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(大連海事大學(xué) 航海學(xué)院,遼寧 大連 116026)
在船舶拋錨安全研究和應(yīng)急拋錨對海底管線損害分析時,時常要計算錨在水中的下落速度。錨下落速度大小與水阻力有關(guān),而水阻力與錨下落擋水面積,也就是錨在水平面上的投影面積成正比[1]。然而該面積數(shù)據(jù)不易獲知。目前的解決辦法主要有以下幾種:①將錨簡化成等效球體來計算水阻力[2-3],避開了錨投影面積問題,但計算精度難以保證;②采用某只錨的投影面積數(shù)據(jù)[4-5],僅限于具體問題,不具有普適性;③用包圍錨冠的長方形面積來代替錨投影面積[6],方法簡單,但對于霍爾錨來說計算結(jié)果偏大;④用錨重多項式擬合公式來計算霍爾錨投影面積[7-8],適用范圍窄。目前對船用錨水平面投影面積還缺乏有效的通用計算方法。鑒于這種情況,從船用錨錨冠尺寸著手,運用解析幾何方法作詳細計算,在此基礎(chǔ)上擬合出投影面積與錨重的關(guān)系式。選擇AC-14錨、Spek(斯貝克)錨、JIS(日本無桿)錨和Hall(霍爾)錨,AC-14錨是行業(yè)公認的性能優(yōu)良的船用大抓力錨,在大型商船上廣泛采用。其他3種錨為普通無桿錨,多應(yīng)用于中小型船舶。
錨在水中下落時的水阻力為[1]
(1)
式中:Cw為無因次系數(shù);ρw水的密度;V錨下落速度;S為錨下落時在水平面上的投影面積,該面積不是常見的錨參數(shù),故在使用式(1)時略感不便。
選取4種船用錨見圖1。
圖1 4種船用錨外觀
各主要航運國家都有該錨的標(biāo)準(zhǔn)尺寸,彼此之間主尺度略有差別,例如,英國、挪威和日本的標(biāo)準(zhǔn)尺寸相同,比中國[9]和荷蘭的標(biāo)準(zhǔn)尺寸略小一點,但同一重量級別的投影面積差別不大。采用日本工業(yè)標(biāo)準(zhǔn)尺寸,錨冠水平投影輪廓見圖2。
圖2 AC-14錨錨冠水平投影輪廓
根據(jù)圖2,AC-14錨水平投影面積S1為
S1=LB+2L1t-(4-π)R2
(2)
標(biāo)準(zhǔn)里給出了L、B、L1、t和t1的尺寸,根據(jù)設(shè)計圖取R≈2t1,t1為錨冠兩端裙板厚度。實際計算表明,式(2)右邊第2項和第3項占比很小,且近似相互抵消,可以用S1=LB計算。
采用我國的95Spek錨(CB/T 711—1995)尺寸[11]。Spek錨錨冠水平投影輪廓圖及主要尺寸標(biāo)注見圖3。
圖3 Spek錨錨冠水平投影輪廓示意
由于半徑R2所繪圓弧的圓心位置未給出,該圓弧凹進去的面積計算成為關(guān)鍵。為解決這個問題,在圖3右上角建立如圖4所示的坐標(biāo)系,其原點取在半徑R7圓弧的中心O7處。半徑R2圓弧的圓心為O2。2段圓弧在G點相切。C點是圓弧DEG延長線與水平線AD的交點。線段GN垂直于線段AD,N為交點。用解析幾何方法求解,第1步確定O2點坐標(biāo),第2步計算曲線多邊形ADEG的面積。
圖4 Spek錨錨冠角部面積計算坐標(biāo)系
D點坐標(biāo)記為(xD,R7)。
其中:
(3)
線段O2O7長度為R2+R7,與y軸夾角為θ。則O2點坐標(biāo)(x2,y2)為
x2=-(R2+R7)sinθ
y2=(R2+R7)cosθ
