趙一霖, 劉濟(jì)科, 丁政豪, 呂中榮

(中山大學(xué) 工學(xué)院， 廣州 510006)

結(jié)構(gòu)損傷識別一直是許多學(xué)者關(guān)注的重點(diǎn)問題，對于結(jié)構(gòu)行之有效的檢測可以避免很多事故的發(fā)生[1]。在相關(guān)研究中，許多學(xué)者將結(jié)構(gòu)損傷模型等價(jià)為單元剛度矩陣中楊氏模量的減少[2]，質(zhì)量的改變[3]，以及一種完全開口裂紋的模型[4]等等。但是將單元的損傷同時(shí)歸結(jié)為質(zhì)量和剛度同時(shí)改變的研究較少。另一方面，在損傷程度反演的研究中往往把該問題歸結(jié)為優(yōu)化問題[6-11]，即通過定義一個(gè)關(guān)于損傷結(jié)構(gòu)的目標(biāo)函數(shù)，然后利用各種優(yōu)化方法來實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)參數(shù)的損傷檢測。而利用經(jīng)典的優(yōu)化方法往往需要好的初始值，借助梯度和導(dǎo)數(shù)等信息,所以極大地限制了這些方法的應(yīng)用。在這一方面，群智能算法則可以彌補(bǔ)經(jīng)典優(yōu)化方法的不足。在這一族方法中，樹種算法因?yàn)榉奖銏?zhí)行，尋優(yōu)能力較傳統(tǒng)算法如GA (Genetic Algorithm)，PSO (Particle Swarm Optimization)等算法更強(qiáng)[12],進(jìn)而引起了注意。本文旨在利用嵌入分?jǐn)?shù)維機(jī)制的樹種算法來實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)的質(zhì)量剛度識別。首先引入樹的搜索階段。第二步在標(biāo)準(zhǔn)樹種算法上，引入了兩種更好的搜索模式，進(jìn)而使得算法的局部搜索能力和全局搜索能力得以平衡?；趽p傷結(jié)構(gòu)的加速度響應(yīng)建立損傷識別問題的目標(biāo)函數(shù),利用改進(jìn)后的算法對該目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行求解以獲得損傷參數(shù)的識別。

1 目標(biāo)函數(shù)

在本文中，將結(jié)構(gòu)的損傷歸結(jié)為單元剛度和質(zhì)量的同時(shí)減少，所以可以利用一系列折損系數(shù)αi(i=1,2,…,n)，βi(i=1,2,…,n)來描述。αi=βi=0時(shí)表示結(jié)構(gòu)無損，αi=βi=1時(shí)則表示結(jié)構(gòu)完全破壞。損傷結(jié)構(gòu)的整體剛度和質(zhì)量矩陣又可以表示為

(1)

(2)

(3)

2 改進(jìn)的樹種算法

樹種算法是一種新型的群智能算法。它主要是模仿大樹的繁衍方式來對最優(yōu)解進(jìn)行尋找。對于每一棵樹(可行解)首先會隨機(jī)地產(chǎn)生若干種子，每一顆種子根據(jù)趨勢函數(shù)ST (Search Tendency)來選擇適合自己的搜索模式。然后對原解和若干種子產(chǎn)生的可行解進(jìn)行評估，選擇留下適應(yīng)度更好的解。所以與一般的群智能算法相比(如人工蜂群算法(Artificial Bee Colony， ABC)和螢火蟲算法[13])該算法的局部搜索模式更為劇烈和精細(xì)，所以具備了更好的全局尋優(yōu)能力。關(guān)于樹種算法的詳細(xì)描述可以參考丁政豪等的研究,以下重點(diǎn)介紹樹種算法的改進(jìn)部分，即MTSA (Modified Tree Seed Algorithm)。

2.1 嵌入分?jǐn)?shù)維的初次尋找

參考人工蜂群算法的雇傭蜂搜索，所以擬在標(biāo)準(zhǔn)TSA算法中引入一個(gè)‘樹的搜索’即對初始種群進(jìn)行一個(gè)大致地尋找，然后在進(jìn)行樹種搜索。在這個(gè)階段里面，搜索的初期(迭代剛開始的階段)，為了保證種群的多樣性，采用如下搜索模式

Ti,j(iter+1)=Ti,j(iter)+γi,j×(Ti,j(iter)-

Tr,j(iter))

(4)

