高正暉

（衡陽(yáng)師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，湖南 衡陽(yáng) 421002）

本文將研究一類(lèi)高階非線(xiàn)性Schr?dinger方程：

其中 α，β1，β2，β3分別是方程的實(shí)系數(shù)，i2＝－1，u 是關(guān)于 x，t的復(fù)值函數(shù)，是u的復(fù)共軛.非線(xiàn)性Schr?dinger方程是數(shù)學(xué)物理中的一類(lèi)重要的非線(xiàn)性演化方程，它在量子力學(xué)、非線(xiàn)性光學(xué)、電磁學(xué)、等離子體理論、固體物理學(xué)以及玻色-愛(ài)因斯坦凝聚等眾多領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用.從傳統(tǒng)的觀點(diǎn)來(lái)看，求非線(xiàn)性偏微分方程的精確解是十分困難的，然而，近幾十年來(lái)，對(duì)某些非線(xiàn)性偏微分方程的精確求解獲得了許多有效的方法，如直接積分法，混合指數(shù)法，齊次平衡法，雙曲函數(shù)展開(kāi)法及Baclund變換法等[1].Peng Yan-ze等[2]用修正的映射方法和推廣的映射方法，得到了方程（1）的一些精確行波解，但這些方法不能揭示其行波解如何依賴(lài)于方程中的參數(shù)變化，其行波解具有什么樣的動(dòng)力學(xué)性質(zhì)也不清楚.近幾年來(lái)，郭柏靈，劉正榮[3]、李繼彬[4-8]、劉正榮[9]等運(yùn)用動(dòng)力系統(tǒng)的分支理論對(duì)一些非線(xiàn)性發(fā)展方程的精確行波解進(jìn)行了研究，建立了求非線(xiàn)性發(fā)展方程精確行波解的新方法.本文將應(yīng)用動(dòng)力系統(tǒng)的分支理論，對(duì)方程（1）的行波解的平面相圖做細(xì)致的分析，根據(jù)這些分析，給出方程（1）的精確行波解的參數(shù)表示.

1 方程（1）的行波變換

考慮方程（1）如下形式的行波解

其中φ（ξ）表示振幅，k為波數(shù)，ω為圓頻率，c為行波的波速.

將式（2）代入方程（1），則有

由方程（3）可得

對(duì)方程（4）積分一次并取積分常數(shù)為0，可得

比較方程（5）、（6），可得

由（7）解得

令φ′＝y(tǒng)，則可得以下平面自治系統(tǒng)

2 系統(tǒng)（9）的平面相圖

顯然，系統(tǒng)（9）是一個(gè)Hamilton系統(tǒng)，它有首次積分

因此，系統(tǒng)（9）的Hamilton函數(shù)為

對(duì)于系統(tǒng)（9），其平衡點(diǎn)滿(mǎn)足方程組

因此，當(dāng)AB＞0時(shí)，系統(tǒng)（9）有平衡點(diǎn)O（0，0）及平衡點(diǎn)，0）.記M（φi，yj）為系統(tǒng)（9）的線(xiàn)性系統(tǒng)在平衡點(diǎn)（φi，yj）的系數(shù)矩陣，其Jacobi行列式因此，該系統(tǒng)在平衡點(diǎn)O（0，0）的Jacobi行列式為在平衡點(diǎn)的Jacobi行列式為根據(jù)平面動(dòng)力系統(tǒng)理論，對(duì)于平面可積系統(tǒng)（9）的平衡點(diǎn)，若J＞0，則它是中心；若J＜0，則它是鞍點(diǎn)；若J＝0并且在平衡點(diǎn)的Poicare指標(biāo)為0，則它是尖點(diǎn)，否則，該平衡點(diǎn)是高次平衡點(diǎn).

記 h0＝H（0，0）＝0，

情形1：當(dāng)AB＜0時(shí)，系統(tǒng)（9）有唯一的平衡點(diǎn)O（0，0）.

1）當(dāng) β1A＞0 時(shí)，因此，平衡點(diǎn) O（0，0）是鞍點(diǎn).

2）當(dāng) β1A＜0 時(shí)，因此，平衡點(diǎn) O（0，0）是中心.

圖1 β1A＞0的平面相圖

圖2 β1A＜0的平面相圖

情形2：當(dāng)AB＞0時(shí)，系統(tǒng)（9）有平衡點(diǎn)O（0，0）及平衡點(diǎn)

3）當(dāng) β1A＞0 時(shí)，因此，平衡點(diǎn)O（0，0）是鞍點(diǎn)，平衡點(diǎn)是中心.

4）當(dāng) β1A＜0 時(shí)，因此，平衡點(diǎn)是 O（0，0）中心，平衡點(diǎn)是鞍點(diǎn).

圖3 β1A＞0的平面相圖

圖4 β1A＜0的平面相圖

3 方程（1）的精確行波解的參數(shù)表示

根據(jù)上述系統(tǒng)（9）的平面相圖，可得

情形 1：當(dāng) AB＜0時(shí)，系統(tǒng)（9）有唯一的平衡點(diǎn) O（0，0）.

1）當(dāng) β1A＞0 時(shí)，因此，平衡點(diǎn) O（0，0）是鞍點(diǎn).

取 h＝h0＝0，由代入系統(tǒng)（9）的第一個(gè)方程得

此為第四種橢圓方程，因此有解

因此，方程（1）有精確行波解

2）當(dāng) β1A＜0 時(shí)，因此，平衡點(diǎn) O（0，0）是中心.

取h∈（－∞，0），對(duì)應(yīng)于由H（φ，y）＝h所定義的曲線(xiàn)是系統(tǒng)（9）的周期軌，因此，系統(tǒng)（9）有周期解.由可得

此為第一種橢圓方程，因此有精確周期波解

因此，方程（1）有精確行波解

情形2：當(dāng)AB＞0時(shí)，系統(tǒng)（9）有平衡點(diǎn)O（0，0）及平衡點(diǎn)

3）當(dāng) β1A＞0 時(shí)，因此，平衡點(diǎn)O（0，0）是鞍點(diǎn)，平衡點(diǎn)是中心，且系統(tǒng)（9）有過(guò)鞍點(diǎn)的同宿軌Γ1，其內(nèi)部包含中心.

取 h＝h0＝0，由可得代入系統(tǒng)（9）的第一個(gè)方程得

此為第四種橢圓方程，因此有解

因此，方程（1）有精確行波解

4）當(dāng) β1A＜0 時(shí)，因此，平衡點(diǎn)O（0，0）是中心，平衡點(diǎn)是鞍點(diǎn)，且系統(tǒng)（9）有過(guò)鞍點(diǎn)的異宿軌Γ2.

取由可得代入系統(tǒng)（9）的第一個(gè)方程得

因此有解

所以，方程（1）有精確孤波解

4 結(jié)語(yǔ)

本文應(yīng)用平面動(dòng)力系統(tǒng)分支理論的方法，對(duì)一類(lèi)高階非線(xiàn)性Schr?dinger方程進(jìn)行了研究，在參數(shù)平面上給出了該方程的精確行波解的分支相圖，從而揭示了其行波解與參數(shù)的依賴(lài)關(guān)系，并獲得了該方程的精確行波解的參數(shù)表示.