數(shù)學(xué)模型·數(shù)學(xué)建?！つＰ退枷?/h1>
2018-08-30 11:12:02趙世恩
現(xiàn)代中小學(xué)教育 2018年8期
趙世恩 于 然
(首都師范大學(xué)初等教育學(xué)院，北京 100048)
R·柯朗和H·羅賓在《什么是數(shù)學(xué)》中指出：“毫無疑問，一切數(shù)學(xué)的發(fā)展在心理上都或多或少的是基于實(shí)際的。但是理論一旦在實(shí)際的需要中出現(xiàn)，就不可避免地會(huì)使它自身獲得發(fā)展的動(dòng)力，并超越直接實(shí)用的局限?！盵1]這種從應(yīng)用科學(xué)到理論科學(xué)的發(fā)展趨勢(shì)，正是模型思想不斷得到重視的體現(xiàn)。模型思想不僅體現(xiàn)在數(shù)學(xué)學(xué)科本身，到了中學(xué)，模型思想在物理、化學(xué)、生物等學(xué)科中也有著廣泛的應(yīng)用。由此可見，模型思想對(duì)一名學(xué)生在理科方面的發(fā)展起到了關(guān)鍵性的作用，這也是要求我們?cè)谛W(xué)階段就必須滲透模型思想的重要原因。由于小學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)以及小學(xué)生問題解決能力的局限，學(xué)生很難有機(jī)會(huì)經(jīng)歷完整且嚴(yán)密的數(shù)學(xué)建模過程，這就是在小學(xué)階段滲透模型思想的困難所在。因此，基于小學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)內(nèi)容如何滲透模型思想，一直以來都是小學(xué)教育中值得探討的基本問題。
一、相關(guān)概念界定
所謂數(shù)學(xué)模型，就是根據(jù)特定的研究目的，采用形式化的數(shù)學(xué)語言，去抽象地、概括地表征所研究對(duì)象的主要特征、關(guān)系所形成的一種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)[1]。數(shù)學(xué)模型有廣義和狹義之分。從狹義上說，在高等數(shù)學(xué)中，我們可根據(jù)數(shù)學(xué)的不同分支來對(duì)數(shù)學(xué)模型進(jìn)行分類。此時(shí)，數(shù)學(xué)模型可分為規(guī)劃模型、圖論、優(yōu)化模型、概率模型、常微分方程等。事實(shí)上，義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)模型很難以數(shù)學(xué)分支進(jìn)行分類。從廣義上說，數(shù)、方程、空間幾何體都可以視為數(shù)學(xué)模型[2]。但正如有關(guān)文獻(xiàn)指出的，我們應(yīng)避免“泛模型化”的傾向，切忌將所有知識(shí)都看作數(shù)學(xué)模型。因此，在小學(xué)階段，數(shù)學(xué)模型這個(gè)概念合理的解釋是：根據(jù)已有的實(shí)際問題，用字母、數(shù)字及其他數(shù)學(xué)符號(hào)建立起來的代數(shù)式、關(guān)系式、方程、函數(shù)、不等式，以及各種圖表、圖形等都是數(shù)學(xué)模型[3]，即我們所說的數(shù)學(xué)模型是與實(shí)際問題緊密聯(lián)系的。
圖1 數(shù)學(xué)建模過程
所謂數(shù)學(xué)建模，就是通過建立模型的方法來求得問題解決的數(shù)學(xué)活動(dòng)過程[3]。這一過程的步驟可用如圖1所示流程圖來體現(xiàn)，其中最關(guān)鍵、最核心的步驟就是將實(shí)際問題抽象成數(shù)學(xué)模型。
模型思想的建立是學(xué)生體會(huì)和理解數(shù)學(xué)與外部世界聯(lián)系的基本途徑[3]。模型思想的最本質(zhì)特征是模型的建立和問題的求解是分離的。建立和求解模型的過程包括：從現(xiàn)實(shí)生活或具體情境中抽象出數(shù)學(xué)問題，用數(shù)學(xué)符號(hào)建立方程、不等式、函數(shù)等，表示數(shù)學(xué)問題中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，找出結(jié)果，討論結(jié)果的意義。
美國數(shù)學(xué)家哈爾莫斯(P.R.Halmos)指出：“學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的唯一方法是做數(shù)學(xué)?！笔聦?shí)上，只有讓學(xué)生親身經(jīng)歷了數(shù)學(xué)建模的全過程，才能更好地滲透模型思想。但是，在小學(xué)階段，學(xué)生很難有機(jī)會(huì)經(jīng)歷完整且嚴(yán)密的數(shù)學(xué)建模過程，這就是在小學(xué)階段滲透模型思想的困難所在。
基于上面的分析，對(duì)于小學(xué)生建模思想的滲透，我們以最重要的步驟，即“抽象成數(shù)學(xué)模型”作為切入點(diǎn)，力求讓學(xué)生經(jīng)歷“簡(jiǎn)化的數(shù)學(xué)建模全過程”。這一過程可分為以下四個(gè)環(huán)節(jié)：基本假設(shè)→符號(hào)說明→模型建立→模型求解。
對(duì)于小學(xué)生來說，基本假設(shè)是指讀懂題設(shè)給出的基本條件；符號(hào)說明是指從題設(shè)條件中抽象出一些字母或者幾何元素來代替基本假設(shè)；模型建立是指把這些符號(hào)之間的關(guān)系建立起來；模型求解是指根據(jù)建立的模型去求解，求解方式包括解方程、利用幾何特征、計(jì)算、邏輯推理等等。
二、通過數(shù)學(xué)建模的過程感悟模型思想