式中：iter為當(dāng)前的迭代步數(shù)；Ti,j為第ith棵樹的第jth維變量γi,j是分布于[-1,1]的隨機(jī)數(shù)；Tr,j為種群里面隨機(jī)選擇的第rth棵樹，在經(jīng)過若干次迭代之后，到了迭代后期，則采用嵌入了分?jǐn)?shù)維模型的公式進(jìn)行后期搜索。分?jǐn)?shù)維的定義如下所示

(5)

式中：Dδ[x(t)]為對函數(shù)x(t)求δ階導(dǎo)數(shù)；Γ(·)為伽馬函數(shù)。在本文中，考慮這種模型的前4階的表達(dá)式，由式(5)離散得到迭代后期的搜索模式，如式(6)所示

(2-δ)(3-δ)T(iter-3)+φ1(b-x)+

φ2(g-x)

(6)

式中：φ1(b-x)+φ2(g-x)為離散化的時(shí)候產(chǎn)生的截?cái)嗾`差。在經(jīng)過前期搜索之后，該公式用來執(zhí)行后期的搜索。采用分?jǐn)?shù)維模型是因?yàn)檫@種機(jī)制具有記憶功能，可以發(fā)現(xiàn)在這個(gè)表達(dá)式里頭每一次迭代都是由之前3次迭代的信息共同決定的，所以在迭代后期，由于同化效應(yīng)的影響，算法的收斂速度可以得到改善。

2.2 搜索模式的改進(jìn)

在標(biāo)準(zhǔn)算法中，樹種的全局搜索模式采用了人工蜂群算法中引領(lǐng)蜂的迭代方式

Si,j=Ti,j+γi,j×(Ti,j-Tr,j)

(7)

式中：Si,j為第ith樹繁殖地第ith種子中第jth變量的變異結(jié)果；Tr,j為種群中的另一棵樹的第jth變量；γi,j為一個(gè)位于[-1,1]之間的隨機(jī)數(shù)。由于這種搜索模式側(cè)重于算法的全局搜索，所以應(yīng)該采用更加劇烈的方式來描述，站在這點(diǎn)來看，利用差分進(jìn)化算法中的DE/rand/2/bin變異機(jī)制對待優(yōu)化變量的每一維變量進(jìn)行變異更為合理，而且文獻(xiàn)[14]已經(jīng)明確指出了差分進(jìn)化機(jī)制相較于其他引領(lǐng)蜂搜索機(jī)制而言有更強(qiáng)的全局尋優(yōu)能力，所以擬用式(8)來產(chǎn)生新解

Si,j=Ti1,j+F1·(Ti2,j-Ti3,j)+F2·(Ti4,j-Ti5,j)

(8)

式中：Ti1,Ti2,Ti3,Ti4,Ti5為種群中任意5棵不同的數(shù)；j為待優(yōu)化變量中的任意一維變量)，與原始算法的一維攝動產(chǎn)生新解相比，這種方式可以使得變異更劇烈，更加充分地利用種群的信息，從而使得初始狀態(tài)的搜索著眼于全局搜索，進(jìn)而能夠避免“早熟”。其中F1,F2為縮放因子，一般兩者都取0.5。

2.3 局部尋優(yōu)能力的改善

在原始算法中，樹種的局部搜索方式是圍繞著此次迭代中最好的那一棵樹進(jìn)行鄰域二次探索來實(shí)現(xiàn)的，具體表達(dá)式如式(9)所示

Si,j=Ti,j+γ×(Bj-Tr,j)

(9)

式中：Bj為最好的那棵樹的第jth變量；γ為位于[-1,1]之間的隨機(jī)數(shù)。如果圍繞著最好的可行解周邊進(jìn)行二次探索是非常有利于算法收斂的。為了更好地實(shí)現(xiàn)這個(gè)目的，改進(jìn)算法中擬采用以下方式探索

Si,j=Ti,j+γi,j(Ti,j-Tk,j)+χi,j(Bj-Ti,j)

(10)

式中：γi,j為位于[-1,1]之間的隨機(jī)數(shù)；χi,j為位于[0,1.5]之間的隨機(jī)數(shù)。此種模式的尋優(yōu)不僅利用了最優(yōu)解的信息而且利用了種群中其它可行解的信息[15]，通過兩個(gè)不同范圍的縮放因子可以兼顧收斂速度和全局尋優(yōu)能力。

