王珵

摘要：針對多屬性決策中的信息融合環(huán)節(jié)，提出了一種加權(quán)幾何Copula集成（WGCA）算子，定義了基于Copula函數(shù)的實數(shù)運算法則，并對WGCA算子的相關(guān)性質(zhì)進行了證明。在此基礎(chǔ)上，提出了一種基于WGCA算子的多屬性決策方法，并通過實例說明了該方法的有效性和合理性。

Abstract： Aiming at the information fusion of the multiple attributes decision making， a weighted geometric copula aggregation （WGCA） operator is put forward， some new operational rule of real number based on Copula are defined and some properties of WGCA operator are proved. An approach of multiple attributes decision making is proposed and the validity and rationality of the proposed approach is verified through its application in a given case.

關(guān)鍵詞：多屬性決策；Copula；WGCA算子；信息融合

Key words： multiple attributes decision making；Copula；WGCA operator；information fusion

中圖分類號：TP18 文獻標(biāo)識碼：A 文章編號：1006-4311（2018）21-0189-05

0 引言

信息融合是多屬性決策中的重要環(huán)節(jié)，是實現(xiàn)方案多屬性信息集成的主要手段，而集結(jié)算子則成為決策信息融合的重要工具。自1983年Aczél和Saaty[1]提出了加權(quán)幾何平均（WGA）算子以來，由于幾何均值受到極端值的影響較小的特點，多種形式的加權(quán)幾何算子相繼被學(xué)者提出。徐澤水等[2]提出了組合加權(quán)幾何平均（CWGA）算子，考慮了每個數(shù)據(jù)所在位置的重要性程度；陳華友等[3]在Yager定義的誘導(dǎo)有序加權(quán)平均（IOWA）算子基礎(chǔ)上，提出了誘導(dǎo)有序加權(quán)幾何平均（IOWGA）算子，并研究了該算子在組合預(yù)測中的運用。

上述已有的實數(shù)環(huán)境下的集成算子中，大多只考慮了數(shù)據(jù)所在位置的影響，而對變量間的相關(guān)關(guān)系方面的考慮略有欠缺。對此，在阿基米德t-模和s-模的基礎(chǔ)上，變量間的相關(guān)關(guān)系逐漸成為多屬性決策中考慮問題的一個重要方面，國內(nèi)外的專家學(xué)者給出了多種形式信息環(huán)境下的信息集成算子及其在多屬性決策問題中的應(yīng)用[4-5]。Sklar[6]提出的Coupla函數(shù)是阿基米德t-模和s-模的一種特殊情況，可用于描述變量間的相關(guān)性。1986年，Genest和MacKay[7]提出阿基米德Copula函數(shù)，它具有對稱性、可結(jié)合性、運算簡單等優(yōu)點。20世紀90年代后期，Copula函數(shù)開始廣泛運用在金融、保險等領(lǐng)域，近幾年來，Copula函數(shù)在多屬性決策中的運用也受到了國內(nèi)外學(xué)者的廣泛關(guān)注。？譒abo等[8]介紹了由t-模和Copula函數(shù)生成的RET算子，并給出了相關(guān)案例。Klement[9]指出Copula和準Copula是特殊的1-Lipschitz集成算子，并對具有特殊性質(zhì)的Copula和準Copula進行了擴展。Beliakov[10]將Copula和對偶Copula作為對模糊信息進行聯(lián)合和分離的函數(shù)，展示了Copula函數(shù)在信息融合中的應(yīng)用。Bacigál T等[11]提出了一種基于阿基米德Coupla加法生成元的集結(jié)函數(shù)。Dolati等[12]介紹了一種基于Copula函數(shù)的模糊蘊涵算子族，并研究了算子的相關(guān)性質(zhì)。

結(jié)合現(xiàn)有的信息集成算子研究可以看出，在反映數(shù)據(jù)間的關(guān)聯(lián)性層面，除了Bonferroni[19]和Power[20]信息集成算子之外，Copula函數(shù)提供了一類依賴于信息內(nèi)在關(guān)聯(lián)性的信息融合模式。本文在現(xiàn)有研究的基礎(chǔ)上，將Copula函數(shù)運用到實數(shù)環(huán)境下多屬性決策的信息計算過程中，并以此為基礎(chǔ)提出一類加權(quán)幾何Copula集成（WGCA）算子，給出相關(guān)的性質(zhì)并加以證明，進而以單參數(shù)阿基米德二元Frank Copula函數(shù)為例，提出了一種基于WGCA算子的多屬性決策方法，最后考慮該方法在科技成果評價問題中的運用。