在小學(xué)階段，我們并不是要求學(xué)生去學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)建模，而是讓學(xué)生感知模型思想，而感知模型思想最好的方式就是讓他們經(jīng)歷“簡(jiǎn)化的數(shù)學(xué)建模全過程”。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，尤其是學(xué)完解方程之后，“行程問題”“工程問題”等都是很好的滲透模型思想的素材。事實(shí)上，我們還可以進(jìn)一步挖掘教材，尋找合適的教學(xué)內(nèi)容，尤其是在問題解決環(huán)節(jié)，有意識(shí)地培養(yǎng)學(xué)生的模型思想。下面我們就列舉“烙餅問題”“雞兔同籠問題”以及“植樹問題”這三個(gè)實(shí)例，給出滲透模型思想的教學(xué)建議。
1.“烙餅問題”
以義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書《數(shù)學(xué)》(四年級(jí)上冊(cè))105頁的“烙餅問題”為例：每次最多只能烙2張餅的一面，兩面都要烙，每面3分鐘，爸爸、媽媽和我每人一張，怎樣才能盡快吃上餅？下面是教師們經(jīng)常使用的教學(xué)過程：
(1)探究烙兩張餅的最優(yōu)方法。結(jié)論：要想盡快地把餅烙完，就不能空鍋，兩張餅同時(shí)烙更省時(shí)。
(2)探究烙三張餅的最優(yōu)方法。結(jié)論：要想最省時(shí)，就要保證鍋里始終有2張餅。
(3)探究規(guī)律。一是探究雙數(shù)餅最省時(shí)的烙法；結(jié)論：雙數(shù)餅以每?jī)蓮垶橐唤M烙最省時(shí)。二是探究5張餅最省時(shí)的烙法；結(jié)論：烙5張餅可以先以兩張為一組烙，剩下的3張為一組用“省時(shí)法”烙；三是探究烙7、9、15、100張餅最省時(shí)的烙法。
(4)總結(jié)規(guī)律。引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)：餅數(shù)乘烙一面餅所用的時(shí)間，就是烙餅的最短時(shí)間(餅數(shù)×烙一面的時(shí)間=烙餅所需的最短時(shí)間)。
在上述教學(xué)片段中，教師首先讓學(xué)生探究?jī)蓮堬灥淖顑?yōu)烙法，初步滲透優(yōu)化思想在解決問題中的應(yīng)用，形成尋找解決問題最優(yōu)化方案的意識(shí)，為探究三張餅的最優(yōu)烙法奠定基礎(chǔ)；尋求烙三張餅的最優(yōu)方法是本課的關(guān)鍵，為后面的學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)；研究規(guī)律環(huán)節(jié)通過學(xué)生獨(dú)立思考、小組合作、對(duì)比分析，逐步探究出烙多張餅的最優(yōu)方法。學(xué)生由操作學(xué)具到擺脫學(xué)具，由動(dòng)作思維到抽象思維，層層深入，思維能力得到了鍛煉。
但是，這種教學(xué)方法終究還是沒能將建立模型與求解模型的過程分開，在探究過程中始終將問題解決依托于現(xiàn)實(shí)生活情境中，沒有從實(shí)際問題中抽象出帶有數(shù)學(xué)符號(hào)的數(shù)學(xué)模型，不利于模型思想的滲透。這種情況下，學(xué)生在問題解決的具體過程中容易受到現(xiàn)實(shí)情境的干擾。若將實(shí)際問題抽象成數(shù)學(xué)符號(hào)后，建立數(shù)學(xué)模型再去求解，就可以有效排除外界因素的干擾和約束。
事實(shí)上，從高等數(shù)學(xué)的角度來看，“烙餅問題”屬于動(dòng)態(tài)規(guī)劃問題，它雖然沒有固定的模型，但是我們嘗試將“烙餅問題”中的各個(gè)要素抽象成“幾何元素”，根據(jù)前面提到的四個(gè)環(huán)節(jié)，對(duì)“烙餅問題”建立數(shù)學(xué)模型(見表1)，展示簡(jiǎn)化的數(shù)學(xué)建模全過程。
表1 “烙餅問題”的數(shù)學(xué)模型
容易看到，在上面數(shù)學(xué)建模的全過程中，將“烙餅問題”中的各個(gè)要素抽象成“幾何元素”是學(xué)生最難想到的。為了克服這一點(diǎn)，可以在烙1張餅的時(shí)候直接展示數(shù)學(xué)建模的全過程，而到了烙2張和烙3張餅的時(shí)候，讓學(xué)生自己探究。這樣，學(xué)生就親身經(jīng)歷了簡(jiǎn)化的數(shù)學(xué)建模全過程。除此之外，由于在連線的時(shí)候，學(xué)生可以不考慮具體的烙餅過程，因此學(xué)生就能進(jìn)一步感知模型思想最重要的特征，即模型建立和模型求解是分離的。
事實(shí)上，上面的模型在小學(xué)階段是有所表現(xiàn)的。以義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書《數(shù)學(xué)》(六年級(jí)下冊(cè))104頁的“七橋問題”問題為例：18世紀(jì)東普魯士的哥尼斯堡城，有一條河穿過，河上有兩個(gè)小島，有七座橋把兩個(gè)島(A，B)與河岸(C，D)聯(lián)系起來(如圖2)。有人提出一個(gè)問題：一個(gè)步行者怎樣才能不重復(fù)、不遺漏地一次走完七座橋？后來大數(shù)學(xué)家歐拉把這個(gè)問題中的相關(guān)要素用“點(diǎn)”和“線段”代替，建立了數(shù)學(xué)模型。教師們?cè)谥v授這個(gè)問題時(shí)，有必要將它和“烙餅問題”結(jié)合起來，加深學(xué)生對(duì)這種模型的認(rèn)識(shí)。
圖2 “七橋問題”示意圖
2.“雞兔同籠”問題
