黎 瑩， 張之穎， 魏洪楊

(1. 西安交通大學(xué) 城市學(xué)院，西安 710018；2. 西安交通大學(xué) 人居環(huán)境與建筑工程學(xué)院，西安 710049)

在多自由度體系動(dòng)力分析中，根據(jù)體系整體耗能模式的不同，可以分為經(jīng)典阻尼體系與非經(jīng)典阻尼體系[1]。經(jīng)典阻尼體系[2]具有協(xié)調(diào)一致的耗能特性，振動(dòng)過程中體系各點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)保持連續(xù)一致，運(yùn)動(dòng)方程可采用振型疊加等算法進(jìn)行分析，其動(dòng)力問題不僅求解簡單，而且具有明確的物理意義；而非經(jīng)典阻尼體系[3]，體系內(nèi)部運(yùn)動(dòng)狀態(tài)難成連續(xù)一致，其正則主模態(tài)空間中運(yùn)動(dòng)方程耦合，沒有傳統(tǒng)概念上的所謂“振型”，運(yùn)動(dòng)方程無法采用振型疊加法求解，動(dòng)力分析過程往往比較復(fù)雜或存在一定難度。

阻尼體系類別判斷是結(jié)構(gòu)動(dòng)力分析方法擇取的基礎(chǔ)，阻尼體系性質(zhì)不同，動(dòng)力分析方法存在很大差異，計(jì)算結(jié)果也會(huì)出現(xiàn)較大出入。但迄今為止，關(guān)于阻尼體系的判定，缺乏明確的工程界定標(biāo)準(zhǔn)，其判定方法十分粗淺，致使動(dòng)力分析方法的擇取亦十分模糊。目前針對(duì)工程阻尼體系的判斷，多以體系材料阻尼特性為判斷基礎(chǔ)，一般將阻尼特性均勻一致的體系判斷為經(jīng)典阻尼體系；而由多種材料組成的體系，如土-結(jié)構(gòu)相互作用體系[4-6]、鋼-混凝土組合結(jié)構(gòu)體系[7]等，常被認(rèn)為是非經(jīng)典阻尼體系。然這種建立在材性上的粗淺判定方法，與實(shí)際現(xiàn)象并不完全相符，如復(fù)合材料領(lǐng)域中的共固化復(fù)合材料結(jié)構(gòu)[8]，是典型的由多種材料組成的結(jié)構(gòu)體系，工程實(shí)踐表明，在結(jié)合性能完好條件下，按經(jīng)典阻尼體系的動(dòng)力分析結(jié)果，將與實(shí)驗(yàn)結(jié)果能夠較好吻合；又如軟土地基上的土-結(jié)構(gòu)相互作用(Soil-Structure Interaction，SSI)體系，雖其組成部分的材性差別較大，但同濟(jì)大學(xué)的振動(dòng)臺(tái)實(shí)測結(jié)果并沒有反映出十分明顯的非經(jīng)典阻尼特性[9]。這說明，以材性為依據(jù)的阻尼體系的粗淺認(rèn)知觀點(diǎn)與工程實(shí)際存在著出入，這種僅建立在材性上的粗淺判定方法缺乏深入實(shí)際的基礎(chǔ)性研究，也啟示著開展阻尼體系判別方法的實(shí)質(zhì)性基礎(chǔ)研究的必要性。

1 不同阻尼體系的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)研究

經(jīng)典、非經(jīng)典阻尼體系的差異與其運(yùn)動(dòng)狀態(tài)存在著直接關(guān)系，運(yùn)動(dòng)狀態(tài)是阻尼體系最基礎(chǔ)的表達(dá)方式。為了深入研究阻尼體系的基本界定方法，本文以相應(yīng)的動(dòng)力分析方法為切入點(diǎn)，來討論不同阻尼體系運(yùn)動(dòng)狀態(tài)上的差別。

