曾 柯， 柏 林

(重慶大學(xué) 機(jī)械傳動(dòng)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，重慶 400044)

齒輪箱振動(dòng)信號由于系統(tǒng)本身的復(fù)雜性，以及振動(dòng)在傳輸過程中的衰減和耦合等，往往表現(xiàn)出非線性的特征。尤其是在發(fā)生故障時(shí)，故障源產(chǎn)生的激勵(lì)會使齒輪嚙合剛度產(chǎn)生相應(yīng)的變化，這種故障引起的時(shí)變剛度使得齒輪振動(dòng)的非線性和非平穩(wěn)性更加突出。另者，由于加工和安裝引起的誤差激勵(lì)以及非穩(wěn)態(tài)齒輪嚙合也會使得齒輪振動(dòng)本身具有很強(qiáng)的非線性[1]。傳統(tǒng)線性和平穩(wěn)的特征提取技術(shù)，容易丟失重要的非線性狀態(tài)信息，不能很好地從復(fù)雜的非線性信號中提取真實(shí)反映其非線性振動(dòng)本質(zhì)的有效狀態(tài)特征[2]。因此采用非線性特征測度方法對齒輪箱振動(dòng)信號進(jìn)行狀態(tài)分析，能夠更加準(zhǔn)確地辨識出齒輪箱的狀態(tài)特征。

在傳統(tǒng)的模式識別方法中，SVM(Support Vector Machine)是一個(gè)二分類算法，對均衡或近似均衡分布的樣本，分類效果顯著[3]。但是對于一個(gè)多分類問題，SVM只能通過一對其余或二叉樹等多分類方法來實(shí)現(xiàn)，但是這些多分類方法都不能解決樣本不均衡而導(dǎo)致分類精度降低的問題，SVM在處理該類問題時(shí)往往不盡人意[4]。所謂樣本不均衡一般是指用于訓(xùn)練分類器的兩類樣本中，一類樣本的數(shù)量要遠(yuǎn)大于另一類[5]，樣本不均衡問題一般在多分類問題中會經(jīng)常出現(xiàn)。Jayadeva等[6]提出的TWSVM(Twin Support Vector Machine)可以通過參數(shù)的調(diào)整克服樣本不平衡問題[7]。具體來說TWSVM算法可以通過實(shí)施不同的懲罰因子以克服傳統(tǒng)SVM處理樣本非均衡問題的局限性[8]，另外TWSVM其核心思想是構(gòu)造兩個(gè)非平行的超平面，并使正類樣本靠近正類超平面而負(fù)類樣本盡可能地遠(yuǎn)離，使負(fù)類樣本靠近負(fù)類超平面而正類樣本盡可能地遠(yuǎn)離，因此TWSVM的兩個(gè)非平行超平面比SVM的一個(gè)超平面對樣本不均衡問題的適應(yīng)性更強(qiáng)。由于TWSVM訓(xùn)練速度較快，能較好求解異或問題以及分類性能優(yōu)越等優(yōu)勢，它能夠有效提高故障辨識精度[9]。本文將首先采用多種非線性特征對齒輪箱振動(dòng)信號的非線性性進(jìn)行測度，并采用Fisher準(zhǔn)則[10]對非線性特征集進(jìn)行評價(jià)，最后采用TWSVM方法對齒輪故障狀態(tài)進(jìn)行辨識。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，非線性特征測度方法能夠有效地提取齒輪箱振動(dòng)信號狀態(tài)特征，并且采用TWSVM分類模型其分類準(zhǔn)確率要高于SVM和BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的分類準(zhǔn)確率，因此可以看出TWSVM算法分類性能優(yōu)勢明顯。

1 非線性特征的選取

基于非線性特征對于狀態(tài)的敏感性和魯棒性，本文選取分形維數(shù)和熵特征來提取齒輪箱振動(dòng)信號的狀態(tài)特征。對時(shí)間序列提取非線性特征一般采取相空間重構(gòu)法，其原理是選擇合適的延時(shí)時(shí)間τ和嵌入維數(shù)m對原始時(shí)間序列X={x1,x2,…,xN}進(jìn)行相空間重構(gòu)，如式(1)，以還原混沌時(shí)間序列中蘊(yùn)藏的非線性特征。

(1)

(2)

式中：H(u)為Heaviside函數(shù)

(3)

1.1 分形維數(shù)