以義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書《數(shù)學(xué)》(四年級(jí)下冊(cè))103頁的“雞兔同籠”問題為例：大約1 500年前，我國古代數(shù)學(xué)名著《孫子算經(jīng)》中記載了一道數(shù)學(xué)趣題——“雞兔同籠”問題：今有雉兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雉兔各幾何？對(duì)于四年級(jí)的學(xué)生來說，由于他們還沒有學(xué)習(xí)“字母表示數(shù)”和 “簡(jiǎn)易方程”等內(nèi)容，因此無法采用建立方程的方式來解決問題，教師主要介紹“列表法”和“假設(shè)法”。從廣義的角度來看，這些方法也屬于利用數(shù)學(xué)模型求解，但是這些方法都沒有滲透模型思想。令人感到慶幸的是，類似的題目出現(xiàn)在五年級(jí)上冊(cè)“實(shí)際問題與解方程”的練習(xí)題當(dāng)中(如圖3)。
圖3 “雞兔同籠”問題示意圖
小學(xué)教材中，能夠讓學(xué)生經(jīng)歷較為完整的數(shù)學(xué)建模全過程的素材要數(shù)方程模型了，因此采用建立方程模型的方式，通過實(shí)際情境→分析已知量、未知量，找出等量關(guān)系→建立代數(shù)方程模型→模型求解→驗(yàn)證→解釋實(shí)際問題的過程來解決問題(見表2)。
表2 “雞兔同籠”問題的應(yīng)用
在完成了上述講解后，教師應(yīng)立即讓學(xué)生利用相同的思路，自主探究，解決經(jīng)典的“雞兔同籠”問題。這樣，便可使學(xué)生親身經(jīng)歷完整的數(shù)學(xué)建模過程，同時(shí)能夠讓學(xué)生在解決問題的過程中感悟模型思想。
3.“植樹問題”
小學(xué)數(shù)學(xué)課程中的“植樹問題”通常表述為：同學(xué)們?cè)谌L(zhǎng)20 m的小路一邊植樹，每隔5 m栽一棵，兩端要栽，一共要栽多少棵樹？(如圖4)
“植樹問題”的關(guān)鍵點(diǎn)在于如何理解“棵數(shù)”與“間隔數(shù)”之間的關(guān)系，學(xué)生認(rèn)為是“距離÷間隔長(zhǎng)=棵數(shù)”，而事實(shí)上，在不同的題設(shè)條件下，這一關(guān)系式不一定能夠成立。
圖4 植樹問題示意圖 圖5 “一端植樹”分組示意圖
一般地，對(duì)于植樹問題都是從兩端植樹開始研究，為了更好地抽象出“點(diǎn)—段”對(duì)應(yīng)關(guān)系，建議從“一端植樹”作為切入點(diǎn)(如圖5)，將“樹的棵數(shù)”視為“點(diǎn)的個(gè)數(shù)”，將“樹的間隔數(shù)”視為“線段的條數(shù)”，此時(shí)恰好有模型“點(diǎn)的個(gè)數(shù)=線段的條數(shù)”。這樣可以降低學(xué)生學(xué)習(xí)的難度，省去了“棵數(shù)”與“間隔數(shù)”不一致的干擾，學(xué)生自然直接地聚焦到“點(diǎn)—段”之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，有利于學(xué)生順利建立起“棵數(shù)=間隔數(shù)”的數(shù)學(xué)模型，為后面的探究作鋪墊。
在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步探究和優(yōu)化，若“兩端植樹”，就是在一端植樹的模型基礎(chǔ)上加上一棵樹，則“棵數(shù)=間隔數(shù)+1”；若“兩端不植樹”，即在一端植樹的模型基礎(chǔ)上減去端點(diǎn)的一棵樹，則“棵數(shù)=間隔數(shù)-1”；若“循環(huán)植樹”，就是將一端植樹的線段首尾相連，恰好形成一個(gè)圓環(huán)，則“棵數(shù)=間隔數(shù)”的數(shù)學(xué)模型保持不變。
在義務(wù)教育階段，模型思想的滲透至關(guān)重要，這就要求教師在教學(xué)過程中結(jié)合學(xué)生的認(rèn)知水平，引導(dǎo)學(xué)生由淺入深地經(jīng)歷數(shù)學(xué)建模的全過程，逐步完成從用字母表示數(shù)到建立簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)模型的過渡，為中學(xué)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)作準(zhǔn)備。
對(duì)于學(xué)生模型意識(shí)的培養(yǎng)和建模方法的指導(dǎo)，要因材施教，根據(jù)具體內(nèi)容和具體年級(jí)來制定不同層次的要求。小學(xué)階段學(xué)生的認(rèn)知能力較弱，要結(jié)合日常實(shí)例以及常規(guī)教學(xué)對(duì)學(xué)生進(jìn)行模型及模型意識(shí)的滲透、點(diǎn)化。這樣做的目的是在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)過程中滲透模型思想，通過具有模型功能的模型載體，來幫助學(xué)生在思維上實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)抽象，從而為后續(xù)學(xué)習(xí)提供數(shù)學(xué)思想上的基礎(chǔ)支持。
三、通過數(shù)學(xué)模型的應(yīng)用鞏固模型思想
如果將“從實(shí)際情境到數(shù)學(xué)模型”的過程叫作建模的過程，那么引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步經(jīng)歷將數(shù)學(xué)模型應(yīng)用于更加廣泛的實(shí)際情境的過程，就可以稱之為“反建?！钡倪^程[4]。從某種意義上講，模型思想的應(yīng)用就是一個(gè)“反建?！钡倪^程[4]，也可以說是將一個(gè)問題的解決拓展為一類問題的解決。
1.“烙餅問題”的應(yīng)用
圖6 “烙餅問題”的應(yīng)用
在實(shí)際生活中，不可能像“烙餅問題”中的方法去烙餅，但與“烙餅問題”相似的情境卻經(jīng)常出現(xiàn)，比如人教版數(shù)學(xué)教材四年級(jí)上冊(cè)107頁練習(xí)題的第二題：東東、晶晶和紅紅三位同學(xué)要去量身高、驗(yàn)視力，每項(xiàng)檢查都要3 min，測(cè)試身高和視力的醫(yī)生各有一位，他們最短需要多長(zhǎng)時(shí)間能做完這些檢查？采用上一節(jié)相同的模型，將題目中的相關(guān)要素抽象成“幾何元素”進(jìn)行建模，具體地說，把每個(gè)人需要參加的兩項(xiàng)檢查看作兩個(gè)不同的點(diǎn)，連線表示兩人同時(shí)做檢查，用時(shí)最短的前提是保證必須有兩個(gè)人同時(shí)做檢查，每項(xiàng)檢查沒有空缺(如圖6)。