所謂“運(yùn)動(dòng)狀態(tài)”，是用于描述動(dòng)力系統(tǒng)各點(diǎn)的位移、速度與加速度隨時(shí)間的變化軌則，也可看作以一組流形的幾何空間坐標(biāo)來描述未來狀態(tài)如何隨當(dāng)前狀態(tài)的變化。

在狀態(tài)空間表達(dá)方法中，一點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)是以速度與位移為坐標(biāo)進(jìn)行描述，一點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)連續(xù)，即要求該點(diǎn)的位移和速度連續(xù)，表現(xiàn)為該點(diǎn)的加速度存在。其加速度可表示為

(1)

由式(1)知，若一點(diǎn)加速度存在，則不僅要求其速度存在，即該點(diǎn)的位移-時(shí)間函數(shù)曲線須光滑連續(xù)，而且速度關(guān)于位移的導(dǎo)數(shù)存在，即其該點(diǎn)的速度-位移函數(shù)曲線也須光滑連續(xù)。

同理，若一個(gè)體系的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)連續(xù)，則在任意時(shí)刻，該體系各點(diǎn)速度存在，且各點(diǎn)速度函數(shù)關(guān)于自身位置坐標(biāo)光滑連續(xù)。

常用黏滯阻尼模型下，一個(gè)體系的運(yùn)動(dòng)可由動(dòng)力學(xué)方程描述為

[K]{u(x,t)}={p(x,t)}

(2)

對(duì)于式(2)的運(yùn)動(dòng)求解來說，采用經(jīng)典與非經(jīng)典阻尼體系動(dòng)力分析方法的主要差異，關(guān)鍵在于其動(dòng)力學(xué)方程能否解耦。若運(yùn)動(dòng)方程可以解耦，則其運(yùn)動(dòng)可由若干階解耦模態(tài)的線性組合表示。而任意一階解耦模態(tài)，是按體系有唯一撓曲形狀的假定所求得。若令該模態(tài)下的撓曲線為形狀函數(shù)，模態(tài)運(yùn)動(dòng)的基準(zhǔn)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)用廣義坐標(biāo)表示，則其任意一階的解耦模態(tài)運(yùn)動(dòng)可由形狀函數(shù)和廣義坐標(biāo)表達(dá)為

(3)

當(dāng)運(yùn)動(dòng)呈現(xiàn)非經(jīng)典阻尼體系時(shí)，由上推論可得，體系運(yùn)動(dòng)狀態(tài)將出現(xiàn)下列任意一項(xiàng)：

(1) 任意時(shí)刻，體系的模態(tài)形狀函數(shù)關(guān)于x不連續(xù)；

(2) 體系中存在一點(diǎn)的模態(tài)速度函數(shù)曲線關(guān)于時(shí)間t不光滑或不連續(xù)。

2 阻尼體系判別的工程實(shí)例

工程中多樣化的結(jié)構(gòu)體系，在不同動(dòng)力作用下的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)往往并不相同，要判別動(dòng)力作用下各類結(jié)構(gòu)的阻尼體系類型，可具體分析其運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。

下面以三個(gè)工程實(shí)例來討論體系運(yùn)動(dòng)狀態(tài)連續(xù)性與阻尼體系之間的關(guān)系。

2.1 黏滑運(yùn)動(dòng)現(xiàn)象

工程中廣泛存在黏滑運(yùn)動(dòng)現(xiàn)象，黏滑運(yùn)動(dòng)是指，在一定條件下，體系內(nèi)部的兩接觸面出現(xiàn)相對(duì)靜止或滑動(dòng)兩種運(yùn)動(dòng)狀態(tài)[10]。如圖1所示的具有滑移隔震系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)，在地震作用下的運(yùn)動(dòng)形式也可簡化為該種類型。當(dāng)滑移隔震支座發(fā)揮作用時(shí)，體系為非經(jīng)典阻尼體系。本文從運(yùn)動(dòng)狀態(tài)來分析出現(xiàn)這類現(xiàn)象的阻尼體系。

圖1 摩擦滑移支座隔震系統(tǒng)

