符曉全

【摘 要】筆者根據自己多年的數學課堂教學經驗，把常常會用到數形結合的幾種題型進行歸納，以此拋磚引玉例談數與形的相互作用及相互關系。

【關鍵詞】數形結合；數與形；以形助數；以數輔形

一、以形助數問題

1.與不等式有關的問題

例1：若不等式|x-4|+|3-x|

這道題目是已知不等式的解集求未知的參數，是考查不等式解法的逆向運用，解這道題的一般思路是：先對a分類討論：（1）a≤0時不等式的解集為空集，符合題意；（2）a>0時，先求不等式有解時a的取值范圍：a>1，從而得當0

|x-4|+|x-3|表示數軸上的點x到3和到4的距離之和（圖一），其最小值為1。即|x-4|+|x-3|≥1，若|x-4|+

|3-x|

后一種方法明顯比前一種方法簡單，清楚，運算量小，出錯機會少。

例2：已知a，b，m∈（0，+∞），且a■。

分析：本題包含了多種的幾何特征。

思路1：不等號兩邊是比值形式，可考慮直角坐標系下直線的斜率，再結合傾斜角，斜率的大小去證之。

思路2：根據三角形相似可得到比值關系，因此可以利用相似關系把欲證的式子兩端轉化為相似三角形對應邊的比，再結合線段長度去證之。

證法一：如圖二，設點A（b，a），點B（-m，-m）其中m>0，其中直線OA的傾斜角為α■，直線AB的傾斜角為α■

∵0

∴直線OA的斜率K■=tana■=■<1

直線AB的斜率K■=tana■=■<1

∵B在第三象限平分線上

∴AB必與x軸正半軸相交，且有0

∴tana■>tana■，即■>■

證法二：如圖三，在Rt△ABC及Rt△ADF

中，AB=a，AC=b，BD=m

作CE∥BD交DF于E，由△ABC∽△ADF

∴■=■<■=■=■

例3：解不等式x+1-x-3>2

分析：此題若用分段討論或用兩邊平方的方法來解，則過程復雜且容易出錯。若把x視為復數，在復平面內利用幾何意義來研究，則過程簡化，方法較新穎。

解：在復平面內，滿足條件z+1-z-3=2的復數z對應的點的軌跡是以（-1，0），（3，0）為焦點，以（1，0）點為中心且實軸長為2的雙曲線的右半支（如圖四），圖象與x軸的交點為（2，0）。可見x是實數時，不等式x+1-x-3>2的解集是{x|x>2}。

2.與函數有關的問題

例4：方程sin2x=sinx在區(qū)間（0，2π）內解的個數是？

分析：這是一個涉及三角方程的問題。因為只要求找出解的個數而不需要求出具體的解，所以我們不必直接解方程?？紤]到方程的左右兩邊分別是sin2x和sinx，如果把它們分別看成是函數y=sin2x和函數y=sinx（如圖五），那么方程的解就是兩函數曲線的交點的橫坐標，解的個數就是交點的個數，為3。

例5：求函數y=■的值域。

分析：一般的解題思路是：函數本身就是一個二元方程，求函數值域，實質就是要使方程y=■有解，求y的取值范圍。因此可以轉化為方程問題解決。主要的步驟有：（1）把函數化為三角函數sin（x+ ）=■（ 為輔助角）（應用兩角和的三角函數公式）；（2）利用正弦函數的有界性得出關于y的不等式■≤1；（3） 解該不等式得原函數的值域是[-■，■]。如果借助圖象解決，主要的步驟是：y=■=■，其幾何意義（cosx，sinx），（-2，0）兩點的斜率（如圖六），于是求函數的值域問題就轉化為求該斜率的最大值和最小值問題，即求單位圓上任意一點與點（-2，0）連線的斜率的取值范圍，易得函數y=■的值域是[-■，■]。

3.與最值有關的問題

例6：已知x■+y■+5x≤0，求3x+4y的最大值與最小值。

解：x■+y■+5x=0可轉化為（x+■）■+y■=（■）■

這是圓心在（-■，0），半徑為■的圓，滿足x■+y■+5x≤0的點（x，y）在此圓內或圓周上。

設3x+4y=m，即y=-■x+■，這是斜率為-■的平行直線系。于是可歸結為這組直線在上述區(qū)域上平行移動時何時縱截距為最大，何時縱截距為最小。由圖七知，當直線與圓相切時，m有最大值或最小值。故問題可歸納為方程組