最終，我們得到最省的時(shí)間是9 min，具體的一種方案是：第一步，東東測(cè)身高和晶晶測(cè)視力同時(shí)進(jìn)行；第二步，晶晶測(cè)身高和紅紅測(cè)視力同時(shí)進(jìn)行；第三步，紅紅測(cè)身高和東東測(cè)視力同時(shí)進(jìn)行。
2.“雞兔同籠”問題的應(yīng)用
“雞兔同籠”問題中的等量關(guān)系“雞的數(shù)量×每只雞腳的數(shù)量+兔的數(shù)量×每只兔腳的數(shù)量=腳的總數(shù)”就是一個(gè)數(shù)學(xué)模型，即把實(shí)際情境中的已知量和未知量通過方程建立起聯(lián)系，通過已知量計(jì)算出未知量的數(shù)學(xué)模型。
日本的“龜鶴算”問題也是從我國的“雞兔同籠”問題演變來的。在我國古代，類似于“雞兔同籠”問題數(shù)量關(guān)系的情境也經(jīng)常出現(xiàn)。比如明代珠算家程大位著的《算法統(tǒng)宗》中有一道詩歌寫成的題目：一百饅頭一百僧，大僧三個(gè)更無爭(zhēng)，小僧三人分一個(gè)，大小和尚各幾丁[5]？這些都是“雞兔同籠”問題的實(shí)際應(yīng)用，此處不再詳解。
學(xué)生認(rèn)為這類題目完全可以用算式的方法來解決，下面以一道稍有難度的題目為例(見表3)，讓學(xué)生更顯著地體會(huì)建立方程模型的優(yōu)勢(shì)。
表3 “雞兔同籠”問題的應(yīng)用
3.“植樹問題”的應(yīng)用
在日常生活中，應(yīng)用“植樹問題”數(shù)量關(guān)系的實(shí)際情境經(jīng)常出現(xiàn)，比如對(duì)于計(jì)算地鐵站數(shù)的問題。如果要計(jì)算乘坐北京地鐵一號(hào)線從五棵松站(編號(hào)108)到國貿(mào)站(編號(hào)122)共有多少個(gè)站點(diǎn)，我們便可以應(yīng)用“植樹問題”的模型(見表4)。
表4 “植樹問題”的應(yīng)用
與此類似的問題十分常見，比如想要在北京地鐵二號(hào)線上設(shè)置站點(diǎn)，我們知道，地鐵二號(hào)線的軌跡可以近似地看作一個(gè)圓圈，因此有“站點(diǎn)數(shù)=間隔數(shù)”，這恰恰對(duì)應(yīng)植樹問題中“循環(huán)植樹”的模型。
除此之外，“植樹問題”數(shù)量關(guān)系中蘊(yùn)含著的思想方法，對(duì)于現(xiàn)實(shí)生活中數(shù)學(xué)知識(shí)的思考與理解也是有益的。比如國慶閱兵時(shí)徒步方陣共有350人(不包含領(lǐng)隊(duì)在內(nèi))，按照每行25人，共14行列隊(duì)，根據(jù)《隊(duì)列條令》規(guī)定，隊(duì)列人員之間的距離(前一名腳跟至后一名腳尖)通常約75 cm，問方陣的長(zhǎng)度是多少？解決這道題的思路與“植樹問題”相似，將隊(duì)列人員看作“點(diǎn)”，隊(duì)列人員之間的距離看作“間隔”，方陣的長(zhǎng)度為隊(duì)列人員之間的距離75與方陣的行數(shù)14減去1的乘積，即75×(14-1)=975(cm)。
就“植樹問題”而言，可將其拓展到相應(yīng)的一類題，如計(jì)算時(shí)間的問題、鋸木頭問題、上樓梯問題等，它們的相同點(diǎn)在于這些問題中都存在點(diǎn)與間隔之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，可建立“點(diǎn)—段”模型。如果教師在教學(xué)過程中設(shè)置相應(yīng)的練習(xí)題進(jìn)行練習(xí)和鞏固，既可以達(dá)到舉一反三的教學(xué)效果，又有利于培養(yǎng)學(xué)生透過現(xiàn)象揭示本質(zhì)的洞察能力，體會(huì)模型思想的應(yīng)用。
學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的意義在于能夠?qū)ΜF(xiàn)實(shí)生活中的實(shí)際問題提出有效的解決方案，用數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問題，使學(xué)生在實(shí)際應(yīng)用中了解新問題、吸收新知識(shí)、拓展新認(rèn)知，并構(gòu)建自己的知識(shí)理論體系，從而形成積極自覺的數(shù)學(xué)建模意識(shí)與思想，這不僅是學(xué)生真正掌握數(shù)學(xué)知識(shí)的具體表現(xiàn)，也是學(xué)生感悟模型思想價(jià)值的重要環(huán)節(jié)。數(shù)學(xué)模型從情境中來，也要回歸到情境中去，需要在生活現(xiàn)實(shí)背景中建構(gòu)提煉，需要在現(xiàn)實(shí)情境中進(jìn)行檢驗(yàn)驗(yàn)證，更要廣泛應(yīng)用于生活，解決生活中的實(shí)際問題。總之，在數(shù)學(xué)教學(xué)中融入現(xiàn)實(shí)情境，引領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷建模過程，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，既可以調(diào)動(dòng)學(xué)生原有的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，又能夠升華學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)模型的認(rèn)識(shí)，促使學(xué)生在更高層次上感悟到模型思想與數(shù)學(xué)建模的價(jià)值與魅力。
