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(大連海事大學(xué) 航海學(xué)院，遼寧 大連 116026)

在船舶拋錨安全研究和應(yīng)急拋錨對海底管線損害分析時，時常要計算錨在水中的下落速度。錨下落速度大小與水阻力有關(guān)，而水阻力與錨下落擋水面積，也就是錨在水平面上的投影面積成正比[1]。然而該面積數(shù)據(jù)不易獲知。目前的解決辦法主要有以下幾種：①將錨簡化成等效球體來計算水阻力[2-3]，避開了錨投影面積問題，但計算精度難以保證；②采用某只錨的投影面積數(shù)據(jù)[4-5]，僅限于具體問題，不具有普適性；③用包圍錨冠的長方形面積來代替錨投影面積[6]，方法簡單，但對于霍爾錨來說計算結(jié)果偏大；④用錨重多項式擬合公式來計算霍爾錨投影面積[7-8]，適用范圍窄。目前對船用錨水平面投影面積還缺乏有效的通用計算方法。鑒于這種情況，從船用錨錨冠尺寸著手，運用解析幾何方法作詳細計算，在此基礎(chǔ)上擬合出投影面積與錨重的關(guān)系式。選擇AC-14錨、Spek(斯貝克)錨、JIS(日本無桿)錨和Hall(霍爾)錨，AC-14錨是行業(yè)公認的性能優(yōu)良的船用大抓力錨，在大型商船上廣泛采用。其他3種錨為普通無桿錨，多應(yīng)用于中小型船舶。

1 水阻力及水平投影面積計算

錨在水中下落時的水阻力為[1]

(1)

式中：Cw為無因次系數(shù)；ρw水的密度；V錨下落速度；S為錨下落時在水平面上的投影面積，該面積不是常見的錨參數(shù)，故在使用式(1)時略感不便。

選取4種船用錨見圖1。

圖1 4種船用錨外觀

1.1 AC-14錨水平投影面積

各主要航運國家都有該錨的標(biāo)準(zhǔn)尺寸，彼此之間主尺度略有差別，例如，英國、挪威和日本的標(biāo)準(zhǔn)尺寸相同，比中國[9]和荷蘭的標(biāo)準(zhǔn)尺寸略小一點，但同一重量級別的投影面積差別不大。采用日本工業(yè)標(biāo)準(zhǔn)尺寸，錨冠水平投影輪廓見圖2。

圖2 AC-14錨錨冠水平投影輪廓

根據(jù)圖2，AC-14錨水平投影面積S1為

S1=LB+2L1t-(4-π)R2

(2)

標(biāo)準(zhǔn)里給出了L、B、L1、t和t1的尺寸，根據(jù)設(shè)計圖取R≈2t1，t1為錨冠兩端裙板厚度。實際計算表明，式(2)右邊第2項和第3項占比很小，且近似相互抵消，可以用S1=LB計算。

1.2 Spek錨水平投影面積

采用我國的95Spek錨(CB/T 711—1995)尺寸[11]。Spek錨錨冠水平投影輪廓圖及主要尺寸標(biāo)注見圖3。

圖3 Spek錨錨冠水平投影輪廓示意

由于半徑R2所繪圓弧的圓心位置未給出，該圓弧凹進去的面積計算成為關(guān)鍵。為解決這個問題，在圖3右上角建立如圖4所示的坐標(biāo)系，其原點取在半徑R7圓弧的中心O7處。半徑R2圓弧的圓心為O2。2段圓弧在G點相切。C點是圓弧DEG延長線與水平線AD的交點。線段GN垂直于線段AD，N為交點。用解析幾何方法求解，第1步確定O2點坐標(biāo)，第2步計算曲線多邊形ADEG的面積。

圖4 Spek錨錨冠角部面積計算坐標(biāo)系

D點坐標(biāo)記為(xD,R7)。

其中：

(3)