將曲線多邊形ADEG面積分為曲邊三角形ANG面積和曲線多邊形NDEGN面積2部分,分別計算。計算時用到點C和點N的坐標(biāo),分別為
xC=2x2-xD,yC=R7
xN=-R7sinθ,yN=R7
曲邊三角形ANG面積由梯形ANGO7A面積減去扇形O7GAO7面積求得。
(4)
曲邊梯形NDEGN面積由弓形DEGCD面積減去曲邊三角形CNGC面積得到。
(1-cosθ)R7(xC-xN)
(5)
式中:右端第2項是用直角三角形CNG面積近似代替曲邊三角形CNG面積,右端第1項是弓形DEGCD面積,其中α為圓弧DEGC所對應(yīng)的圓心角(即∠DO2C)。
圓心角α用解析幾何方法計算。先用2點式分別寫出線段DO2和O2C的斜率如下。
則角α由下式確定。
將式(4)與式(5)相加,得曲線多邊形ADEG的面積。
SADEG=SANG+SNDEG
(6)
于是,Spek錨水平投影面積S2為
(7)
JIS錨[10]錨冠水平投影輪廓及尺寸標(biāo)注見圖5。
圖5 JIS錨水平投影輪廓與尺寸標(biāo)注
與Spek錨類似,圖5中圓弧R3和r1凹陷面積的計算是關(guān)鍵所在。將右上部分輪廓取出,并建坐標(biāo)系見圖6。
圖6 JIS錨局部水平投影面積計算
坐標(biāo)原點在半徑R3的圓心O3處,y軸位于錨冠中心線上。半徑r1的圓心為O1,半徑r2的圓心為O2。E、H分別是2段圓弧的切點。線段O1P垂直于水平線AG,P為垂足?,F(xiàn)求曲線多邊形ADEHG的面積。該面積可分3部分:曲線多邊形ADEO1P面積,扇形O1EHO1面積和曲線多邊形O2GHO2面積。
首先給出各個點的坐標(biāo)如下(下標(biāo)表示某點)。
xA=0,yA=R3+0.5(B-B3)
xE=0.5L-b5,yE=R3cosβ
xO1=(R3+r1)sinβ,yO1=(R3+r1)cosβ
xP=xO1,yP=yA
xO2=xO1+(r1+r2)sinδ
yO2=yO1-(r1+r2)cosδ
xG=xO2,yG=yA
角β、δ分別下式確定。
(8)
(9)
曲線多邊形ADEO1P的面積等于梯形AO3O1P面積減去扇形O3ED面積。
扇形O1EH面積為
曲線多邊形GPO1H的面積等于梯形GPO1O2面積減去扇形O2GH面積。
于是,曲線多邊形ADEHGA面積為
SADEHG=SADEO1P+SO1EH+SGPO1H
(10)
JIS錨水平投影面積為
S3=LB-4SADEHG-(4-π)r2+(B1-B)2
(11)
式(11)右端最后1項是錨冠中心線上下2側(cè)凸筋的近似面積。
以上過程可編程計算。
Hall錨國標(biāo)[12]里僅給出主要尺度,沒有詳細尺寸,無法準(zhǔn)確計算。對比Hall錨和JIS錨主尺度及錨冠輪廓,可以發(fā)現(xiàn)在同一重量級別下,Hall錨尺寸要比JIS錨大一些,二者錨冠水平投影輪廓(見圖7與圖5)大體上幾何相似。這樣便可利用JIS錨的結(jié)果換算出Hall錨的水平投影面積。
圖7 Hall錨錨冠水平投影輪廓
將式(11)改寫為
(12)
式中:k為比例系數(shù)。
根據(jù)相似原理,Hall錨水平投影面積為
S4=kL4B4
(13)
設(shè)水平投影面積與錨體積的2/3次方成正比,即
(14)
式中:S含義同式(1);C為無因次系數(shù);Ma為錨質(zhì)量,kg;ρs為鑄鋼密度,取7 800 kg/m3。