動(dòng)力作用下，由于兩部分各自的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)具有經(jīng)典阻尼體系特性，即各自運(yùn)動(dòng)均可由相應(yīng)的形狀函數(shù)和廣義坐標(biāo)表示。取m1底部為坐標(biāo)原點(diǎn)來考察體系的阻尼特性，設(shè)兩部分第i階形狀函數(shù)分別為φ1i(x),(x∈(0,l1))和φ2i(x),(x∈(l1,l1+l2))，t時(shí)刻m1和m2的廣義坐標(biāo)分別為z1i(t)及z2i(t)，則兩者的模態(tài)位移可以分別表達(dá)為

u1i(x,t)=φ1i(x)z1i(t)

(4)

u2i(x,t)=φ2i(x)z2i(t)

(5)

式中：u1i(x,t)，u2i(x,t)分別為m1,m2兩部分t時(shí)刻的第i階模態(tài)位移。

(a) 黏滯運(yùn)動(dòng)(b) 滑移運(yùn)動(dòng)

圖2 體系黏滑運(yùn)動(dòng)示意圖

Fig.2 Schematic diagram of stick-slip motion

(1)當(dāng)黏滯運(yùn)動(dòng)時(shí)，如圖2(a)，體系在交界面上運(yùn)動(dòng)連續(xù)，即任意t時(shí)刻，兩者交界面處的第i階模態(tài)位移、速度和加速度相等，即

(6)

(7)

令

(8)

有

z2i(t)=Ψiz1i(t)

(9)

整個(gè)體系第i階模態(tài)位移可以表達(dá)為

(10)

令

(11)

式中：φi(x)為分段函數(shù)。由式(8)知

φi(l1)=Ψiφ2i(l1)

(12)

由于該函數(shù)在分界點(diǎn)處連續(xù)，則體系的第i階模態(tài)運(yùn)動(dòng)可表達(dá)為

(13)

(2)當(dāng)體系在交界面上出現(xiàn)滑移時(shí)，如圖2(b)，即運(yùn)動(dòng)位移在交界面上不連續(xù)，雖其兩部分各自仍可假設(shè)具有經(jīng)典阻尼特性，各自模態(tài)位移仍可由式(4)、式(5)表達(dá)，但由于滑移存在，兩者位移在界面處不連續(xù)，交界處必有模態(tài)位移差存在，設(shè)交界處某階模態(tài)位移差為Δi(t)，則

φ1i(l1)z1i(t)=φ2i(l1)z2i(t)+Δi(t)

(14)

(15)

則體系上下部分的模態(tài)位移

(16)

即斷層在滑移運(yùn)動(dòng)情況下，形狀函數(shù)φi(x)不連續(xù)，不滿足式(3)經(jīng)典阻尼體系的充要條件，體系不再具有解耦模態(tài)，為非經(jīng)典阻尼體系。

2.2 鞭梢效應(yīng)現(xiàn)象

鞭梢效應(yīng)是指在地震作用下，高層建筑或其它建(構(gòu))筑物頂部細(xì)長突出部分振幅劇烈增大的現(xiàn)象[11]。閆祥梅等[12]發(fā)現(xiàn)，對(duì)于頂部有突出物的高聳結(jié)構(gòu)，由于沿高度方向剛度和質(zhì)量分布不均，尤其是下部主體與突出部分剛度和質(zhì)量突變處，當(dāng)遭遇大風(fēng)等動(dòng)荷載時(shí)，極易出現(xiàn)鞭梢效應(yīng)。研究[13-14]發(fā)現(xiàn)，結(jié)構(gòu)受風(fēng)振時(shí)，突出部分的振動(dòng)反應(yīng)有時(shí)可以是主體結(jié)構(gòu)的數(shù)十倍甚至更高，這是由于鞭梢效應(yīng)的影響使得結(jié)構(gòu)頂點(diǎn)的位移大幅度增加。本文從運(yùn)動(dòng)狀態(tài)來分析這類現(xiàn)象的阻尼體系。