分形維數(shù)是描述事物分形特性的一種有效方式，同時(shí)也是將事物分形特征進(jìn)行量化的度量參數(shù)[11]。利用分形維數(shù)可以描述混沌時(shí)間序列吸引子的特征。分形維數(shù)的種類有很多，例如關(guān)聯(lián)維數(shù)、盒維數(shù)和Lyapunov指數(shù)等，關(guān)聯(lián)維數(shù)描述的是混沌時(shí)間序列具有某種確定的規(guī)律及程度，經(jīng)相空間重構(gòu)后的時(shí)間序列相互關(guān)聯(lián)的點(diǎn)對個(gè)數(shù)越多，就表明系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的規(guī)律性就越強(qiáng)。

原始時(shí)間序列經(jīng)相空間重構(gòu)后，可得關(guān)聯(lián)維數(shù)的表達(dá)式為

(4)

式中：C(r)為式(2)中的累計(jì)分布函數(shù)；r為閾值。Dc由lnr-lnC(r)坐標(biāo)圖中無標(biāo)度區(qū)內(nèi)的點(diǎn)用最小二乘擬合所返回的斜率值得到。

盒維數(shù)是將時(shí)間序列X劃分為間隔盡可能小的網(wǎng)格，設(shè)Δ為基準(zhǔn)網(wǎng)格然后以Δ為基準(zhǔn)逐步擴(kuò)大網(wǎng)格的寬度使其為kΔ，k=1,2,…,M，M

DB=

(5)

1.2 近似熵、樣本熵、模糊熵和K熵

近似熵用來描述某時(shí)間序列的復(fù)雜性,越復(fù)雜的時(shí)間序列對應(yīng)的近似熵值越大[12]，其算法也是定義在相空間重構(gòu)理論基礎(chǔ)之上：

(6)

(7)

步驟4然后改變重構(gòu)維數(shù)為m+1，重復(fù)上述過程可得φm+1(r)，就可以得到近似熵

ApEn(m,r)=φm(r)-φm+1(r)

(8)

由于重構(gòu)維數(shù)m和閾值r的選取對于近似熵ApEn的計(jì)算值有較大影響，因此m和r的選取顯得尤為重要，根據(jù)Pincus[13]在其論文中指出，當(dāng)m=2，r=0.1-0.25SD(SD為時(shí)間序列標(biāo)準(zhǔn)差)時(shí)，近似熵值有較好的統(tǒng)計(jì)特性。

樣本熵分析方法只需要較短數(shù)據(jù)就可得出穩(wěn)健的估計(jì)值，是一種具有較好抗噪、抗干擾能力的非線性分析方法[14]，其算法的步驟1和步驟2與近似熵算法的步驟1和步驟2，完全一樣，在完成步驟1和步驟2后，樣本熵計(jì)算步驟3如下

步驟3定義C(m)(r)為

(9)

步驟4增加維數(shù)到m+1,重復(fù)步驟2和步驟3可得

(10)

(11)

步驟5定義樣本熵為

(12)

(13)

然后增加重構(gòu)維數(shù)為m+1，重復(fù)上述計(jì)算過程，可得Φm+1(n,r)，由此可得模糊熵FuzzyEn(m,n,r)，即

lnφm+1(n,r))

(14)

Kolmogorov熵值是非線性特性的度量量之一[16]，是描述非線性系統(tǒng)產(chǎn)生信息量多少和快慢程度的物理量[17]，其算法也是先對原始時(shí)間序列進(jìn)行相空間重構(gòu)得到累計(jì)分布函數(shù)Cm(r)，無標(biāo)度區(qū)內(nèi)系統(tǒng)的Kolmogorov熵為

(15)

2 特征評價(jià)算法

從定性的角度分析很難確定所提取特征樣本的質(zhì)量高低，為了能夠定量地分析特征樣本質(zhì)量，這里采用Fisher準(zhǔn)則方法對所提取的非線性特征進(jìn)行評價(jià)。其中Fisher算法基本思路是針對整個(gè)樣本集中第i個(gè)特征定義Fisher得分Fr為

(16)

