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        例談數(shù)與形的相互作用及相互關(guān)系

        2018-08-27 17:27:16符曉全
        文理導(dǎo)航 2018年11期
        關(guān)鍵詞:數(shù)與形數(shù)形結(jié)合

        符曉全

        【摘 要】筆者根據(jù)自己多年的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)經(jīng)驗(yàn),把常常會(huì)用到數(shù)形結(jié)合的幾種題型進(jìn)行歸納,以此拋磚引玉例談數(shù)與形的相互作用及相互關(guān)系。

        【關(guān)鍵詞】數(shù)形結(jié)合;數(shù)與形;以形助數(shù);以數(shù)輔形

        一、以形助數(shù)問題

        1.與不等式有關(guān)的問題

        例1:若不等式|x-4|+|3-x|

        這道題目是已知不等式的解集求未知的參數(shù),是考查不等式解法的逆向運(yùn)用,解這道題的一般思路是:先對(duì)a分類討論:(1)a≤0時(shí)不等式的解集為空集,符合題意;(2)a>0時(shí),先求不等式有解時(shí)a的取值范圍:a>1,從而得當(dāng)0

        |x-4|+|x-3|表示數(shù)軸上的點(diǎn)x到3和到4的距離之和(圖一),其最小值為1。即|x-4|+|x-3|≥1,若|x-4|+

        |3-x|

        后一種方法明顯比前一種方法簡(jiǎn)單,清楚,運(yùn)算量小,出錯(cuò)機(jī)會(huì)少。

        例2:已知a,b,m∈(0,+∞),且a■。

        分析:本題包含了多種的幾何特征。

        思路1:不等號(hào)兩邊是比值形式,可考慮直角坐標(biāo)系下直線的斜率,再結(jié)合傾斜角,斜率的大小去證之。

        思路2:根據(jù)三角形相似可得到比值關(guān)系,因此可以利用相似關(guān)系把欲證的式子兩端轉(zhuǎn)化為相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比,再結(jié)合線段長(zhǎng)度去證之。

        證法一:如圖二,設(shè)點(diǎn)A(b,a),點(diǎn)B(-m,-m)其中m>0,其中直線OA的傾斜角為α■,直線AB的傾斜角為α■

        ∵0

        ∴直線OA的斜率K■=tana■=■<1

        直線AB的斜率K■=tana■=■<1

        ∵B在第三象限平分線上

        ∴AB必與x軸正半軸相交,且有0

        ∴tana■>tana■,即■>■

        證法二:如圖三,在Rt△ABC及Rt△ADF

        中,AB=a,AC=b,BD=m

        作CE∥BD交DF于E,由△ABC∽△ADF

        ∴■=■<■=■=■

        例3:解不等式x+1-x-3>2

        分析:此題若用分段討論或用兩邊平方的方法來(lái)解,則過程復(fù)雜且容易出錯(cuò)。若把x視為復(fù)數(shù),在復(fù)平面內(nèi)利用幾何意義來(lái)研究,則過程簡(jiǎn)化,方法較新穎。

        解:在復(fù)平面內(nèi),滿足條件z+1-z-3=2的復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡是以(-1,0),(3,0)為焦點(diǎn),以(1,0)點(diǎn)為中心且實(shí)軸長(zhǎng)為2的雙曲線的右半支(如圖四),圖象與x軸的交點(diǎn)為(2,0)??梢妜是實(shí)數(shù)時(shí),不等式x+1-x-3>2的解集是{x|x>2}。

        2.與函數(shù)有關(guān)的問題

        例4:方程sin2x=sinx在區(qū)間(0,2π)內(nèi)解的個(gè)數(shù)是?

        分析:這是一個(gè)涉及三角方程的問題。因?yàn)橹灰笳页鼋獾膫€(gè)數(shù)而不需要求出具體的解,所以我們不必直接解方程??紤]到方程的左右兩邊分別是sin2x和sinx,如果把它們分別看成是函數(shù)y=sin2x和函數(shù)y=sinx(如圖五),那么方程的解就是兩函數(shù)曲線的交點(diǎn)的橫坐標(biāo),解的個(gè)數(shù)就是交點(diǎn)的個(gè)數(shù),為3。

        例5:求函數(shù)y=■的值域。

        分析:一般的解題思路是:函數(shù)本身就是一個(gè)二元方程,求函數(shù)值域,實(shí)質(zhì)就是要使方程y=■有解,求y的取值范圍。因此可以轉(zhuǎn)化為方程問題解決。主要的步驟有:(1)把函數(shù)化為三角函數(shù)sin(x+ )=■( 為輔助角)(應(yīng)用兩角和的三角函數(shù)公式);(2)利用正弦函數(shù)的有界性得出關(guān)于y的不等式■≤1;(3) 解該不等式得原函數(shù)的值域是[-■,■]。如果借助圖象解決,主要的步驟是:y=■=■,其幾何意義(cosx,sinx),(-2,0)兩點(diǎn)的斜率(如圖六),于是求函數(shù)的值域問題就轉(zhuǎn)化為求該斜率的最大值和最小值問題,即求單位圓上任意一點(diǎn)與點(diǎn)(-2,0)連線的斜率的取值范圍,易得函數(shù)y=■的值域是[-■,■]。