線段O2O7長度為R2+R7，與y軸夾角為θ。則O2點坐標(biāo)(x2,y2)為

x2=-(R2+R7)sinθ

y2=(R2+R7)cosθ

將曲線多邊形ADEG面積分為曲邊三角形ANG面積和曲線多邊形NDEGN面積2部分，分別計算。計算時用到點C和點N的坐標(biāo)，分別為

xC=2x2-xD，yC=R7

xN=-R7sinθ，yN=R7

曲邊三角形ANG面積由梯形ANGO7A面積減去扇形O7GAO7面積求得。

(4)

曲邊梯形NDEGN面積由弓形DEGCD面積減去曲邊三角形CNGC面積得到。

(1-cosθ)R7(xC-xN)

(5)

式中：右端第2項是用直角三角形CNG面積近似代替曲邊三角形CNG面積，右端第1項是弓形DEGCD面積，其中α為圓弧DEGC所對應(yīng)的圓心角(即∠DO2C)。

圓心角α用解析幾何方法計算。先用2點式分別寫出線段DO2和O2C的斜率如下。

則角α由下式確定。

將式(4)與式(5)相加，得曲線多邊形ADEG的面積。

SADEG=SANG+SNDEG

(6)

于是，Spek錨水平投影面積S2為

(7)

1.3 JIS錨水平投影面積

JIS錨[10]錨冠水平投影輪廓及尺寸標(biāo)注見圖5。

圖5 JIS錨水平投影輪廓與尺寸標(biāo)注

與Spek錨類似，圖5中圓弧R3和r1凹陷面積的計算是關(guān)鍵所在。將右上部分輪廓取出，并建坐標(biāo)系見圖6。

圖6 JIS錨局部水平投影面積計算

坐標(biāo)原點在半徑R3的圓心O3處，y軸位于錨冠中心線上。半徑r1的圓心為O1，半徑r2的圓心為O2。E、H分別是2段圓弧的切點。線段O1P垂直于水平線AG，P為垂足?，F(xiàn)求曲線多邊形ADEHG的面積。該面積可分3部分：曲線多邊形ADEO1P面積，扇形O1EHO1面積和曲線多邊形O2GHO2面積。

首先給出各個點的坐標(biāo)如下(下標(biāo)表示某點)。

xA=0，yA=R3+0.5(B-B3)

xE=0.5L-b5，yE=R3cosβ

xO1=(R3+r1)sinβ，yO1=(R3+r1)cosβ

xP=xO1，yP=yA

xO2=xO1+(r1+r2)sinδ

yO2=yO1-(r1+r2)cosδ

xG=xO2，yG=yA

角β、δ分別下式確定。

(8)

(9)

曲線多邊形ADEO1P的面積等于梯形AO3O1P面積減去扇形O3ED面積。

扇形O1EH面積為

曲線多邊形GPO1H的面積等于梯形GPO1O2面積減去扇形O2GH面積。

于是，曲線多邊形ADEHGA面積為

SADEHG=SADEO1P+SO1EH+SGPO1H

(10)

JIS錨水平投影面積為

S3=LB-4SADEHG-(4-π)r2+(B1-B)2

(11)

式(11)右端最后1項是錨冠中心線上下2側(cè)凸筋的近似面積。

以上過程可編程計算。

1.4 Hall錨水平投影面積

Hall錨國標(biāo)[12]里僅給出主要尺度，沒有詳細尺寸，無法準(zhǔn)確計算。對比Hall錨和JIS錨主尺度及錨冠輪廓，可以發(fā)現(xiàn)在同一重量級別下，Hall錨尺寸要比JIS錨大一些，二者錨冠水平投影輪廓(見圖7與圖5)大體上幾何相似。這樣便可利用JIS錨的結(jié)果換算出Hall錨的水平投影面積。

圖7 Hall錨錨冠水平投影輪廓

將式(11)改寫為

(12)

式中：k為比例系數(shù)。

根據(jù)相似原理，Hall錨水平投影面積為

S4=kL4B4

(13)

2 水平投影面積計算與擬合

設(shè)水平投影面積與錨體積的2/3次方成正比，即

(14)

式中：S含義同式(1)；C為無因次系數(shù)；Ma為錨質(zhì)量，kg；ρs為鑄鋼密度，取7 800 kg/m3。

根據(jù)錨的相關(guān)標(biāo)準(zhǔn)資料，查出公式里的相關(guān)尺寸，按上面各式分別計算出4種錨的水平投影面積，由最小二乘法給出各自的系數(shù)C的計算式。