3 非線性TWSVM原理

TWSVM比較于傳統(tǒng)的SVM所建立的一個(gè)超平面，TWSVM構(gòu)建了兩個(gè)非平行的超平面，并使正類樣本靠近正類超平面而負(fù)類樣本盡可能地遠(yuǎn)離，使負(fù)類樣本靠近負(fù)類超平面而正類樣本盡可能遠(yuǎn)離，如圖1所示。TWSVM將SVM的一個(gè)計(jì)算量大而復(fù)雜的二次規(guī)劃問題轉(zhuǎn)換為2個(gè)小規(guī)模的二次規(guī)劃問題，減小了計(jì)算復(fù)雜性。由于使用非平行的分類超平面，TWSVM在解決兩類樣本成交叉分布的分類問題時(shí)，具有更強(qiáng)的泛化能力[18]。

(a) SVM(b) TWSVM

圖1 SVM和TWSVM分類模型示意圖

Fig.1 Classification model diagram of SVM and TWSVM

當(dāng)樣本是線性可分時(shí)，用線性的分類器就能夠?qū)︻A(yù)測樣本進(jìn)行分類，并能夠保證其精度，并且計(jì)算量相對較小。當(dāng)樣本是線性不可分時(shí)，用線性的方法來訓(xùn)練分類器要么求不出解，要么得出的分類器測試精度很低。為解決線性不可分的問題，需要利用核函數(shù)將輸入樣本映射到高維特征空間，因?yàn)樵诟呔S特征空間中原來線性不可分的問題就變?yōu)榫€性可分。

非線性TWSVM的算法原理如下：

假設(shè)矩陣A代表第1類樣本集，矩陣B代表第2類樣本集，其中A∈Rm1×n，B∈Rm2×n。m1代表第1類樣本數(shù)，m2代表第2類樣本數(shù)，n代表特征向量維數(shù)?，F(xiàn)在引入Mercer核函數(shù)，K(xi,xj)=φ(xi)Tφ(xi)。那么非線性的TWSVM的2個(gè)二次規(guī)劃問題可以表示為TWSVM1和TWSVM2，即

TWSVM1

s.t. -(K(B,CT)u(1)+e2b(1))+ζ≥e2

ζ≥0

(17)

TWSVM2

s.t. (K(A,CT)u(2)+e1b(2))+η≥e1

η≥0

(18)

針對TWSVM1和TWSVM2二次規(guī)劃問題，采用拉格朗日法求解，可得TWSVM1和TWSVM2的對偶問題分別為式(19)和式(21)，具體推導(dǎo)過程可參考。

TWSVM1

s.t. 0≤α≤c1

(19)

式中：向量α=(α1,α2,…,αm2)T，G=[K(B,CT)e2]；H=[K(A,CT)e1]，其余變量之前已定義。

從TWSVM1的對偶問題的推導(dǎo)中可以得出

(20)

TWSVM2

s.t. 0≤γ≤c2

(21)

式中：γ=(γ1,γ2,…,γm1)T；P=[K(A,CT)e1]；Q=[K(B,CT)e2]。

從TWSVM2的對偶問題的推導(dǎo)中可以得出

(22)

只要求得了u(1)，u(2)，b(1)，b(2)，那么就可以求出分類所需要的兩個(gè)超平面

K(X,CT)u(1)+b(1)=0

K(X,CT)u(2)+b(2)=0

(23)

最終判別公式為

(24)

4 實(shí)驗(yàn)研究

為了研究齒輪箱振動(dòng)信號在非線性測度下的TWSVM辨識性能。本文選取由布魯塞爾自由大學(xué)提供的不同狀態(tài)類別的齒輪箱振動(dòng)信號。其一共有5種故障類型和1種正常狀態(tài)，共6種標(biāo)簽類型，分別為局部磨損，全面磨損，輕微剝落，中度剝落，深度剝落和正常。分別讀取這6種標(biāo)簽下的振動(dòng)信號，得到其時(shí)域波形，并對時(shí)域信號進(jìn)行FFT變換得到其對應(yīng)的頻譜，如圖2所示。

