B(-3,2)為定點.如圖2.

P(x,x)為直線OC:z=x上的動點.

則y=|PA|+|PB|.

由4>1,2>-3知A,B都在直線OC的左上方.

作A(1,4)關(guān)于直線OC的對稱點A′(4,1).

則|PA|=|PA′|,A′,B在直線OC的異側(cè).

當P在直線BA′上時,

y=|PA|+|PB|=|PA′|+|PB|最小.

即(x+3,x-2)=λ(4+3,1-2)=(7λ,-λ).

圖3

題9P是銳角∠MON=α內(nèi)固定點,|OP|=r.分別在角的兩邊OM,ON上選取點A,B使三角形△PAB的周長p最短,則p=________.

解作P關(guān)于直線OM的對稱點P1,以及P關(guān)于直線ON的對稱點P2.則|P1A|=|PA|,|BP2|=|BP|,p=|PA|+|AB|+|BP|=|P1A|+|AB|+|BP2|的最短值等于P1到P2的直線距離

=∠MOP+∠PON=α,

|OP1|=|OP|=r.

因此p的最短值等于|P1P2|=2rsinα.

答案:2rsinα

借題發(fā)揮:光的反射定律

填空第5題的要點是看出題中那兩個根號是動點P(x,x)到兩個定點A(1,4),B(-3,2)的距離|PA|,|PB|.題目要求就是求P到A,B的距離之和的最小值.也就是:從A到直線OC上某一點再到B,沿怎樣的路線路程最短？

解答方法也是經(jīng)典的:作A關(guān)于OC的對稱點,則路程APB變成A′PB,最短線是直線段A′B,也就是要求∠OPB=∠A′OC=∠AOC.這就是光從A出發(fā)照到鏡面OC上再反射到B的路線.對稱點A′是A在鏡面OC背后所成的虛像.從A′到B的直線距離等于折線段APB的總長度,也就是折線段的最短長度.

填空第9題與第5題類似,只不過現(xiàn)在有兩面鏡子OM,ON,同一個P在兩面鏡子背后各有一個虛像P1,P2,△PAB的最短周長等于虛像A1到A2的最短距離|P1P2|,PABP就是光從P出發(fā)經(jīng)過兩面鏡子反射回到P的路線.

(提示:將y看成已知數(shù),函數(shù)式看成以x為未知數(shù)的方程,求方程有實數(shù)解的條件.)

解將y看成已知數(shù),函數(shù)式看成以x為未知數(shù)的方程.使方程有解的y值的集合就是函數(shù)f的值域,從中可以找到y(tǒng)的最小值.

這是x的一元二次方程,有實數(shù)解的條件為判別式

此時一元二次方程

取最小值.

題11蜜蜂的蜂巢的每個蜂房的形狀可以由正六棱柱按如下方式得到:設O,O′分別是棱柱兩個底面正六邊形ABCDEF與A′B′C′D′E′F′的中心.在O′O的延長線上取點Q,過Q與A,C,E中每兩個點作平面,得到3個平面QAC,QCE,QEA,分別交側(cè)棱BB′,DD′,FF′于G,J,K,得到3個全等的菱形QAGC,QAKE,QCJE.在OO′的延長線上截取O′Q′=OQ,過Q′與A′,C′,E′中的每兩點作平面可得到與前述三個菱形全等的三個菱形Q′A′G′C′,Q′A′K′E′,Q′C′J′E′.這六個全等的菱形與正六棱柱的各側(cè)面圍成一個蜂房,體積與原來的正六棱柱相同.選擇點Q的位置使蜂房表面積最小,菱形的角α=∠AQC應是多大?

圖4

解以底面正六邊形的邊長|AB|為長度單位1.正六棱柱側(cè)面積為S0.設|BG|=x.則6個菱形與原來的側(cè)面圍成的蜂房表面積S等于S0減去側(cè)面被切掉的與△ABG全等的12個三角形面積,再加上與菱形AQCG全等的6個菱形面積.

SAQCG=|AC||MG|

有實數(shù)解條件為

點評：生物學家實際測量了蜂房中這些菱形的內(nèi)角,發(fā)現(xiàn)菱形的銳角都是70°32′,鈍角都是109°28′.生物學家懷疑:按照這樣的角度造出來的蜂房有可能是面積最小、最省材料的.生物學家請數(shù)學家?guī)椭鉀Q這個問題.一位數(shù)學家經(jīng)過計算得到答案:要使表面積最小,菱形的銳角應當是70°34′.過了兩年,另一個數(shù)學家重新算了一次,發(fā)現(xiàn)正確的答案就是70°32′.蜜蜂一分不差,數(shù)學家差了2′.不是數(shù)學家水平不夠,而是因為他用的三角函數(shù)表精確度不夠,導致了這2′的誤差.