建立鞭梢效應(yīng)的分析模型如圖3所示。

體系由兩部分連續(xù)質(zhì)量m1(x)和m2(x)組成，且上部分m2的質(zhì)量和剛度明顯小于下部分m1的質(zhì)量和剛度。設(shè)兩部分單獨(dú)運(yùn)動(dòng)特性具有經(jīng)典阻尼體系特性，又其體系在連接處黏結(jié)強(qiáng)度足夠，振動(dòng)過程中位移在變截面上下位置處可保持連續(xù)，不會(huì)出現(xiàn)滑移運(yùn)動(dòng)。由3.1可知，若該體系仍可假設(shè)具有連續(xù)的形狀函數(shù)和廣義坐標(biāo)，則模態(tài)運(yùn)動(dòng)位移可由式(17)表達(dá)

ui(x,t)=φi(x)z1i(t)

(17)

圖3 頂部有突出物的高層建筑模型

其中，

(18)

然而，賈水鐘[15]分別用SAP2000和ABAQUS對(duì)常州現(xiàn)代傳媒中心一主塔高度245 m、其上有88 m高鋼結(jié)構(gòu)發(fā)射塔的高聳結(jié)構(gòu)，進(jìn)行了常遇地震和罕遇地震兩種工況下的時(shí)程分析，得到其彈性和彈塑性時(shí)程分析下的層間位移角分別如圖4和圖5所示，其中主塔高度58層，故58層以下變形為主塔變形，58層之上為發(fā)射塔變形。不同工況下的研究結(jié)果均表明，該體系出現(xiàn)了明顯的鞭梢效應(yīng)，頂部細(xì)小突出部分的振動(dòng)位移突變增大。

圖4 鞭梢現(xiàn)象彈性時(shí)程分析

圖5 鞭梢現(xiàn)象彈塑性時(shí)程分析

因?qū)娱g位移為層間位移角與層高之積，故層間位移與層間位移角變化趨勢相同。由圖4和圖5變化趨勢可以看出，體系的層間位移曲線在主塔與發(fā)射塔相連部分出現(xiàn)明顯拐點(diǎn)，最大層間位移發(fā)生在主塔與發(fā)射塔相連處。

為了進(jìn)一步考察鞭梢現(xiàn)象，本文項(xiàng)目組針對(duì)頂部帶塔樓的結(jié)構(gòu)體系進(jìn)行了振動(dòng)臺(tái)試驗(yàn)，試驗(yàn)過程中，塔樓與主體結(jié)構(gòu)保持接觸面位移連續(xù)，試驗(yàn)?zāi)Ｐ腿鐖D6所示。

圖6 振動(dòng)臺(tái)模型試驗(yàn)

圖7(a)和圖7(b)分別給出了不同地震等級(jí)下，塔樓與主體結(jié)構(gòu)各層的位移響應(yīng)時(shí)程。

(a) 小震下 (臺(tái)面輸入加速度0.125g)

(b) 大震下 (臺(tái)面輸入加速度0.75g)

由圖7知，在小震下，塔樓和主體結(jié)構(gòu)基本能同時(shí)達(dá)到最大位移，運(yùn)動(dòng)保持協(xié)同一致；而在大震時(shí)，雖然塔樓和主體結(jié)構(gòu)兩部分能各自保持較好的協(xié)同運(yùn)動(dòng)，但體系整體運(yùn)動(dòng)步調(diào)不再協(xié)同一致。

現(xiàn)分別提取不同地震量級(jí)下，主體結(jié)構(gòu)和塔樓頂層的速度響應(yīng)時(shí)程曲線，如圖8所示。

(a) 小震下 (臺(tái)面輸入加速度0.125g)

(b) 大震下 (臺(tái)面輸入加速度0.75g)