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趙世恩 于 然
(首都師范大學(xué)初等教育學(xué)院，北京 100048)
R·柯朗和H·羅賓在《什么是數(shù)學(xué)》中指出：“毫無疑問，一切數(shù)學(xué)的發(fā)展在心理上都或多或少的是基于實(shí)際的。但是理論一旦在實(shí)際的需要中出現(xiàn)，就不可避免地會(huì)使它自身獲得發(fā)展的動(dòng)力，并超越直接實(shí)用的局限?！盵1]這種從應(yīng)用科學(xué)到理論科學(xué)的發(fā)展趨勢(shì)，正是模型思想不斷得到重視的體現(xiàn)。模型思想不僅體現(xiàn)在數(shù)學(xué)學(xué)科本身，到了中學(xué)，模型思想在物理、化學(xué)、生物等學(xué)科中也有著廣泛的應(yīng)用。由此可見，模型思想對(duì)一名學(xué)生在理科方面的發(fā)展起到了關(guān)鍵性的作用，這也是要求我們?cè)谛W(xué)階段就必須滲透模型思想的重要原因。由于小學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)以及小學(xué)生問題解決能力的局限，學(xué)生很難有機(jī)會(huì)經(jīng)歷完整且嚴(yán)密的數(shù)學(xué)建模過程，這就是在小學(xué)階段滲透模型思想的困難所在。因此，基于小學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)內(nèi)容如何滲透模型思想，一直以來都是小學(xué)教育中值得探討的基本問題。
一、相關(guān)概念界定
所謂數(shù)學(xué)模型，就是根據(jù)特定的研究目的，采用形式化的數(shù)學(xué)語言，去抽象地、概括地表征所研究對(duì)象的主要特征、關(guān)系所形成的一種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)[1]。數(shù)學(xué)模型有廣義和狹義之分。從狹義上說，在高等數(shù)學(xué)中，我們可根據(jù)數(shù)學(xué)的不同分支來對(duì)數(shù)學(xué)模型進(jìn)行分類。此時(shí)，數(shù)學(xué)模型可分為規(guī)劃模型、圖論、優(yōu)化模型、概率模型、常微分方程等。事實(shí)上，義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)模型很難以數(shù)學(xué)分支進(jìn)行分類。從廣義上說，數(shù)、方程、空間幾何體都可以視為數(shù)學(xué)模型[2]。但正如有關(guān)文獻(xiàn)指出的，我們應(yīng)避免“泛模型化”的傾向，切忌將所有知識(shí)都看作數(shù)學(xué)模型。因此，在小學(xué)階段，數(shù)學(xué)模型這個(gè)概念合理的解釋是：根據(jù)已有的實(shí)際問題，用字母、數(shù)字及其他數(shù)學(xué)符號(hào)建立起來的代數(shù)式、關(guān)系式、方程、函數(shù)、不等式，以及各種圖表、圖形等都是數(shù)學(xué)模型[3]，即我們所說的數(shù)學(xué)模型是與實(shí)際問題緊密聯(lián)系的。
圖1 數(shù)學(xué)建模過程
所謂數(shù)學(xué)建模，就是通過建立模型的方法來求得問題解決的數(shù)學(xué)活動(dòng)過程[3]。這一過程的步驟可用如圖1所示流程圖來體現(xiàn)，其中最關(guān)鍵、最核心的步驟就是將實(shí)際問題抽象成數(shù)學(xué)模型。
模型思想的建立是學(xué)生體會(huì)和理解數(shù)學(xué)與外部世界聯(lián)系的基本途徑[3]。模型思想的最本質(zhì)特征是模型的建立和問題的求解是分離的。建立和求解模型的過程包括：從現(xiàn)實(shí)生活或具體情境中抽象出數(shù)學(xué)問題，用數(shù)學(xué)符號(hào)建立方程、不等式、函數(shù)等，表示數(shù)學(xué)問題中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，找出結(jié)果，討論結(jié)果的意義。
美國數(shù)學(xué)家哈爾莫斯(P.R.Halmos)指出：“學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的唯一方法是做數(shù)學(xué)?！笔聦?shí)上，只有讓學(xué)生親身經(jīng)歷了數(shù)學(xué)建模的全過程，才能更好地滲透模型思想。但是，在小學(xué)階段，學(xué)生很難有機(jī)會(huì)經(jīng)歷完整且嚴(yán)密的數(shù)學(xué)建模過程，這就是在小學(xué)階段滲透模型思想的困難所在。
基于上面的分析，對(duì)于小學(xué)生建模思想的滲透，我們以最重要的步驟，即“抽象成數(shù)學(xué)模型”作為切入點(diǎn)，力求讓學(xué)生經(jīng)歷“簡(jiǎn)化的數(shù)學(xué)建模全過程”。這一過程可分為以下四個(gè)環(huán)節(jié)：基本假設(shè)→符號(hào)說明→模型建立→模型求解。
對(duì)于小學(xué)生來說，基本假設(shè)是指讀懂題設(shè)給出的基本條件；符號(hào)說明是指從題設(shè)條件中抽象出一些字母或者幾何元素來代替基本假設(shè)；模型建立是指把這些符號(hào)之間的關(guān)系建立起來；模型求解是指根據(jù)建立的模型去求解，求解方式包括解方程、利用幾何特征、計(jì)算、邏輯推理等等。
二、通過數(shù)學(xué)建模的過程感悟模型思想