題7在有理數(shù)范圍內(nèi)分解因式:x15-1=_____________________________

解x15-1=(x5-1)(x10+x5+1)

=(x-1)(x4+x3+x2+x+1)(x10+x5+1)

(1)

x10+x5+1=(x10-x)+(x5-x2)+(x+x2+1)

=x(x9-1)+x2(x3-1)+x2+x+1

=(x3-1)[x(x6+x3+1)+x2]+x2+x+1

=(x2+x+1)[(x-1)(x7+x4+x2+x)+1]

=(x2+x+1)(x8-x7+x5-x4+x3-x+1).

答案：(x-1)(x4+x3+x2+x+1)(x2+x+1)(x8-x7+x5-x4+x3-x+1)

點評：怎么知道x2+x+1是x10+x5+1的因式?x2+x+1是x15-1的因式x3-1的因式,就應該出現(xiàn)在x15-1的因式分解中.但它在分解式(1)的三個因式中沒有出現(xiàn),就說明這三個因式?jīng)]有分解到底,其中某個因式再分解就會出現(xiàn)x2+x+1.前兩個因式x-1,x4+x3+x2+x+1都不被x2+x+1整除,唯一的可能是最后一個因式x10+x5+1被它整除.

可以強行用x10+x5+1除以x2+x+1.另一個辦法是x10+x5+1先除以x3-1求余式,再用余式除以x2+x+1.x3=(x3-1)+1除以x3-1的余式等于1.將x3替換成1,除以x3-1的余式不變.將x10+x5+1=(x3)3x+x3x2+1中的x3都替換成1,得到余式x+x2+1.將x10+x5+1減去這個余式x+x2+1,得到的

x10-x+x5-x2=x(x9-1)+x2(x3-1)

可以提取公因式x3-1進而提取公因式x2+x+1,得到以上解法.

x15-1=(x-1)(x-ω)(x-ω2)…(x-ω14).

求證:x15-1的如下因式都是整系數(shù)多項式:

f1(x)=(x-ω5)(x-ω10),

f2(x)=(x-ω3)(x-ω6)(x-ω9)(x-ω12),

f3(x)=(x-ω)(x-ω2)(x-ω4)(x-ω7)(x-ω8)·(x-ω11)(x-ω13)(x-ω14).

解當m為整數(shù)時(ω5m)3=(ω15)m=1m=1.ω5m是方程x3-1=0的根.取m=1,2得ω5,ω10是方程x3-1=0的兩個不同的根,另一個根是1.因此x3-1=(x-1)(x-ω5)(x-ω10).

是整系數(shù)多項式.

當m是正整數(shù)時,(ω3m)5=(ω15)m=1,ω3m是方程x5-1=0的根.取m=1,2,3,4得到1以外的4個不同的根ω3,ω6,ω9,ω12.因此

x5-1=(x-1)(x-ω3)(x-ω6)(x-ω9)·(x-ω12)，

是整系數(shù)多項式.

x15-1=(x-1)(x-ω)…(x-ω14)是15個一次因式x-ωk(k=0,1,2,…,14)的乘積.其中k=0的一次因式x-1系數(shù)是整數(shù).

k=5m(m=1,2)的兩個一次因子的乘積(x-ω5)(x-ω10)=f1(x)系數(shù)都是整數(shù).

k=3m(m=1,2,3,4)的4個一次因子的乘積(x-ω3)(x-ω6)(x-ω9)(x-ω12)=f2(x).

除此之外所有的一次因子的乘積

=x8-x7+x5-x4+x3-x+1.

借題發(fā)揮：分圓多項式

第10題用另一種方式在有理數(shù)范圍內(nèi)對x15-1作了因式分解:

x15-1=(x-1)f1(x)f2(x)f3(x)

=(x-1)(x2+x+1)(x4+x3+x2+x+1)(x8-x7+x5-x4+x3-x+1).

分解的方法是:先在復數(shù)范圍內(nèi)徹底將x15-1分解為一次因子x-ωk(0≤k≤14)的乘積,其中每個根ωk滿足x15=1,都是1的15次方根,稱為15次單位根.并且存在最小正整數(shù)d使(ωk)d=1,稱ωk為d次本原單位根.d是15的因子,只能為1,3,5,15.以全體d次本原單位根為根的多項式是整系數(shù)多項式,記作Φd(x),稱為分圓多項式.

Φ1(x)=x-1,Φ3(x)=x2+x+1,

Φ5(x)=x4+x3+x2+x+1,

Φ15(x)=x8-x7+x5-x4+x3-x+1.

x15-1=Φ1(x)Φ3(x)Φ5(x)Φ15(x)被分解為各個分圓多項式Φd(x)的乘積,d=1,3,5,15取遍15的所有因子.