圖7和圖8結(jié)果表明，當(dāng)振動(dòng)量級(jí)較小時(shí)，塔樓頂部最大位移為主體頂部最大位移的2.27倍，如圖7(a)所示，塔樓頂最大速度為主體結(jié)構(gòu)的2.32倍, 如圖8(a)所示，由鞭梢效應(yīng)定義，體系未出現(xiàn)鞭梢效應(yīng)，此時(shí)塔樓和主體結(jié)構(gòu)各層測點(diǎn)基本同時(shí)達(dá)到最大位移，上下兩部分運(yùn)動(dòng)協(xié)同一致。當(dāng)振動(dòng)量級(jí)較大，塔樓頂部達(dá)到峰值位移時(shí)，塔頂位移為主體頂位移的7.35倍，如圖7(b)所示，而塔樓頂峰值速度為同時(shí)刻主體結(jié)構(gòu)的15.21倍，如圖8(b)所示，體系出現(xiàn)鞭梢效應(yīng)。此時(shí)塔樓與主體結(jié)構(gòu)各層測點(diǎn)不能同時(shí)達(dá)到最大位移，且塔樓和主體結(jié)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)不再協(xié)調(diào)。

這一現(xiàn)象表明，若體系未發(fā)生鞭梢效應(yīng)，其運(yùn)動(dòng)存在模態(tài)，任意一階的解耦模態(tài)可由式(3)表達(dá)為連續(xù)的形狀函數(shù)和統(tǒng)一的廣義坐標(biāo)乘積的形式，整體運(yùn)動(dòng)協(xié)調(diào)一致。

當(dāng)發(fā)生鞭梢效應(yīng)時(shí)，上下兩部分的振動(dòng)頻率不再相同，表現(xiàn)在模態(tài)上，必存在一階或幾階模態(tài)運(yùn)動(dòng)的廣義坐標(biāo)不同，即

z1i≠z2i

(19)

式中：z1i,z2i分別為主體結(jié)構(gòu)和塔樓的第i階廣義坐標(biāo)。

此時(shí)，雖然連接位置處的位移、速度、加速度均連續(xù)，但塔樓部分第i階模態(tài)運(yùn)動(dòng)不再能由主體結(jié)構(gòu)模態(tài)運(yùn)動(dòng)的廣義坐標(biāo)z1i(t)表示，即

(20)

現(xiàn)分析發(fā)生鞭梢效應(yīng)時(shí)界面處的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，由于界面處黏結(jié)強(qiáng)度足夠，不會(huì)出現(xiàn)滑移現(xiàn)象，因而界面上下位置處的運(yùn)動(dòng)位移連續(xù)，而界面以上部分速度不再符合主體結(jié)構(gòu)的速度變化規(guī)律，即

(21)

由于在接觸面處形狀函數(shù)連續(xù)，故廣義速度在接觸面處不能相等

(22)

2.3 半主動(dòng)控制中的加速度放大效應(yīng)

半主動(dòng)控制[16-17]指控制力隨體系運(yùn)動(dòng)而被動(dòng)產(chǎn)生，其控制裝置大多為各類可調(diào)節(jié)阻尼器，控制過程中，控制力可利用外加能源主動(dòng)改變大小，從而調(diào)整體系動(dòng)力響應(yīng)。半主動(dòng)控制以其控制效果接近于主動(dòng)控制而僅需極小能源的優(yōu)點(diǎn)成為近年來振動(dòng)控制研究的熱點(diǎn)之一[18]。本文為分析方便，取圖9所示半主動(dòng)控制結(jié)構(gòu)討論，其A，B，E，F(xiàn)處與地面采用滑動(dòng)支座連接，C，D與地面采用固定支座連接。亓興軍等研究發(fā)現(xiàn)，在地震作用下，當(dāng)半主動(dòng)控制阻尼器設(shè)置在體系的非剛性支座處(圖9中的A，B，E，F(xiàn)處)時(shí)，在縱向地震作用下，阻尼器附近局部位置的加速度會(huì)產(chǎn)生如圖10所示的“針尖”放大效應(yīng)，即加速度突變，而位移和彎矩卻未出現(xiàn)明顯的突變；當(dāng)阻尼器設(shè)置在體系剛性連接處(C，D處)時(shí)，該放大效應(yīng)不會(huì)出現(xiàn)。此外，香港理工大學(xué)Chau等[19]研究發(fā)現(xiàn)，動(dòng)力作用下，樁土間可能出現(xiàn)間隙，如圖11所示，并在后續(xù)運(yùn)動(dòng)中發(fā)生碰撞。且實(shí)測發(fā)現(xiàn)，樁體的加速度時(shí)程曲線在碰撞瞬間也會(huì)出現(xiàn)“針尖”放大效應(yīng)，如圖12(其中：ap為樁體的加速度；as為樁周土體的加速度)。這兩類工程現(xiàn)象都被判定為非經(jīng)典阻尼體系[20]。其共同特點(diǎn)是，在體系運(yùn)動(dòng)過程中，主體結(jié)構(gòu)均突然受到來自外界的力的作用，加速度在時(shí)程曲線上呈現(xiàn)突變。