在小學(xué)階段，我們并不是要求學(xué)生去學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)建模，而是讓學(xué)生感知模型思想，而感知模型思想最好的方式就是讓他們經(jīng)歷“簡(jiǎn)化的數(shù)學(xué)建模全過程”。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，尤其是學(xué)完解方程之后，“行程問題”“工程問題”等都是很好的滲透模型思想的素材。事實(shí)上，我們還可以進(jìn)一步挖掘教材，尋找合適的教學(xué)內(nèi)容，尤其是在問題解決環(huán)節(jié)，有意識(shí)地培養(yǎng)學(xué)生的模型思想。下面我們就列舉“烙餅問題”“雞兔同籠問題”以及“植樹問題”這三個(gè)實(shí)例，給出滲透模型思想的教學(xué)建議。
1.“烙餅問題”
以義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書《數(shù)學(xué)》(四年級(jí)上冊(cè))105頁的“烙餅問題”為例：每次最多只能烙2張餅的一面，兩面都要烙，每面3分鐘，爸爸、媽媽和我每人一張，怎樣才能盡快吃上餅？下面是教師們經(jīng)常使用的教學(xué)過程：
(1)探究烙兩張餅的最優(yōu)方法。結(jié)論：要想盡快地把餅烙完，就不能空鍋，兩張餅同時(shí)烙更省時(shí)。
(2)探究烙三張餅的最優(yōu)方法。結(jié)論：要想最省時(shí)，就要保證鍋里始終有2張餅。
(3)探究規(guī)律。一是探究雙數(shù)餅最省時(shí)的烙法；結(jié)論：雙數(shù)餅以每?jī)蓮垶橐唤M烙最省時(shí)。二是探究5張餅最省時(shí)的烙法；結(jié)論：烙5張餅可以先以兩張為一組烙，剩下的3張為一組用“省時(shí)法”烙；三是探究烙7、9、15、100張餅最省時(shí)的烙法。
(4)總結(jié)規(guī)律。引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)：餅數(shù)乘烙一面餅所用的時(shí)間，就是烙餅的最短時(shí)間(餅數(shù)×烙一面的時(shí)間=烙餅所需的最短時(shí)間)。
在上述教學(xué)片段中，教師首先讓學(xué)生探究?jī)蓮堬灥淖顑?yōu)烙法，初步滲透優(yōu)化思想在解決問題中的應(yīng)用，形成尋找解決問題最優(yōu)化方案的意識(shí)，為探究三張餅的最優(yōu)烙法奠定基礎(chǔ)；尋求烙三張餅的最優(yōu)方法是本課的關(guān)鍵，為后面的學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)；研究規(guī)律環(huán)節(jié)通過學(xué)生獨(dú)立思考、小組合作、對(duì)比分析，逐步探究出烙多張餅的最優(yōu)方法。學(xué)生由操作學(xué)具到擺脫學(xué)具，由動(dòng)作思維到抽象思維，層層深入，思維能力得到了鍛煉。
但是，這種教學(xué)方法終究還是沒能將建立模型與求解模型的過程分開，在探究過程中始終將問題解決依托于現(xiàn)實(shí)生活情境中，沒有從實(shí)際問題中抽象出帶有數(shù)學(xué)符號(hào)的數(shù)學(xué)模型，不利于模型思想的滲透。這種情況下，學(xué)生在問題解決的具體過程中容易受到現(xiàn)實(shí)情境的干擾。若將實(shí)際問題抽象成數(shù)學(xué)符號(hào)后，建立數(shù)學(xué)模型再去求解，就可以有效排除外界因素的干擾和約束。
事實(shí)上，從高等數(shù)學(xué)的角度來看，“烙餅問題”屬于動(dòng)態(tài)規(guī)劃問題，它雖然沒有固定的模型，但是我們嘗試將“烙餅問題”中的各個(gè)要素抽象成“幾何元素”，根據(jù)前面提到的四個(gè)環(huán)節(jié)，對(duì)“烙餅問題”建立數(shù)學(xué)模型(見表1)，展示簡(jiǎn)化的數(shù)學(xué)建模全過程。
表1 “烙餅問題”的數(shù)學(xué)模型
容易看到，在上面數(shù)學(xué)建模的全過程中，將“烙餅問題”中的各個(gè)要素抽象成“幾何元素”是學(xué)生最難想到的。為了克服這一點(diǎn)，可以在烙1張餅的時(shí)候直接展示數(shù)學(xué)建模的全過程，而到了烙2張和烙3張餅的時(shí)候，讓學(xué)生自己探究。這樣，學(xué)生就親身經(jīng)歷了簡(jiǎn)化的數(shù)學(xué)建模全過程。除此之外，由于在連線的時(shí)候，學(xué)生可以不考慮具體的烙餅過程，因此學(xué)生就能進(jìn)一步感知模型思想最重要的特征，即模型建立和模型求解是分離的。
事實(shí)上，上面的模型在小學(xué)階段是有所表現(xiàn)的。以義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書《數(shù)學(xué)》(六年級(jí)下冊(cè))104頁的“七橋問題”問題為例：18世紀(jì)東普魯士的哥尼斯堡城，有一條河穿過，河上有兩個(gè)小島，有七座橋把兩個(gè)島(A，B)與河岸(C，D)聯(lián)系起來(如圖2)。有人提出一個(gè)問題：一個(gè)步行者怎樣才能不重復(fù)、不遺漏地一次走完七座橋？后來大數(shù)學(xué)家歐拉把這個(gè)問題中的相關(guān)要素用“點(diǎn)”和“線段”代替，建立了數(shù)學(xué)模型。教師們?cè)谥v授這個(gè)問題時(shí)，有必要將它和“烙餅問題”結(jié)合起來，加深學(xué)生對(duì)這種模型的認(rèn)識(shí)。
圖2 “七橋問題”示意圖
2.“雞兔同籠”問題
以義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書《數(shù)學(xué)》(四年級(jí)下冊(cè))103頁的“雞兔同籠”問題為例：大約1 500年前，我國古代數(shù)學(xué)名著《孫子算經(jīng)》中記載了一道數(shù)學(xué)趣題——“雞兔同籠”問題：今有雉兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雉兔各幾何？對(duì)于四年級(jí)的學(xué)生來說，由于他們還沒有學(xué)習(xí)“字母表示數(shù)”和 “簡(jiǎn)易方程”等內(nèi)容，因此無法采用建立方程的方式來解決問題，教師主要介紹“列表法”和“假設(shè)法”。從廣義的角度來看，這些方法也屬于利用數(shù)學(xué)模型求解，但是這些方法都沒有滲透模型思想。令人感到慶幸的是，類似的題目出現(xiàn)在五年級(jí)上冊(cè)“實(shí)際問題與解方程”的練習(xí)題當(dāng)中(如圖3)。