1 預(yù)備知識

本節(jié)主要介紹如下幾個必要的基本概念：

2 加權(quán)幾何Copula集成（WGCA）算子

5 結(jié)束語

本文基于能夠反映變量間相關(guān)關(guān)系的Copula函數(shù)，提出了一種加權(quán)幾何Copula（WGCA）算子，對該算子的相關(guān)性質(zhì)進行證明，并提出了一種基于WGCA算子的多屬性決策方法。最后運用案例對該方法進行驗證，并繪制了方案評價值的排列順序隨參數(shù)θ變化的圖像。結(jié)果表明，該算子對方案的排序結(jié)果與OWGA算子的結(jié)果一致，該算子能夠有效的運用于多屬性決策問題，并且參數(shù)θ的引入，能夠給決策者提供更為靈活的選擇。未來還可以進一步地將該運算法則擴展到包括直覺模糊信息[22]、語言信息等其他類型的模糊信息以及得到包含加權(quán)調(diào)和形式和有序加權(quán)情形在內(nèi)的其他形式信息集成算子。

參考文獻：

[1]Aczél J， Saaty T L. Procedures for synthesizing ratio judgements. Journal of mathematical Psychology， 1983， 27（1）： 93-102.

[2]徐澤水，達慶利.一種組合加權(quán)幾何平均算子及其應(yīng)用[J].東南大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)版），2002，32（3）：506-509.

[3]陳華友，盛昭瀚.一類基于IOWGA算子的組合預(yù)測新方法[J].管理工程學(xué)報，2005，19（4）：36-39.

[4]Xia M M， Xu Z S， Zhu B. Some issues on intuitionistic fuzzy aggregation operators based on Archimedean t-conorm and t-norm. Knowledge-Based Systems， 2012， 31（7）： 78-88.

[5]王中興，陳晶，蘭繼斌.基于二元語義Archimedean S-模集成算子的群決策方法[J].中國管理科學(xué)，2016，24（8）：146-153.

[6]Sklar M. Fonctions de repartition an dimensions et leurs marges. Publ. Inst. Statist. Univ. Paris， 1959， 8： 229-231.

[7]Genest C， MacKay J. The joy of copulas： Bivariate distributions with uniform marginal. The American Statistician， 1986， 40（4）： 280-283.

[8]？譒abo M， Kolesárová A， Varga ？譒. RET operators generated by triangular norms and copulas. International Journal of Uncertainty， Fuzziness and Knowledge-Based Systems， 2001， 9（02）： 169-181.

[9]Klement E P， Kolesárová A. Extension to copulas and quasi-copulas as special 1 -Lipschitz aggregation operators. Kybernetika， 2005， 41（3）： 329-348.

[10]Beliakov G， Pradera A， Calvo T. Aggregation functions： A guide for practitioners. Heidelberg： Springer， 2007.

[11]Bacigál T， Mesiar R， Najjari V. Generators of copulas and aggregation. Information Sciences， 2015， 306： 81-87.

[12]Dolati A， Sánchez J F， úbeda-Flores M. A copula-based family of fuzzy implication operators. Fuzzy Sets & Systems， 2013， 211（211）：55-61.

[13]Nelsen， R B. An introduction to copulas. Springer Science & Business Media， 2007.

[14]Frees E W， Valdez E A. Understanding relationships using copulas. North American Actuarial Journal， 1998， 2（1）：1-25.

[15]Cherubini U， Mulinacci S， Gobbi F， et al. Dynamic Copula methods in finance. John Wiley & Sons， 2011.

[16]徐澤水.不確定多屬性決策方法及應(yīng)用[M].清華大學(xué)出版社，2004.

[17]Yoon K P， Hwang C L. Multiple attribute decision making. Lecture Notes in Economics & Mathematical Systems， 1995， 375（4）：1-531.

[18]Tao Z F， Chen H Y， Zhou L G， Liu J P. On new operational laws of 2-tuple linguistic information using Archimedean t-norm and s-norm. Knowledge-Based Systems， 2014， 66： 156-65.

[19]Yager， R R， On generalized Bonferroni mean operators for multi-criteria aggregation[J]. International Journal of Approximate Reasoning， 2009， 50： 1279-1286.

[20]Zeshui Xu， Ronald R. Yager， Power-Geometric Operators and Their Use in Group Decision Making [J]， IEEE Transactions on Fuzzy Systems， 2010， 18（1）： 94-105.

[21]韋艷華，張世英.Copula理論及其在金融分析上的應(yīng)用[M].清華大學(xué)出版社，2008.

[22]韓二東，徐國東.基于直覺模糊交叉熵及灰色關(guān)聯(lián)的混合評價信息供應(yīng)商選擇決策[J].科學(xué)技術(shù)與工程，2017，17（7）：1-9.

[23]徐浩，邢清華，王偉.基于投影的不完全信息直覺模糊多屬性決策方法[J].科學(xué)技術(shù)與工程，2017（8）：101-105.