李平香 黃 勇 林晴嵐

(1.福建省三明市第二中學 365000；2.福建教育學院數(shù)學研修部 350025)

1 教學實錄與設計意圖

1.1 展現(xiàn)背景，讓概念自然呼出，讓文化自然滲透

師：章節(jié)引入：有人說，大自然是懂數(shù)的.不知你注意過沒有，樹木的分杈、花瓣的數(shù)量、植物種子的排列……，都遵循了某種數(shù)學規(guī)律.想知道這種規(guī)律，就要進入第二章：數(shù)列的學習.

數(shù)列是如何定義的呢？我們還是先看看具體的實例.傳說古希臘畢達哥拉斯學派的數(shù)學家，他們經(jīng)常在沙灘上畫點或用小石子來表示數(shù).比如，他們在沙灘上研究過多邊形數(shù)：1,3,6,10，…，可以用圖中的三角形點陣表示，他們就將其稱為三角形數(shù)；

類似地：1,4,9,16,…，被稱為正方形數(shù)，因為這些數(shù)可以用圖中的正方形點陣表示.

師：今天，這節(jié)課讓我們一起沿著古人的足跡，進入數(shù)的世界，繼續(xù)數(shù)的研究.這兩列數(shù)中數(shù)字之間能否調換順序？為什么？

生：不能調換順序，調換了順序后，表示的意義就不同了.這兩列數(shù)的共同特點是：按一定順序排列的一列數(shù).

設計意圖將數(shù)列概念的現(xiàn)實原型與概念的背景展現(xiàn)出來，讓學生感受數(shù)列概念產(chǎn)生的自然性，同時，將“多邊形數(shù)”等數(shù)學文化自然滲透.

1.2 類比集合，讓符號自然生成，讓區(qū)別自然體現(xiàn)

數(shù)列的概念與表示法

數(shù)列的概念：按一定順序排列著的一列數(shù)叫做數(shù)列.

數(shù)列與數(shù)集的比較

數(shù)列數(shù)集共同點都是研究數(shù)不同點(1)數(shù)列中的數(shù)有順序,如數(shù)列1,2,3,4,與數(shù)列4,3,2,1,是不同的兩個數(shù)列(2)數(shù)列中的數(shù)可以相同,如:數(shù)列3,3,3,3,…,(1)數(shù)集中的數(shù)沒有順序,如{1,2,3,4}={4,2,3,1} (2)數(shù)集中的數(shù)互不相同,如{3,3}錯誤

師：我們知道“數(shù)集中的數(shù)”可以稱作“元素”，那么“數(shù)列中的數(shù)”如何稱呼呢？

生：數(shù)列中的每一個數(shù)都叫做這個數(shù)列的項. 各項依次叫做這個數(shù)列的第1項(或首項)，第2項，…，排在第n位的數(shù)稱為這個數(shù)列的第n項.n為項的序號.

師：類比集合中元素常用小寫字母表示，數(shù)列中的項可以怎么表示？

生：可以用a1,a2,a3,…，an，…分別表示數(shù)列的第1項(首項)，第2項，第3項，…，第n項，….

師： 數(shù)列的一般形式：a1,a2,a3,…，an，…簡記為數(shù)列{an}，其中an是數(shù)列的第n項.在數(shù)列中，符號{an}與an表示的意義是否相同？

生：不同.因為{an}表示一個數(shù)列，不只是一項；而an只表示第n項.

師：對.{an}表示一個數(shù)列，不只是一項，通常在前面加上“數(shù)列”兩字，即“數(shù)列{an}”.那數(shù)列中的項可以有多少個呢？

生：可以有限個，還可以無限個.

師：我們可以根據(jù)數(shù)列中的項數(shù)：有限和無限，將數(shù)列分為兩類：有限數(shù)列與無限數(shù)列.

設計意圖通過與集合類比，讓學生理解數(shù)列符號表示的來龍去脈，從表示形式上體會符號的簡潔與抽象，讓數(shù)列與集合的區(qū)別自然地展現(xiàn)出來.

1.3 聯(lián)系函數(shù)，讓本質自然揭示，讓關系自然凸顯

數(shù)列的本質離散函數(shù)

師：當我們學習新知識時，要關注到所學的新知識與原有的知識之間有無內(nèi)在的聯(lián)系，讓新知識長在舊知識上，以利于我們從整體上把握數(shù)學，構建一個具有強大思維功能的知識體系.

問題數(shù)列{an}中的各項ak(k=1,2,3,…,n,…)與各項序號k之間存在著如下的對應關系，這個“對應關系f”是函數(shù)嗎？

序號n1234…n…項ana1a2a3a4…an…

師：請大家思考一下，可以互相討論.

生：數(shù)列是函數(shù).

師：為什么？

生：因為數(shù)列中的每一個序號1,2,3,…，n,…都有唯一的項a1,a2,a3,…，an…與它對應，所以，數(shù)列是一個函數(shù).