根據(jù)錨的相關(guān)標(biāo)準(zhǔn)資料,查出公式里的相關(guān)尺寸,按上面各式分別計算出4種錨的水平投影面積,由最小二乘法給出各自的系數(shù)C的計算式。
(15)
式中:N為每種錨按重量級別統(tǒng)計的個數(shù)。
按錨重級別每隔1檔作統(tǒng)計,共計30組,然后按式(2)計算投影面積,結(jié)果見表1。
將表1中的面積值和錨重值代入式(15),得:C=2.268。于是,AC-14錨水平投影面積估算式為
(16)
將上述計算和式(16)擬合結(jié)果繪于圖8。
按質(zhì)量級別從480~20 000 kg做了45組統(tǒng)計,用式(3)~式(7)之間各式計算水平投影面積,結(jié)果列于表2。將表中數(shù)據(jù)代入式(15)中,得:C=2.288。
表1 AC-14錨尺寸統(tǒng)計與水平投影面積計算結(jié)果(表中各幾何尺寸符號見圖2)
圖8 AC-14錨水平投影面積計算值與擬合值
于是,Spek錨水平投影面積估算公式為
(17)
將表2結(jié)果和式(17)結(jié)果一并繪于圖9。
圖9 95 Spek錨水平投影面積計算值與擬合值
按質(zhì)量級別從480~29 000 kg用1.3中各式
表2 95 Spek錨尺寸統(tǒng)計與水平投影面積計算結(jié)果(表中各幾何尺寸符號見圖3)
做了24組統(tǒng)計,計算結(jié)果列于表3。將表中錨質(zhì)量和投影面積代入式(15)中,得:C=1.779。則JIS錨水平投影面積為
(18)
將計算結(jié)果和式(18)結(jié)果一起繪于圖10。
圖10 JIS錨水平投影面積計算值與擬合值
利用JIS錨計算結(jié)果,仍按錨質(zhì)量480 kg至29 000 kg做了24組統(tǒng)計,并用式(12)、(13)進行計算,結(jié)果列于表4。表中第2~5列為JIS錨數(shù)據(jù);第6~9列為Hall錨數(shù)據(jù),但計算時用到了第5列的k值。把表中錨質(zhì)量和投影面積數(shù)據(jù)代入式(15)中,得:C=2.124。于是有Hall錨水平投影面積估算式為
(19)
將計算結(jié)果和式(19)結(jié)果繪于圖11。
圖11 Hall錨水平投影面積計算值與擬合值
從圖8~11可以看出,擬合結(jié)果與計算值符合非常好。對比可知,在同等錨重情況下,Spek錨的水平投影面積最大,這跟該錨錨冠的板狀結(jié)構(gòu)有關(guān);其次是AC-14錨,寬大的穩(wěn)定鰭使水平投影面積較大;JIS錨結(jié)構(gòu)上與Hall錨相似,其水平投影面積最小。
1)統(tǒng)計數(shù)據(jù)來源可靠,計算原理簡單,估算公式使用方便,只要給出錨型和錨重,即可獲得錨的水平投影面積。
2)與已有的各種方法相比,本文采用錨體積的2/3次方作為面積估算的基函數(shù),從量綱角度講是合理有效的。
3)結(jié)果可直接用于錨下落速度和落底貫入深度的計算分析中,對船舶拋錨安全和海底管線埋深設(shè)計及保護有參考價值。
這4種船錨在商船上應(yīng)用廣泛,但仍有一些船用錨,例如DA-1錨、波爾錨、美國海軍錨等,計算中未涉及到。除Spek錨之外,其他3種錨在懸掛狀態(tài)下錨爪會倒向一側(cè),造成實際投影面積與估算值之間出現(xiàn)偏差。錨爪傾斜后,錨冠本身的水平投影面積變小,而錨爪伸出錨冠輪廓線的部分又增加了投影面積,二者相互抵消一些,偏差的確定還有待于深入研究。