(提示:考慮向量a1(cosα,sinα)+…+an(cosnα,sinnα)的方向.)

題13圓柱底面半徑為r.用一個平面斜截圓柱的側(cè)面,截得的側(cè)面的最大高度為a,最小高度為b,a>b>0.

(1)試畫出截得側(cè)面的展開圖(只須畫出簡圖即可).猜測截痕展開得到的曲線是什么形狀的曲線.

(2)在適當坐標系下求截痕展開所得曲線的方程.這是什么曲線?

解(1)側(cè)面展開如圖6.截痕展開曲線看起來是余弦函數(shù)圖象,也是正弦函數(shù)圖象.

圖5

圖6

點評：題目不要求畫圖精確,卻要求反映曲線的主要特征.

2.對稱:不妨設圖5中|AA1|=|BB1|,斜截面上半段圓柱繞OE旋轉(zhuǎn)180°之后與下半段重合.因此,圖6的O點右上方曲線段OA繞O旋轉(zhuǎn)180°與OB重合,EA繞E旋轉(zhuǎn)180°與EB′重合.

(2)如圖7,圓柱兩個底面圓心的連線l是側(cè)面的對稱軸.設C是斜截面與對稱軸的交點.過C作平面垂直于對稱軸l,稱為圓柱的直截面,它與圓柱側(cè)面的交線是以C為圓心、半徑為r的圓,與斜截面的交線是這個圓的一條直徑OE.以C為原點,CO為x軸正方向,下底面圓心到上底面圓心的方向為z軸正方向建立空間直角坐標系.

圖7

圓柱側(cè)面在Cxy平面上的投影是以C為圓心的圓x2+y2=r2,圓柱側(cè)面上所有點(x,y,z)的坐標都滿足此方程,z坐標不受限制.

因此截痕展開后的曲線在適當?shù)淖鴺讼抵惺钦液瘮?shù)的圖象.

點評：最早出這個考題時,高中數(shù)學沒講空間坐標,只能用立體幾何方法求截痕展開曲線上點P(x′,z)的坐標.橫坐標x=OD是直截面圓周上一段弧長,縱坐標z=DP是斜截面上的點P到直截面的距離.在直截面上作DT⊥CO得到斜截面與直截面所成二面角的平面角α=∠DTP,可以在直角三角形TDP和CFA中算出

這就需要更強的空間想象能力才能做出來.

現(xiàn)在高中學了空間坐標,雖然沒有學圓柱側(cè)面的方程,但可以將側(cè)面投影到直截面(Cxy坐標面)變成圓,寫出圓方程x2+y2=r2.這個方程在平面上的圖象是圓,空間中的點(x,y,z)只要投影在這個圓上,x,y坐標就滿足方程,不論z坐標怎么變化,都在這個方程的圖象中.因此方程的圖象是以這個圓為直截面的圓柱面.類似地,斜截面在Cyz面上的投影是過原點的直線,方程形式為z=ky,投影到這條直線上的所有點(x,y,ky)都在方程圖象中,圖象是過直線z=ky所作的與Cyz垂直的整個平面.利用平面直線和圓方程的舊知識,得出空間的圓柱面和平面方程來解決新問題,體現(xiàn)的是數(shù)學建模核心素養(yǎng).

題15空間中同一點出發(fā)兩兩成鈍角的射線最多幾條?并說明理由.

如果n≥5,則z4與z5都與z3異號,因而z4,z5同號,

=(-|x4|,-|y4|,z4)·(-|x5|,-|y5|,z5)

=|x4||x5|+|y4|y5|+z4z5>0,

矛盾.這迫使n≤4.

存在4個向量兩兩成鈍角.例如(1,0,0),(-1,1,0),(-1,-2,1),(-1,-2,-6).因此,空間中從一點出發(fā)兩兩成鈍角的射線最多4條.

圖8

對任意j>i≥2,有

這證明了OA2,…,OAn在平面π上的投影OD2,…,ODn兩兩內(nèi)積為負,夾角大于90°.從OD2開始將這些投影線段ODi按逆時針旋轉(zhuǎn)順序排列為OD2,ODi3,ODi4,…,ODin,OD2,其中相鄰線段夾角∠DikODik+1>90°,因而

360°=∠D2ODi3+∠Di3ODi4+…+

∠DinOD2>(n-1)90°

?4>n-1?5>n?n≤4.

另一方面,存在4個兩兩成鈍角的非零向量.如圖9.

圖9

=|SB|=|SC|.

這證明了:空間中從同一點出發(fā)兩兩成鈍角的射線最多有4條.(全文完)