圖3 “雞兔同籠”問題示意圖
小學(xué)教材中，能夠讓學(xué)生經(jīng)歷較為完整的數(shù)學(xué)建模全過程的素材要數(shù)方程模型了，因此采用建立方程模型的方式，通過實(shí)際情境→分析已知量、未知量，找出等量關(guān)系→建立代數(shù)方程模型→模型求解→驗(yàn)證→解釋實(shí)際問題的過程來解決問題(見表2)。
表2 “雞兔同籠”問題的應(yīng)用
在完成了上述講解后，教師應(yīng)立即讓學(xué)生利用相同的思路，自主探究，解決經(jīng)典的“雞兔同籠”問題。這樣，便可使學(xué)生親身經(jīng)歷完整的數(shù)學(xué)建模過程，同時(shí)能夠讓學(xué)生在解決問題的過程中感悟模型思想。
3.“植樹問題”
小學(xué)數(shù)學(xué)課程中的“植樹問題”通常表述為：同學(xué)們?cè)谌L(zhǎng)20 m的小路一邊植樹，每隔5 m栽一棵，兩端要栽，一共要栽多少棵樹？(如圖4)
“植樹問題”的關(guān)鍵點(diǎn)在于如何理解“棵數(shù)”與“間隔數(shù)”之間的關(guān)系，學(xué)生認(rèn)為是“距離÷間隔長(zhǎng)=棵數(shù)”，而事實(shí)上，在不同的題設(shè)條件下，這一關(guān)系式不一定能夠成立。
圖4 植樹問題示意圖 圖5 “一端植樹”分組示意圖
一般地，對(duì)于植樹問題都是從兩端植樹開始研究，為了更好地抽象出“點(diǎn)—段”對(duì)應(yīng)關(guān)系，建議從“一端植樹”作為切入點(diǎn)(如圖5)，將“樹的棵數(shù)”視為“點(diǎn)的個(gè)數(shù)”，將“樹的間隔數(shù)”視為“線段的條數(shù)”，此時(shí)恰好有模型“點(diǎn)的個(gè)數(shù)=線段的條數(shù)”。這樣可以降低學(xué)生學(xué)習(xí)的難度，省去了“棵數(shù)”與“間隔數(shù)”不一致的干擾，學(xué)生自然直接地聚焦到“點(diǎn)—段”之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，有利于學(xué)生順利建立起“棵數(shù)=間隔數(shù)”的數(shù)學(xué)模型，為后面的探究作鋪墊。
在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步探究和優(yōu)化，若“兩端植樹”，就是在一端植樹的模型基礎(chǔ)上加上一棵樹，則“棵數(shù)=間隔數(shù)+1”；若“兩端不植樹”，即在一端植樹的模型基礎(chǔ)上減去端點(diǎn)的一棵樹，則“棵數(shù)=間隔數(shù)-1”；若“循環(huán)植樹”，就是將一端植樹的線段首尾相連，恰好形成一個(gè)圓環(huán)，則“棵數(shù)=間隔數(shù)”的數(shù)學(xué)模型保持不變。
在義務(wù)教育階段，模型思想的滲透至關(guān)重要，這就要求教師在教學(xué)過程中結(jié)合學(xué)生的認(rèn)知水平，引導(dǎo)學(xué)生由淺入深地經(jīng)歷數(shù)學(xué)建模的全過程，逐步完成從用字母表示數(shù)到建立簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)模型的過渡，為中學(xué)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)作準(zhǔn)備。
對(duì)于學(xué)生模型意識(shí)的培養(yǎng)和建模方法的指導(dǎo)，要因材施教，根據(jù)具體內(nèi)容和具體年級(jí)來制定不同層次的要求。小學(xué)階段學(xué)生的認(rèn)知能力較弱，要結(jié)合日常實(shí)例以及常規(guī)教學(xué)對(duì)學(xué)生進(jìn)行模型及模型意識(shí)的滲透、點(diǎn)化。這樣做的目的是在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)過程中滲透模型思想，通過具有模型功能的模型載體，來幫助學(xué)生在思維上實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)抽象，從而為后續(xù)學(xué)習(xí)提供數(shù)學(xué)思想上的基礎(chǔ)支持。
三、通過數(shù)學(xué)模型的應(yīng)用鞏固模型思想
如果將“從實(shí)際情境到數(shù)學(xué)模型”的過程叫作建模的過程，那么引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步經(jīng)歷將數(shù)學(xué)模型應(yīng)用于更加廣泛的實(shí)際情境的過程，就可以稱之為“反建?！钡倪^程[4]。從某種意義上講，模型思想的應(yīng)用就是一個(gè)“反建?！钡倪^程[4]，也可以說是將一個(gè)問題的解決拓展為一類問題的解決。
1.“烙餅問題”的應(yīng)用
圖6 “烙餅問題”的應(yīng)用
在實(shí)際生活中，不可能像“烙餅問題”中的方法去烙餅，但與“烙餅問題”相似的情境卻經(jīng)常出現(xiàn)，比如人教版數(shù)學(xué)教材四年級(jí)上冊(cè)107頁練習(xí)題的第二題：東東、晶晶和紅紅三位同學(xué)要去量身高、驗(yàn)視力，每項(xiàng)檢查都要3 min，測(cè)試身高和視力的醫(yī)生各有一位，他們最短需要多長(zhǎng)時(shí)間能做完這些檢查？采用上一節(jié)相同的模型，將題目中的相關(guān)要素抽象成“幾何元素”進(jìn)行建模，具體地說，把每個(gè)人需要參加的兩項(xiàng)檢查看作兩個(gè)不同的點(diǎn)，連線表示兩人同時(shí)做檢查，用時(shí)最短的前提是保證必須有兩個(gè)人同時(shí)做檢查，每項(xiàng)檢查沒有空缺(如圖6)。