圖2(a)中各小圖分別對應(yīng)標(biāo)簽為局部磨損，全面磨損，輕微剝落，中度剝落，深度剝落和正常的時(shí)域波形，圖2(b)中各小圖分別為局部磨損，全面磨損，輕微剝落，中度剝落，深度剝落和正常的幅值譜。時(shí)域波形僅從肉眼只能看出每種標(biāo)簽下的振動(dòng)信號都是包含著噪聲和調(diào)制的復(fù)雜信號，但是齒輪箱中的齒輪在實(shí)際運(yùn)轉(zhuǎn)過程中它會受到驅(qū)動(dòng)力，彈性力和阻尼等因素的影響，另外齒輪嚙合過程中摩擦力的變化、轉(zhuǎn)速不穩(wěn)定及其可能的突變性和輪齒的碰撞等會使得當(dāng)齒輪出現(xiàn)故障時(shí)整個(gè)齒輪箱系統(tǒng)產(chǎn)生非線性振動(dòng)，因此所測得的齒輪箱故障振動(dòng)信號一般會表現(xiàn)出非線性和非平穩(wěn)的特征。傳統(tǒng)的時(shí)域和頻域分析法很難從非線性振動(dòng)信號中提取有效的狀態(tài)特征，比如從圖2中不能很明顯地看到能夠反映狀態(tài)類別的特征信息。因此如果采用線性的方法來對信號提取特征，必然會丟失信號的非線性成分，那么采用非線性測度方法來對時(shí)域信號提取特征就顯得尤為重要。

針對數(shù)據(jù)樣本的6種標(biāo)簽，每類標(biāo)簽選取30個(gè)樣本，每個(gè)樣本截取1 024個(gè)點(diǎn)，一共構(gòu)成180個(gè)數(shù)據(jù)樣本，組成維數(shù)為1 024×180的數(shù)據(jù)樣本矩陣。

分別對180個(gè)數(shù)據(jù)樣本中的每個(gè)樣本提取特征，每個(gè)樣本共提取6個(gè)特征，要提取的特征分別為關(guān)聯(lián)維數(shù)、盒維數(shù)、近似熵、模糊熵、樣本熵和K熵。由此組成維數(shù)為6×180的特征矩陣并歸一化處理，根據(jù)整體樣本集中不同特征值隨類別標(biāo)簽變化的統(tǒng)計(jì)規(guī)律及趨勢選擇了其中部分特征向量值得到如表1所示數(shù)據(jù)。從表1可以看出所選擇的6個(gè)特征算法所得到特征值對故障類別較為敏感，并且隨著故障程度的加深呈現(xiàn)出一致性的規(guī)律，如正常狀態(tài)即無故障振動(dòng)信號的特征值最小(即負(fù)得相對最多)，在同種故障類型下，局部磨損和全面磨損相比，局部磨損的特征值要小于全面磨損；輕微剝落，中度剝落和深度剝落相比，輕微剝落的特征值要小于中度剝落的特征值，中度剝落的特征值要小于深度剝落的特征值?？偨Y(jié)起來就是故障程度越小其振動(dòng)信號的混沌特性越不明顯因而特征值越小，而故障程度越大其振動(dòng)信號的混沌特性也就越明顯因而特征值相對較大。為了能夠定量地對特征值進(jìn)行評價(jià)，本文選用Fisher得分算法來對特征進(jìn)行打分，對原特征矩陣進(jìn)行歸一化處理后，將特征矩陣輸入到Fisher函數(shù)中，得到其結(jié)果如表2所示。

表1 部分特征向量參數(shù)

表2 Fisher算法打分結(jié)果

從表2中可以看出，K熵的得分最高，盒維數(shù)的得分相對較低，其他特征的得分處于這兩者之間，為了更為直觀地觀察特征樣本集在空間中的分布，將這6個(gè)特征中每3個(gè)特征一個(gè)組合，一共選取4個(gè)組合來分析特征的聚類程度，從圖3中可以看出各種狀態(tài)類別的特征值在空間中呈現(xiàn)出一定的聚集狀態(tài)，呈塊狀或者云狀分布。但是深入觀察可以發(fā)現(xiàn)圖3(a)～圖3(d)中不同故障類別的特征值樣本之間任有一些重疊，那是因?yàn)獒槍Σ煌瑺顟B(tài)類別只選取了3個(gè)維度的特征值，在添加了剩余的特征維度之后，特征向量將被映射到更高維的空間中，其特聚類性將更加明顯。綜上所述，采用非線性特征方法能夠有效提取齒輪箱狀態(tài)特征。

(a)(b)(c)(d)

圖3 3個(gè)特征值維度下的特征聚類分析

Fig.3 Clustering analysis of features based on three characteristic value

在每類標(biāo)簽30個(gè)樣本中選定訓(xùn)練樣本和測試樣本的比例，為了比較不同訓(xùn)練樣本的比例對TWSVM算法分類精度的影響，本文選擇訓(xùn)練樣本的比例分別為30～90%，剩下的作為測試樣本集。

