劉桃花,侯木舟

(1.湖南科技大學 數(shù)學與計算科學學院，湖南 湘潭，411201； 2.中南大學 數(shù)學與統(tǒng)計學院，湖南 長沙，410083 )

經典的擴散方程已經普遍地應用于描述粒子的Brown運動,其中,一維擴散方程可以寫成下列形式：

d為擴散系數(shù),f(x,t)為原項。

近十幾年來,分數(shù)階在各類學科中的廣泛應用,由于多數(shù)情況下分數(shù)階偏微分方程的精確解得不到,分數(shù)階偏微分方程數(shù)值方法成為求解分數(shù)階偏微分方程的主流方法[6-8]。關于數(shù)值方法,Meerschaert和Tadjeran等人[9-11]用有限差分方法求解了單、雙邊空間的分數(shù)階對流-擴散方程以及用交替方向的隱式差分方法求解了二維空間的分數(shù)階擴散方程；王宏等人[12-13]發(fā)展了一系列關于求解空間分數(shù)階微分方程的快速算法,大大降低了計算量和儲存量。目前,文獻[14]采用了Grünwald改進型的離散方法對帶Neumann分數(shù)階邊界條件的分數(shù)階微分方程進行離散,構造出分數(shù)階微分方程的顯式有限差分格式,并證明了顯式格式條件穩(wěn)定和條件收斂;文獻[15]對帶分數(shù)階Dirichelet邊界條件初邊值問題的一維分數(shù)階滲流方程建立了一種隱式有限差分格式,證明了格式的穩(wěn)定性和收斂性,驗證了數(shù)值格式的有效性。

考慮如下帶分數(shù)階邊界條件初邊值問題的分數(shù)階對流方程：

(1)

分數(shù)階初邊值條件為

(2)

u(x,0)=q(x)，0≤x≤R

(3)

(4)

其中Γ(·)為Gamma函數(shù)。

1 差分格式的建立及其相容性

移位的Grünwald-Letnikov分數(shù)階算子定義為

(5)

Grünwald權系數(shù)定義為

(6)

它的值只依賴于k和α。

標準的Grünwald-Letnikov分數(shù)階算子定義為

采用移位的Grünwald-Letnikov分數(shù)階算子和標準的Grünwald-Letnikov分數(shù)階算子對方程中Riemann-Liouville分數(shù)階導數(shù)以及分數(shù)階邊界條件中Riemann-Liouville分數(shù)階導數(shù)分別進行離散,得到：

(7)

(8)

利用向后Euler差分方法離散一階時間導數(shù)和一階空間導數(shù),分別得到：

(9)

(10)

對問題(1)-(3)建立差分格式如下：

(11)

(12)

(13)

當1≤i≤N-1時,局部截斷誤差為

(14)

當i=N時,局部截斷誤差為

(15)

因此,綜上可知,建立的隱式差分格式是相容的。

2 差分格式的差分解的存在唯一性及穩(wěn)定性和收斂性分析

(16)

(17)

進一步可以將分數(shù)階方程改寫成下列矩陣的形式：

AUm=Qm-1+Fm,1≤m≤M

(18)

(19)

定理3.1 如果β>0,差分格式(11)-(13)的解存在且唯一。

(20)

(21)

(22)

(23)

定理3.2 如果β>0,差分格式(11)-(13)無條件穩(wěn)定。

證明：由引理2.1得

(24)

由(21)可得

(25)

可以假設‖εm‖≤i0≤N-1),由引理2.1,則有

‖εm‖≤

(26)

應用(26)m-1次

‖εm‖<‖ε0‖,1≤m≤M。

綜上,差分格式(11)-(13)是無條件穩(wěn)定的。

‖em‖≤C(Δt+h),1≤m≤M

(27)

證明：假設‖em‖≥,i=N,由(22)及引理2.1得

(28)

有引理3.1和Stirling定理(見文獻[16]),則有

(29)

當N→,結合(28)和(29),得

(30)

假設‖em‖≥≤i0≤N-1),則有

‖em‖≤

(31)

運用(31)m-1次,則有

‖em‖≤(m-1)ΔtC2(Δt+h)；又因為(m-1)Δt≤T,所以存在一個常數(shù)C3=C2T,使得

‖em‖≤C3(Δt+h)

(32)

綜上,‖em‖≤C(Δt+h)。

所以此格式收斂。

3 數(shù)值試驗

取擴散系數(shù)d(x)=Γ(2-α)xα-1；原項

分數(shù)階初邊值條件為

圖1 數(shù)值結果Fig.1 Numberical results

圖1為Δt=h=2-6的網格上,T=1時刻,格式(11)-(13)所得到的數(shù)值解以及精確解的圖像；從圖像可以看到,在本例中數(shù)值解可以很好的擬合精確解。

表1表示當T=1時，α分別取1.95,1.85,1.65時算例的數(shù)值解與解析離散解之差的最大誤差及誤差階。在表1中，當空間步長、時間步長減半時，格式誤差接近原來的1/2，這就驗證了這個格式的收斂階為O(Δt+h)。

表1 當T=1時隱式差分格式的誤差值
Table1Errorbehaviorsforimplicitfinitedifferencescheme(16)attimeT=1

Δt=hα=1.95α=1.85α=1.65‖emh‖呂誤差階‖emh‖呂誤差階‖emh‖呂誤差階2-40.02820.03220.04892-50.01461.93150.01681.91610.02641.85232-60.00741.97300.00871.93100.01391.89932-70.00192.00000.00441.97730.00721.9306

4 結論

考慮了在有界區(qū)域里帶分數(shù)階邊界條件的一維空間分數(shù)階擴散方程,建立了經典的隱性差分格式,證明該格式的解的存在唯一性，無條件穩(wěn)定性,也證明了這個隱式差分方法收斂于空間分數(shù)階擴散方程的解,且具有O(Δt+h)收斂階。