，，

(太原理工大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，山西 太原 030024)

差分方程是研究離散型變量之間變化規(guī)律的有效方法。只要變量的離散值具有某種遞推關(guān)系，就會(huì)與差分方程有所關(guān)聯(lián)，而且離散的差分模型為進(jìn)行計(jì)算機(jī)模擬提供了方便。近幾十年來，差分方程的理論和應(yīng)用研究得到了迅猛發(fā)展，尤其是在經(jīng)濟(jì)、醫(yī)學(xué)、物理、化學(xué)、生物學(xué)、軍事科學(xué)等領(lǐng)域。差分方程的理論和應(yīng)用研究幫助人們解決了很多實(shí)際問題。近年來，諸多學(xué)者致力于研究高階有理差分方程的定性性質(zhì)，并取得了豐碩的成果，這些結(jié)果不僅豐富了人們對(duì)差分方程的理論認(rèn)識(shí)，同時(shí)使得差分方程的應(yīng)用更加廣泛。文獻(xiàn)[1-3]中系統(tǒng)、全面地闡述了差分方程的基本理論。 Kurbanli等[4]研究了初值(xi,yi)≥0(i=1, 2)的差分系統(tǒng)

其中n∈。對(duì)于給定的初值(xi,yi)(i=-1,0)，該差分系統(tǒng)確定唯一的正解序列同時(shí)對(duì)解序列的性質(zhì)進(jìn)行了分析和討論。Zhang等[5]在初值(xi,yi)(i=-2,-1,0)和參數(shù)A、B均為正的條件下研究了差分系統(tǒng)

的正解和平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性等問題。Din等[6]研究了參數(shù)α、β、γ、α1、β1、γ1和初值x0、x-1、x-2、x-3、y0、y-1、y-2、y-3均為正實(shí)數(shù)的差分系統(tǒng)

平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性、不穩(wěn)定性、全局性以及正解的周期性。Din等[7]研究了參數(shù)αi、βi、ai、bi(i=1, 2)和初值x0、x-1、y0、y-1均為正實(shí)數(shù)的差分競(jìng)爭系統(tǒng)

正解的有界性、持久性、正平衡點(diǎn)的唯一性、局部和全局行為以及收斂速率問題。Hu等[8]研究了參數(shù)a、ai>0(i=0,1,…,k,k=0,1,…),初值x-k,…,x-1≥0,x0>0的差分系統(tǒng)

依賴于參數(shù)空間的全局動(dòng)力學(xué)行為。Ignacio等[10]研究了參數(shù)a、b為實(shí)數(shù)，初值(x-1,x0)∈2的差分系統(tǒng)

解的漸近性態(tài)和穩(wěn)定性。

在生態(tài)系統(tǒng)中，當(dāng)世代不重疊的2個(gè)種群之間存在著一定的關(guān)系(如捕食、競(jìng)爭、共生、寄生等)時(shí)，它們?cè)趲状鷥?nèi)的數(shù)量變化規(guī)律可以通過差分方程來較好地描述。在許多情況下，種群某代的數(shù)量往往會(huì)受到前四代生命活動(dòng)的影響。本文中對(duì)四階有理差分系統(tǒng)

(1)

的平衡點(diǎn)的存在性及其穩(wěn)定性、解收斂到平衡點(diǎn)的速率和階-2周期解的存在性等問題進(jìn)行研究，其中參數(shù)a、a1、b、b1、c、c1及初值(xi,yi)(i=-3,-2,-1, 0)均為正實(shí)數(shù)。

1 解的正性與收斂性

證明：利用第二數(shù)學(xué)歸納法證明該結(jié)論。

假設(shè)命題中的條件成立，則當(dāng)n=0時(shí)，由系統(tǒng)(1)可得

(2)

根據(jù)式(2)，可得0

現(xiàn)在設(shè)n≤p(n,p∈+)時(shí)結(jié)論成立，即當(dāng)n≤p時(shí)，有0

(3)

進(jìn)而由式(3)，可得0

由數(shù)學(xué)歸納法可知該定理結(jié)論成立。定理1得證。

定理2 若定理1的條件成立，則系統(tǒng)(1)以(xi,yi)(i=-3,-2,-1, 0)為初值的解序列{(xn,yn)}都有界且收斂于(0,0)。

證明：設(shè){(xn,yn)}為系統(tǒng)(1)以(xi,yi)(i=-3,-2,-1,0)為初值的解序列。由定理1的證明過程，可得

x-1>x1>x3>x5>…>0,

x0>x2>x4>x6>…>0,

y-1>y1>y3>y5>…>0,

y0>y2>y4>y6>…>0。

記M0=max{x-1,x0,y-1,y0}，從而有

M0≥x-1>x1>x3>x5>…>0,

M0≥x0>x2>x4>x6>…>0,

M0≥y-1>y1>y3>y5>…>0,

M0≥y-1>y1>y3>y5>…>0。

由此可知，

進(jìn)一步有

當(dāng)n=2p時(shí)，有

當(dāng)n=2p+1時(shí)，有

2 平衡點(diǎn)的存在性與穩(wěn)定性分析

其中：

引理1[11]考慮差分系統(tǒng)