師：依據(jù)函數(shù)的定義，可見，數(shù)列確實是一個函數(shù).反之，對于一個函數(shù)y=f(x)，若自變量x可以取正整數(shù)時，我們就可以得到一個數(shù)列：f(1),f(2),f(3),f(4),…，f(n)，…

自變量x1234…n…f(x)f(1)f(2)f(3)f(4)…f(n)…數(shù)列{an}a1a2a3a4…an…

師：如果數(shù)列{an}的第n項與序號n之間的關系可以用一個式子來表示，那么我們把an=f(n)(n∈N*)的解析式，稱為數(shù)列的通項公式.

數(shù)列與函數(shù)比較

函數(shù)數(shù)列(特殊的函數(shù))定義域R或R的子集N+或它的有限子集{1,2,3,…,n}表示法列表法、圖象法、解析式法列表法、圖象法、通項公式法解析式y(tǒng)=f(x),x∈Aan=f(n)(n∈N?)(稱為數(shù)列的通項公式)圖 象可以是連續(xù)或離散的點的集合一些離散的點的集合

師：我們知道確定一個函數(shù)，就是要確定定義域和對應關系，同樣，確定一個數(shù)列也可以通過確定它的通項公式.

設計意圖數(shù)列的定義缺乏本質的揭示，通過聯(lián)系函數(shù)的概念，讓數(shù)列的本質自然地揭示，讓數(shù)列與函數(shù)的關系自然地凸顯.

1.4 觀察歸納，讓思路自然暴露，讓規(guī)律自然展現(xiàn)

數(shù)列的通項公式及應用

例1：根據(jù)下面數(shù)列{an}的通項公式，寫出前5項：

(1)an=3n+1;變式：2018是數(shù)列中的項嗎？

(2)an=(-1)nn,(n∈N*)

變式①：an=(-1)n，變式②：an=(-1)n-1.

例2：寫出下面數(shù)列的一個通項公式，使它的前4項分別是下列各數(shù)：

(1)1,4,9,16，…，變式：2,5,10,17，…，

(2)8,8,8,8，…，

(4)10,100,1000,10000, …，變式①：9,99,999,9999, …，變式②：5,55,555,5555, …，

規(guī)律方法

①分析項與項的序號n的關系，相鄰項是如何變化的；

②注意各項符號特征,如果是分式要注意分別觀察分子、分母的特征；

③若關系不明顯時，可以將部分項作適當?shù)牡葍r變形，統(tǒng)一成相同的形式，讓規(guī)律展現(xiàn)出來；

④常見數(shù)列：奇數(shù)數(shù)列、偶數(shù)數(shù)列、平方數(shù)列、99數(shù)列、倒數(shù)數(shù)列、符號數(shù)列等通項公式；

⑤分析數(shù)列與常見數(shù)列的關系.

設計意圖依據(jù)通項公式寫出指定項，讓學生對通項公式的理解繼續(xù)深入，根據(jù)數(shù)列的前幾項寫出數(shù)列的一個通項公式，讓觀察歸納的常用技巧自然流露.

1.5 研究性質,讓問題自然提出，讓方法自然產(chǎn)生數(shù)列的單調性及應用

問題：函數(shù)的性質有哪些？數(shù)列我們經(jīng)常研究哪些性質呢？

生：我們研究了函數(shù)的單調性、奇偶性、周期性.單調性、周期性依然存在，而奇偶性不存在.

師：能說說理由嗎？

生：因為數(shù)列的定義域都是正整數(shù)，所以，不具有奇偶性；有的數(shù)列具有單調性，如例2中的第(1)小題，有的數(shù)列具有周期性，如例1中的第(2)小題.

師：總結的很好！你能說出例1中每個數(shù)列的單調性嗎？

生：(1)、(4)是遞增數(shù)列，(2)是常數(shù)數(shù)列，(3)是遞減數(shù)列，(5)是擺動數(shù)列.

師：什么叫遞增數(shù)列？什么叫遞減數(shù)列？數(shù)列的單調性呢？

生：遞增數(shù)列：從第2項起，每一項都大于它的前一項的數(shù)列.

遞減數(shù)列：從第2項起，每一項都小于它的前一項的數(shù)列.

常數(shù)數(shù)列：各項都相等的數(shù)列.

擺動數(shù)列：從第2項起，有些項大于它的前一項，有些項小于它的前一項的數(shù)列.

師：我們又一次從具體實例中，抽象概括出了“新概念”，接著咱們又要用數(shù)學特有的“符號語言”來表示.如何用符號來表示：“數(shù)列的每一項與它的前一項”呢？

生：數(shù)列的每一項即通項an，它的前一項就是an-1.

師：很好！還要注意一個細節(jié)：數(shù)列第二項開始才有前一項，這里的下標序號n≥2,實際上，就是從第二項起的任意相鄰兩項選擇用an與an-1(n≥2)，還可以如何選？

生：用an+1與an,這里的下標序號n∈N*即可.

師：非常棒！可見，要判斷數(shù)列的單調性，就是要比較任意相鄰兩項an+1與an或an與an-1(n≥2)的大小.