(15)

式中：N為每種錨按重量級別統(tǒng)計的個數(shù)。

2.1 AC-14錨尺寸統(tǒng)計與面積計算

按錨重級別每隔1檔作統(tǒng)計，共計30組，然后按式(2)計算投影面積，結(jié)果見表1。

將表1中的面積值和錨重值代入式(15)，得：C=2.268。于是，AC-14錨水平投影面積估算式為

(16)

將上述計算和式(16)擬合結(jié)果繪于圖8。

2.2 Spek錨尺寸統(tǒng)計與面積計算

按質(zhì)量級別從480～20 000 kg做了45組統(tǒng)計，用式(3)～式(7)之間各式計算水平投影面積，結(jié)果列于表2。將表中數(shù)據(jù)代入式(15)中，得：C=2.288。

表1 AC-14錨尺寸統(tǒng)計與水平投影面積計算結(jié)果(表中各幾何尺寸符號見圖2)

圖8 AC-14錨水平投影面積計算值與擬合值

于是，Spek錨水平投影面積估算公式為

(17)

將表2結(jié)果和式(17)結(jié)果一并繪于圖9。

圖9 95 Spek錨水平投影面積計算值與擬合值

2.3 JIS錨尺寸統(tǒng)計與面積計算

按質(zhì)量級別從480～29 000 kg用1.3中各式

表2 95 Spek錨尺寸統(tǒng)計與水平投影面積計算結(jié)果(表中各幾何尺寸符號見圖3)

做了24組統(tǒng)計，計算結(jié)果列于表3。將表中錨質(zhì)量和投影面積代入式(15)中，得：C=1.779。則JIS錨水平投影面積為

(18)

將計算結(jié)果和式(18)結(jié)果一起繪于圖10。

圖10 JIS錨水平投影面積計算值與擬合值

2.4 Hall錨尺寸統(tǒng)計與面積計算

利用JIS錨計算結(jié)果，仍按錨質(zhì)量480 kg至29 000 kg做了24組統(tǒng)計，并用式(12)、(13)進行計算，結(jié)果列于表4。表中第2～5列為JIS錨數(shù)據(jù)；第6～9列為Hall錨數(shù)據(jù)，但計算時用到了第5列的k值。把表中錨質(zhì)量和投影面積數(shù)據(jù)代入式(15)中，得：C=2.124。于是有Hall錨水平投影面積估算式為

(19)

將計算結(jié)果和式(19)結(jié)果繪于圖11。

圖11 Hall錨水平投影面積計算值與擬合值

從圖8～11可以看出，擬合結(jié)果與計算值符合非常好。對比可知，在同等錨重情況下，Spek錨的水平投影面積最大，這跟該錨錨冠的板狀結(jié)構(gòu)有關(guān)；其次是AC-14錨，寬大的穩(wěn)定鰭使水平投影面積較大；JIS錨結(jié)構(gòu)上與Hall錨相似，其水平投影面積最小。

3 結(jié)論

1)統(tǒng)計數(shù)據(jù)來源可靠，計算原理簡單，估算公式使用方便，只要給出錨型和錨重，即可獲得錨的水平投影面積。

2)與已有的各種方法相比，本文采用錨體積的2/3次方作為面積估算的基函數(shù)，從量綱角度講是合理有效的。

3)結(jié)果可直接用于錨下落速度和落底貫入深度的計算分析中，對船舶拋錨安全和海底管線埋深設(shè)計及保護有參考價值。

這4種船錨在商船上應(yīng)用廣泛，但仍有一些船用錨，例如DA-1錨、波爾錨、美國海軍錨等，計算中未涉及到。除Spek錨之外，其他3種錨在懸掛狀態(tài)下錨爪會倒向一側(cè)，造成實際投影面積與估算值之間出現(xiàn)偏差。錨爪傾斜后，錨冠本身的水平投影面積變小，而錨爪伸出錨冠輪廓線的部分又增加了投影面積，二者相互抵消一些，偏差的確定還有待于深入研究。