3 數(shù)值模擬

為了測試算法的有效性，采用了一26桿桁架橋來作為第一個(gè)數(shù)值算例。它的幾何外形如圖1所示，它的楊氏模量為E=2.1×1011Pa,密度ρ=2.7×103kg/m3, 橫截面積為A=10-4m2。 直桿的長度為L=1 m沖擊荷載選擇為6號自由度(4號節(jié)點(diǎn)垂直方向)作用一F=200 N的沖擊荷載；采樣總時(shí)長為0.5 s；無損結(jié)構(gòu)的前3階固有頻率分別為77.71 Hz, 147.57 Hz和257.46 Hz。

圖1 桁架模型

3.1 損傷工況1

假定6號單元損傷15%的楊氏模量，11號單元損傷10%的質(zhì)量參數(shù)。采用New-mark直接積分法得到某些自由度(10 th，12 th 和15 th)的加速度響應(yīng)(如圖2所示)，將這些相應(yīng)數(shù)據(jù)作為輸入，并且采用遺傳算法(GA)進(jìn)行比較。算法參數(shù)設(shè)置如下：初始種群數(shù)量為50，最大迭代次數(shù)設(shè)置為500次；對于遺傳算法，交叉率為0.9，變異率為0.1；每種算法計(jì)算10次，統(tǒng)計(jì)平均值

和標(biāo)準(zhǔn)差。圖3展示了基于三種算法得到的目標(biāo)函數(shù)進(jìn)化曲線，可以明顯地觀察到基于MTSA算法得到的曲線是更接近于0的，這就意味著基于該方法得到的識別結(jié)果是最好的。相較之下，其他算法如GA由于陷入了局部最優(yōu)，所以目標(biāo)函數(shù)值在經(jīng)過200次迭代之后始終維持在102量級,故而完全失效了。更進(jìn)一步，圖4和表1記錄了最終的識別結(jié)果，可以清楚地發(fā)現(xiàn)TSA得到的最大誤差為3.811%，而基于MTSA得到的最大誤差僅為0.077%，這充分表明了MTSA在處理該問題上的優(yōu)越性。

圖2 工況1測點(diǎn)加速度響應(yīng)曲線

圖3 基于各算法得到的目標(biāo)函數(shù)迭代曲線

圖4 工況1的識別結(jié)果

Fig.4 Identified result of case 1

3.2 損傷工況2

第二種情況考慮多點(diǎn)損傷，即假定6號，11號和16號單元存在5%楊氏模量的折損，11號單元存在10%的質(zhì)量折損，因?yàn)镚A算法在算例1中已經(jīng)失效，所以此情況下只有TSA和MTSA算法用來計(jì)算結(jié)構(gòu)損傷。為了測試噪聲[16-17]對算法的影響，10%的白噪聲加入到了加速度響應(yīng)數(shù)據(jù)。圖5展示了基于改進(jìn)算法得到的折損因子的迭代曲線，經(jīng)過100次左右的迭代，算法收斂到了預(yù)設(shè)值附近。圖6和表1展示了最終的識別結(jié)果，可以清楚地發(fā)現(xiàn)，即便是運(yùn)用被污染的響應(yīng)數(shù)據(jù)，MTSA對于剛度參數(shù)，得到的最大識別誤差為1.76%；對于質(zhì)量參數(shù)得到的誤差也僅為1.065%；同時(shí)就標(biāo)準(zhǔn)差而言，MTSA得到的值也是最小的，這充分說明了算法的穩(wěn)定性和穩(wěn)健性。

圖5 基于改進(jìn)TSA得到的折損因子的迭代曲線(工況2)

圖6 工況2的識別結(jié)果

表1 桁架結(jié)構(gòu)的識別結(jié)果

4 結(jié) 論

本文采用分?jǐn)?shù)維機(jī)制改進(jìn)樹種算法，并且引入了兩個(gè)全新的迭代方式，進(jìn)而使得算法的全局尋優(yōu)能力和局部尋優(yōu)能力得以平衡。在損傷模型方面，將結(jié)構(gòu)的損傷歸結(jié)為質(zhì)量和剛度的同時(shí)變化。采用加速度響應(yīng)作為目標(biāo)函數(shù)，以一個(gè)26單元的桁架結(jié)構(gòu)作為數(shù)值算例，最終結(jié)果表明MTSA在響應(yīng)數(shù)據(jù)被高等級噪聲污染的情況下，仍然可以得到較好的識別結(jié)果。