變式：已知數(shù)列{an}的通項an=n2-9n+8，則數(shù)列{an}的最小項是第________項.

設計意圖通過研究性質，讓學生對數(shù)列的理解進一步深入，理解數(shù)列單調性，以及與函數(shù)單調性對比，體會數(shù)列單調性的特殊性與一般性，讓求數(shù)列最大(小)項的方法自然產(chǎn)生.

1.6 梳理分類，讓結構自然完善，讓知識自然串起數(shù)列的分類

(1)根據(jù)數(shù)列項數(shù)的多少：有窮數(shù)列：項數(shù)有限的數(shù)列.無窮數(shù)列：項數(shù)無限的數(shù)列.

(2)根據(jù)數(shù)列任意相鄰兩項的大?。哼f增數(shù)列，遞減數(shù)列，常數(shù)數(shù)列，擺動數(shù)列.

師：數(shù)列還可以按其它的標準來分類,如按是否有界可以分為有界數(shù)列、無界數(shù)列.

1.7 課堂總結，讓思維自然連貫，讓認知自然提升

請學生從知識、方法、技能、文化及對新概念的研究方法等多方面進行總結.

正方形數(shù)N(n,4)=n2，

六邊形數(shù)N(n,6)=2n2-n，

… …

可以推測N(n,k)的表達式，由此計算N(10,24)=____________.

設計意圖通過課堂小結，總結所學習的知識，提煉研究問題的方法，在幫助學生加深對數(shù)列概念理解的同時，進一步領會研究數(shù)學概念的基本方法，讓學生在學會知識的同時，學會研究問題的方法，讓學生在“學會”的同時，逐步做到“會學”.補充以“多邊形數(shù)”為背景的考題，與課堂引入相呼應，讓數(shù)學文化自然滲透課堂.

2 教學反思與教學感悟

2.1 授人以業(yè)、授人以法、授人以道

“數(shù)列”是在前面學了函數(shù)的基本概念、基本性質以及幾個具體的連續(xù)函數(shù)的基礎上，學習的一類新的離散型的函數(shù)模型.本節(jié)教學重點是數(shù)列的有關概念及簡單性質，而對概念的深層次理解是教學難點.本節(jié)課沿兩條線自然推進：一是將新舊知識有機聯(lián)系.整堂課能不斷地將集合與函數(shù)的相關知識與數(shù)列進行類比，從數(shù)列的概念、表示方法、通項公式、數(shù)列的性質及其應用等方面層層遞進、環(huán)環(huán)相扣，自然地把教學引向深入，教學環(huán)節(jié)銜接過渡自然，教學過程中不斷采用追問的方式引發(fā)學生思考，鼓勵學生大膽猜想、探索，充分挖掘教材知識層面的內(nèi)涵，這一系列活動正是本節(jié)課的一條明線；二是在教學中做到內(nèi)斂而不張揚，將教學智慧深藏于課堂上,貫穿本節(jié)課的另一條暗線是在教學過程中逐步滲透探索數(shù)學概念形成的主要環(huán)節(jié)，從概念的界定、概念的符號表示、探討概念的特例與性質、概念的相關運算、概念的應用這幾個方面入手，引導學生思維，使學生通過這節(jié)課的學習進一步領悟到探討數(shù)學新概念的思考方式；這對培養(yǎng)學生數(shù)學的核心素養(yǎng)無疑是有益的.

2.2 自然呼出、自然聯(lián)系、自然建構

當前，“數(shù)學是自然的”教學理念已被廣大教師所認同，在教學實踐中如何落實“數(shù)學是自然的”，是我們一直努力的方向.本課在學習和運用概念過程中，其實就是激活這個概念所構成網(wǎng)絡的過程.因此，教學每一個概念都應當從概念所處的系統(tǒng)出發(fā)，促進學生建立新舊概念之間的各種聯(lián)系，實現(xiàn)概念網(wǎng)絡的建構與擴展，使新的概念成為學生內(nèi)部概念網(wǎng)絡的一個有機組成部分.這樣，數(shù)學概念教學不再是個別概念的教學，而是通過學生學習概念的各種活動，使學生獲得概念域、概念網(wǎng)絡，直至完成對概念系統(tǒng)的理解與掌握.概念教學的基本指導思想是使概念出得自然、水到渠成、渾然天成.概念教學的自然和水到渠成應該包括兩方面：一是知識的邏輯順序自然；二是學生心理邏輯的自然，主要是思維過程的自然.本課對數(shù)列概念系統(tǒng)的理解與掌握，從五個教學過程推進，自然呼出數(shù)列，并與集合、函數(shù)建立聯(lián)系，讓學生參與到定義概念的活動中來，以“恰時恰點”的問題引導學習，使“概念的理解”成為學生自己主動思維的結果，自然建構數(shù)列概念網(wǎng)絡體系，自然地將核心素養(yǎng)的培養(yǎng)落實在概念教學中.