圖9 半主動(dòng)控制結(jié)構(gòu)體系簡化模型

Fig.9 Simplified model with semi-active controlling system

圖10 加速度 “針尖”放大效應(yīng)

圖11 土-樁碰撞實(shí)地照片

(a)(b)

圖12 樁體加速度“針尖”放大效應(yīng)

Fig.12 Pinpoint-like acceleration magnified effect of the pillar

設(shè)半主動(dòng)控制阻尼器設(shè)置在非剛性支座處用以調(diào)節(jié)體系的運(yùn)動(dòng)。在阻尼器發(fā)生作用之前，該體系為經(jīng)典阻尼體系，其運(yùn)動(dòng)狀態(tài)可由若干模態(tài)的線性組合形式表達(dá)，即體系位移、速度和加速度函數(shù)可表達(dá)為

(23)

在縱向地震作用下，當(dāng)半主動(dòng)控制阻尼器在非剛性支座處發(fā)生作用時(shí)，相當(dāng)于該瞬時(shí)在支座處施加了縱向作用力，而該支座沿縱向并不能提供約束，因而在該力作用瞬間，該部位的局部縱向加速度突然增大。此外，因位移是加速度關(guān)于時(shí)間的二階積分，彎矩是位移關(guān)于長度的二階微分，體系內(nèi)一點(diǎn)加速度突然增加，導(dǎo)致其位移函數(shù)曲線出現(xiàn)拐點(diǎn)，但位移不會(huì)發(fā)生突變，則彎矩也未出現(xiàn)突變。

即對(duì)體系的運(yùn)動(dòng)來說，當(dāng)半主動(dòng)阻尼控制力出現(xiàn)時(shí)，在非剛性支座處加速度發(fā)生突變，即速度函數(shù)出現(xiàn)不光滑，表現(xiàn)在模態(tài)上，加速度函數(shù)已無法表達(dá)為半主動(dòng)控制阻尼器未發(fā)生作用時(shí)的原形狀函數(shù)與廣義坐標(biāo)加速度乘積的線性組合，在非剛性支座處，體系的模態(tài)運(yùn)動(dòng)加速度不相等，即

?

3 結(jié) 論

本文研究表明，運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的連續(xù)與否是經(jīng)典與非經(jīng)典阻尼體系的直接決定因素，形狀函數(shù)連續(xù)和速度光滑連續(xù)，是經(jīng)典阻尼體系的充要條件，非經(jīng)典阻尼體系必將表現(xiàn)在運(yùn)動(dòng)狀態(tài)中某一個(gè)變量發(fā)生突變。在此運(yùn)動(dòng)狀態(tài)連續(xù)性理論研究基礎(chǔ)上，本文分析討論了實(shí)際工程中的地震斷層滑移現(xiàn)象、鞭梢效應(yīng)現(xiàn)象以及半主動(dòng)控制器作用時(shí)，體系的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)及其相應(yīng)的阻尼體系特性，希望能為工程阻尼體系類別的合理判別、合理擇取結(jié)構(gòu)動(dòng)力分析方法提供基礎(chǔ)理論參考。