針對一共6類標(biāo)簽類型以及所確定的訓(xùn)練樣本和測試樣本的比例，隨機(jī)抽取樣本，以10折交叉檢驗(yàn)的方法避免偶然性誤差。表3給出了TWSVM在不同的訓(xùn)練和測試樣本比例情況下的識別性能。

從表3可以看出TWSVM的訓(xùn)練準(zhǔn)確率能夠達(dá)到97.22%以上，并且隨著訓(xùn)練樣本比例的增加其準(zhǔn)確率呈上升趨勢，當(dāng)訓(xùn)練樣本比例為90%時(shí)，其準(zhǔn)確率達(dá)到100%，這足以說明基于非線性特征測度的TWSVM有很高的分類準(zhǔn)確率。

表3TWSVM在不同訓(xùn)練、測試樣本數(shù)情況下識別性能

Tab.3RecognitionperformanceofTWSVMbasedondifferenttrainingandtestsamples

樣本比例/%總訓(xùn)練樣本數(shù)總測試樣本數(shù)正確分類樣本(10)次平均準(zhǔn)確率/%3054126122597.224072108106098.1550909088998.78601087271198.75701265453498.89801443635999.729016218180100.00

為了體現(xiàn)TWSVM分類方法的優(yōu)勢，在同等條件下將TWSVM與SVM和BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行對比，如圖4所示。從圖4中可以看出，TWSVM、SVM和BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)3種算法的分類準(zhǔn)確率都隨著訓(xùn)練樣本的增加而整體呈上升趨勢，但是TWSVM算法隨著訓(xùn)練樣本比例的增加其準(zhǔn)確率呈現(xiàn)較為均衡的上升趨勢，而SVM和BP算法其準(zhǔn)確率的波動(dòng)性較大，特別是BP方法，當(dāng)訓(xùn)練樣本比例為60%和90%時(shí)其準(zhǔn)確率有較大幅度的降低。

圖4 TWSVM，SVM和BP分類準(zhǔn)確率對比

特別地，當(dāng)訓(xùn)練樣本比例從30%一直上升到90%時(shí)，TWSVM算法的平均準(zhǔn)確率整體上一直都高于SVM和BP算法，因此從整體上可以看出TWSVM算法要優(yōu)于SVM和BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)。另外值得注意的是本文不管是采用TWSVM還是SVM來分類，均采用的是偏二叉樹方法來實(shí)現(xiàn)多分類目標(biāo)，而偏二叉樹方法必然會產(chǎn)生訓(xùn)練樣本不均衡性問題，因此從試驗(yàn)結(jié)果可以看出TWSVM比SVM具有更高的樣本不均衡適應(yīng)性。

5 結(jié) 論

由于齒輪的振動(dòng)一般是非線性的，因此對其振動(dòng)信號提取特征需采用非線性特征測度的方法。本文選取了關(guān)聯(lián)維數(shù)、盒維數(shù)、近似熵、模糊熵，樣本熵和K熵，這6個(gè)非線性特征參數(shù)來對帶有局部磨損、全面磨損、輕微剝落、中度剝落、深度剝落和正常這6狀態(tài)類型的齒輪箱振動(dòng)信號進(jìn)行特征提取。并用Fisher得分算法對特征進(jìn)行打分，另外用特征云圖的方法對特征的聚類性進(jìn)行直觀地描述。另外為了體現(xiàn)出TWSVM算法的優(yōu)越性，將其與BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和SVM算法的分類精度進(jìn)行對比，可以得出如下結(jié)論：

(1)采用非線性特征測度方法對齒輪箱振動(dòng)信號進(jìn)行狀態(tài)類別分析，能夠更加準(zhǔn)確地辨識出齒輪箱工作狀態(tài)，有助于后期構(gòu)建準(zhǔn)確的分類模型。

(2)采用TWSVM作為分類模型，以所提取的非線性特征集作為訓(xùn)練和測試樣本集，得到在不同訓(xùn)練樣本比例下的整體識別精度可以達(dá)到97.22%以上，訓(xùn)練樣本比例越高準(zhǔn)確率越高。在同等條件下TWSVM模型分類準(zhǔn)確率整體上要高于BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和SVM，并且TWSVM具有更高的樣本不均衡適應(yīng)性。