3x+4y=m……（1）

x■+y■+5x=0……（2）

有唯一解，求m的值。

把y=-■x+■代入（2）得：25x■+（80-6m）■+m■=0……（3）

方程（3）有等根的充要條件是△=（80-6m）■-4×25m■=0。即m■+15m-100=0，解之得m■=-20，m■=5。所以3x+4y的最大值為5，最小值為-20。

例7：①在-1≤x<0內，求滿足不等式x■-2≤kx的k的最大值；

②在-1≤x<0內，求滿足不等式x■+1≥kx的k的最大值。

解：①令 y=x■-2…（1）

y=kx… （2）

（1）是以（0，-2）為頂點，y為對稱軸，開口向上的拋物線；（2）是過原點的直線，從圖象（圖八）上易見：滿足-1≤x<0且x■-2≤kx的k的最大值：過點（-1，-1）的直線y=kx的斜率k=1（當k>1時，不等式x■-2≤kx不成立）。

②令 y=x■+1…（1）

y=kx… （2）

義是：（1）是以（0，1）為頂點，y軸對稱軸，開口向上的拋物線；（2）是過原點的直線。從圖形上易見：滿足-1≤x<0且x■+1≥kx的斜率是k≥-2，故k的最大值為-2。

4.與解方程（組）有關的問題

例8：復數z滿足 z+3+z-3=10

z-5i-z+5i=8

分析：聯想“形”：z+3+z-3=10表示中心在原點，焦點為A（-3，0），B（3，0），長軸長為10的橢圓；z-5i-z+5i=8表示中心在原點，焦點為C（0，5），D（0，-5）實軸長為8的雙曲線的下支（如圖十）。

于是，復數z是上述兩曲線（橢圓和雙曲線下支）的交點Z對應的復數。作圖可知交點為Z（0，-4），故復數z=-4i。

例9：實數m為何值時，方程sin■x-sinx+m=0，（-■≤x≤■）有兩解，一解，無解？

分析：把原方程轉化成函數式：m=-sin■x+sinx，（-■≤x≤■），再令t=sinx，則，m=-t■+t，（-1≤t≤1）。由此方程聯想到“拋物線弧段y=-t■+t，（-1≤t≤1）與直線y=m的交點的個數”即得（如圖十一）：

當0≤m<■時，方程有兩個不同的實數解；

當-2≤m<0或m=■時，方程有唯一的實數解；

當m<-2或m>■時，方程無解。

二、以數輔形問題

與立體幾何有關的問題

例10：已知ABCD-A■B■C■D■的棱長為a，求異面直線A■C■與AB■的距離。

分析：這是一道典型的求異面直線的距離的問題，解決的方法有很多，如把問題轉化為平行平面間的距離；或轉化為直線與平面的距離；或用等體積法；或建立函數關系求最值；或用異面直線兩點間的距離公式；或通過建立空間直角坐標系，利用向量這個工具把空間的數量關系轉化為代數運算等等。

解：（公式法）如圖十二，設EF為A■C■與AB■的公垂線，且EF=d，又設A■E=m，C■E=n，則m+n=■a，由正方體的對稱性有：B■F=m，AF=n，因為A■C■在公垂線EF兩側，根據異面直線上兩點間的距離公式有：A■C■=d■+n■+n■+2n■cos60■

A■B■■=d■+m■+m■+2m■cos60■

∴3a■=d■+3n■…（1）

a■=d■+3m■…（2）

（1）-（2）得：2a■=3（n■-m■）…（3）

將n=■a-m代入（3）中得：m=■a，再將m=■a代入（2）得：d=■a。

【參考文獻】

[1]蔡惠萍.幾何圖形在代數解題中的應用，數學通報，2004，3：20-21

[2]李鳳芝.用“形”的直觀啟迪“數”的計算，數學教學，2004，3：15-17

[3]薛金星.高考總復習全解，用數形結合的思想方法解題，陜西人民教育出版社，430-433