        3.與最值有關(guān)的問題

        例6:已知x■+y■+5x≤0,求3x+4y的最大值與最小值。

        解:x■+y■+5x=0可轉(zhuǎn)化為(x+■)■+y■=(■)■

        這是圓心在(-■,0),半徑為■的圓,滿足x■+y■+5x≤0的點(diǎn)(x,y)在此圓內(nèi)或圓周上。

        設(shè)3x+4y=m,即y=-■x+■,這是斜率為-■的平行直線系。于是可歸結(jié)為這組直線在上述區(qū)域上平行移動(dòng)時(shí)何時(shí)縱截距為最大,何時(shí)縱截距為最小。由圖七知,當(dāng)直線與圓相切時(shí),m有最大值或最小值。故問題可歸納為方程組

        3x+4y=m……(1)

        x■+y■+5x=0……(2)

        有唯一解,求m的值。

        把y=-■x+■代入(2)得:25x■+(80-6m)■+m■=0……(3)

        方程(3)有等根的充要條件是△=(80-6m)■-4×25m■=0。即m■+15m-100=0,解之得m■=-20,m■=5。所以3x+4y的最大值為5,最小值為-20。

        例7:①在-1≤x<0內(nèi),求滿足不等式x■-2≤kx的k的最大值;

        ②在-1≤x<0內(nèi),求滿足不等式x■+1≥kx的k的最大值。

        解:①令 y=x■-2…(1)

        y=kx… (2)

        (1)是以(0,-2)為頂點(diǎn),y為對(duì)稱軸,開口向上的拋物線;(2)是過原點(diǎn)的直線,從圖象(圖八)上易見:滿足-1≤x<0且x■-2≤kx的k的最大值:過點(diǎn)(-1,-1)的直線y=kx的斜率k=1(當(dāng)k>1時(shí),不等式x■-2≤kx不成立)。

        ②令 y=x■+1…(1)

        y=kx… (2)

        義是:(1)是以(0,1)為頂點(diǎn),y軸對(duì)稱軸,開口向上的拋物線;(2)是過原點(diǎn)的直線。從圖形上易見:滿足-1≤x<0且x■+1≥kx的斜率是k≥-2,故k的最大值為-2。

        4.與解方程(組)有關(guān)的問題

        例8:復(fù)數(shù)z滿足 z+3+z-3=10

        z-5i-z+5i=8

        分析:聯(lián)想“形”:z+3+z-3=10表示中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)為A(-3,0),B(3,0),長(zhǎng)軸長(zhǎng)為10的橢圓;z-5i-z+5i=8表示中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)為C(0,5),D(0,-5)實(shí)軸長(zhǎng)為8的雙曲線的下支(如圖十)。

        于是,復(fù)數(shù)z是上述兩曲線(橢圓和雙曲線下支)的交點(diǎn)Z對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)。作圖可知交點(diǎn)為Z(0,-4),故復(fù)數(shù)z=-4i。

        例9:實(shí)數(shù)m為何值時(shí),方程sin■x-sinx+m=0,(-■≤x≤■)有兩解,一解,無(wú)解?

        分析:把原方程轉(zhuǎn)化成函數(shù)式:m=-sin■x+sinx,(-■≤x≤■),再令t=sinx,則,m=-t■+t,(-1≤t≤1)。由此方程聯(lián)想到“拋物線弧段y=-t■+t,(-1≤t≤1)與直線y=m的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)”即得(如圖十一):

        當(dāng)0≤m<■時(shí),方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解;

        當(dāng)-2≤m<0或m=■時(shí),方程有唯一的實(shí)數(shù)解;

        當(dāng)m<-2或m>■時(shí),方程無(wú)解。

        二、以數(shù)輔形問題

        與立體幾何有關(guān)的問題

        例10:已知ABCD-A■B■C■D■的棱長(zhǎng)為a,求異面直線A■C■與AB■的距離。

        分析:這是一道典型的求異面直線的距離的問題,解決的方法有很多,如把問題轉(zhuǎn)化為平行平面間的距離;或轉(zhuǎn)化為直線與平面的距離;或用等體積法;或建立函數(shù)關(guān)系求最值;或用異面直線兩點(diǎn)間的距離公式;或通過建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量這個(gè)工具把空間的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為代數(shù)運(yùn)算等等。

        解:(公式法)如圖十二,設(shè)EF為A■C■與AB■的公垂線,且EF=d,又設(shè)A■E=m,C■E=n,則m+n=■a,由正方體的對(duì)稱性有:B■F=m,AF=n,因?yàn)锳■C■在公垂線EF兩側(cè),根據(jù)異面直線上兩點(diǎn)間的距離公式有:A■C■=d■+n■+n■+2n■cos60■

        A■B■■=d■+m■+m■+2m■cos60■

        ∴3a■=d■+3n■…(1)

        a■=d■+3m■…(2)

        (1)-(2)得:2a■=3(n■-m■)…(3)

        將n=■a-m代入(3)中得:m=■a,再將m=■a代入(2)得:d=■a。

        【參考文獻(xiàn)】

        [1]蔡惠萍.幾何圖形在代數(shù)解題中的應(yīng)用,數(shù)學(xué)通報(bào),2004,3:20-21

        [2]李鳳芝.用“形”的直觀啟迪“數(shù)”的計(jì)算,數(shù)學(xué)教學(xué),2004,3:15-17

        [3]薛金星.高考總復(fù)習(xí)全解,用數(shù)形結(jié)合的思想方法解題,陜西人民教育出版社,430-433

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