最終，我們得到最省的時(shí)間是9 min，具體的一種方案是：第一步，東東測(cè)身高和晶晶測(cè)視力同時(shí)進(jìn)行；第二步，晶晶測(cè)身高和紅紅測(cè)視力同時(shí)進(jìn)行；第三步，紅紅測(cè)身高和東東測(cè)視力同時(shí)進(jìn)行。
2.“雞兔同籠”問題的應(yīng)用
“雞兔同籠”問題中的等量關(guān)系“雞的數(shù)量×每只雞腳的數(shù)量+兔的數(shù)量×每只兔腳的數(shù)量=腳的總數(shù)”就是一個(gè)數(shù)學(xué)模型，即把實(shí)際情境中的已知量和未知量通過方程建立起聯(lián)系，通過已知量計(jì)算出未知量的數(shù)學(xué)模型。
日本的“龜鶴算”問題也是從我國的“雞兔同籠”問題演變來的。在我國古代，類似于“雞兔同籠”問題數(shù)量關(guān)系的情境也經(jīng)常出現(xiàn)。比如明代珠算家程大位著的《算法統(tǒng)宗》中有一道詩歌寫成的題目：一百饅頭一百僧，大僧三個(gè)更無爭(zhēng)，小僧三人分一個(gè)，大小和尚各幾丁[5]？這些都是“雞兔同籠”問題的實(shí)際應(yīng)用，此處不再詳解。
學(xué)生認(rèn)為這類題目完全可以用算式的方法來解決，下面以一道稍有難度的題目為例(見表3)，讓學(xué)生更顯著地體會(huì)建立方程模型的優(yōu)勢(shì)。
表3 “雞兔同籠”問題的應(yīng)用
3.“植樹問題”的應(yīng)用
在日常生活中，應(yīng)用“植樹問題”數(shù)量關(guān)系的實(shí)際情境經(jīng)常出現(xiàn)，比如對(duì)于計(jì)算地鐵站數(shù)的問題。如果要計(jì)算乘坐北京地鐵一號(hào)線從五棵松站(編號(hào)108)到國貿(mào)站(編號(hào)122)共有多少個(gè)站點(diǎn)，我們便可以應(yīng)用“植樹問題”的模型(見表4)。
表4 “植樹問題”的應(yīng)用
與此類似的問題十分常見，比如想要在北京地鐵二號(hào)線上設(shè)置站點(diǎn)，我們知道，地鐵二號(hào)線的軌跡可以近似地看作一個(gè)圓圈，因此有“站點(diǎn)數(shù)=間隔數(shù)”，這恰恰對(duì)應(yīng)植樹問題中“循環(huán)植樹”的模型。
除此之外，“植樹問題”數(shù)量關(guān)系中蘊(yùn)含著的思想方法，對(duì)于現(xiàn)實(shí)生活中數(shù)學(xué)知識(shí)的思考與理解也是有益的。比如國慶閱兵時(shí)徒步方陣共有350人(不包含領(lǐng)隊(duì)在內(nèi))，按照每行25人，共14行列隊(duì)，根據(jù)《隊(duì)列條令》規(guī)定，隊(duì)列人員之間的距離(前一名腳跟至后一名腳尖)通常約75 cm，問方陣的長(zhǎng)度是多少？解決這道題的思路與“植樹問題”相似，將隊(duì)列人員看作“點(diǎn)”，隊(duì)列人員之間的距離看作“間隔”，方陣的長(zhǎng)度為隊(duì)列人員之間的距離75與方陣的行數(shù)14減去1的乘積，即75×(14-1)=975(cm)。
就“植樹問題”而言，可將其拓展到相應(yīng)的一類題，如計(jì)算時(shí)間的問題、鋸木頭問題、上樓梯問題等，它們的相同點(diǎn)在于這些問題中都存在點(diǎn)與間隔之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，可建立“點(diǎn)—段”模型。如果教師在教學(xué)過程中設(shè)置相應(yīng)的練習(xí)題進(jìn)行練習(xí)和鞏固，既可以達(dá)到舉一反三的教學(xué)效果，又有利于培養(yǎng)學(xué)生透過現(xiàn)象揭示本質(zhì)的洞察能力，體會(huì)模型思想的應(yīng)用。
學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的意義在于能夠?qū)ΜF(xiàn)實(shí)生活中的實(shí)際問題提出有效的解決方案，用數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問題，使學(xué)生在實(shí)際應(yīng)用中了解新問題、吸收新知識(shí)、拓展新認(rèn)知，并構(gòu)建自己的知識(shí)理論體系，從而形成積極自覺的數(shù)學(xué)建模意識(shí)與思想，這不僅是學(xué)生真正掌握數(shù)學(xué)知識(shí)的具體表現(xiàn)，也是學(xué)生感悟模型思想價(jià)值的重要環(huán)節(jié)。數(shù)學(xué)模型從情境中來，也要回歸到情境中去，需要在生活現(xiàn)實(shí)背景中建構(gòu)提煉，需要在現(xiàn)實(shí)情境中進(jìn)行檢驗(yàn)驗(yàn)證，更要廣泛應(yīng)用于生活，解決生活中的實(shí)際問題。總之，在數(shù)學(xué)教學(xué)中融入現(xiàn)實(shí)情境，引領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷建模過程，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，既可以調(diào)動(dòng)學(xué)生原有的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，又能夠升華學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)模型的認(rèn)識(shí)，促使學(xué)生在更高層次上感悟到模型思想與數(shù)學(xué)建模的價(jià)值與魅力。
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