Xn+1=F(Xn),n=0,1,2,…,

(4)

P(λ)=l0λn+l1λn-1+…+ln-1λ+ln,

(5)

定理3 系統(tǒng)(1)存在平凡平衡點(diǎn)P0=(0, 0)，并且如果a>1,a1>1，則該平衡點(diǎn)是局部漸近穩(wěn)定的。

證明：系統(tǒng)(1)存在平凡平衡點(diǎn)P0=(0,0)，且系統(tǒng)(1)在點(diǎn)P0處的線性近似系統(tǒng)為

Xn+1=FJ(P0)Xn，

其中

Xn=(xn,xn-1,xn-2,xn-3,yn,yn-1,yn-2,yn-3)T，

FJ(P0)的特征多項(xiàng)式為

P(λ)=|λE-FJ(P0)|=

定理3得證。

證明：系統(tǒng)(1)關(guān)于正平衡點(diǎn)P1的線性近似系統(tǒng)為

Xn+1=FJ(P1)Xn,

求得

FJ(P1)=

其中

由于a>1，a1>1，因此M,M1>0。

矩陣FJ(P1)的特征多項(xiàng)式為

P(λ)=|λE-FJ(P1)|=

化簡得

P(λ)=λ8-(M+M1+2)λ6-[M(M1+N1)+

M1(M+N)]λ5+[1-M(M1+N1)-

M1(M+N)-(M+N)(M1+N1)]λ4+

[(2(M+N)(M1+N1)+MN1+M1N]λ3+

[(M+N)(M1+N1)+N1(M+N)+

N(M1+N1)]λ2+[N1(M+N)+

N(M1+N1)]λ-NN1。

定理4得證。

3 系統(tǒng)(1)解收斂到平衡點(diǎn)的收斂速率分析

Xn+1=[A+B(n)]Xn，

式中：{Xn}(n∈)為m(m∈+)維矢量Xn的序列；A∈Cm×m為常數(shù)方陣，Cm×m為m階常數(shù)矩陣集；B(n)∶Z+→Cm×m為矩陣函數(shù)且為與向量范數(shù)相容的任意一種矩陣范數(shù)。

令

求得

(6)

則式(6)可寫為

In+1=T(n)In=

對(duì)Kj(n)、Lj(n)、Hj(n)、Rj(n)(j=0,1,2,3)取極限得

這時(shí)有

4 系統(tǒng)(1)階-2周期解的存在性

定理5 1)假設(shè)a>1,a1>1, 若b=c和b1=c1至少有一個(gè)成立, 則系統(tǒng)(1)存在正的階-2周期解；

2)若a=1,a1=1中的任意一個(gè)成立,則系統(tǒng)(1)存在階-2周期解。

證明：若系統(tǒng)(1)存在階-2周期解，則由階-2周期解的定義可知，存在2個(gè)數(shù)組(s1,t1)和(s2,t2)，s1=s2與t1=t2不同時(shí)成立，并且滿足

(7)

這樣，系統(tǒng)(1)階-2周期解的存在性就轉(zhuǎn)化為討論上述方程組s1=s2與t1=t2不同時(shí)成立的解(s1,t1,s2,t2)的存在性。

1)當(dāng)s1、t1、s2、t2均非零且a>1，a1>1時(shí)，式(7)等價(jià)于

(8)

又由于b1=c1，因此，式(8)后2個(gè)方程為同一方程b1s1s2(s1+s2)=a1-1，即

綜上所述，假設(shè)a>1,a1>1，若b=c和b1=c1至少有一個(gè)成立，則系統(tǒng)(1)存在正的階-2周期解。

2)當(dāng)a=1時(shí)，由式(7)可得，若s1=s2=0，此時(shí)只要選取滿足t1、t2不全為0的任意實(shí)數(shù)，且a1=1，則確定的序列(s1,t1),(s2,t2),(s1,t1),(s2,t2),…為系統(tǒng)(1)的階-2周期解；若s1,s2≠0，則有

t1t2(bt2+ct1)=t1t2(bt1+ct2)=0。

(9)

以下分4種情況進(jìn)行討論。

①若t1=0,t2≠0,此時(shí)bt2+ct1≠0,bt1+ct2≠0,則s1與s2的取值須滿足s1s2(b1s1+c1s2)=a1-1，即

③若t1=0,t2=0，此時(shí)bt2+ct1=0,bt1+ct2=0,只要選取滿足s1,s2不全為0的任意實(shí)數(shù)，則確定的序列(s1,t1),(s2,t2),(s1,t1),(s2,t2),…為系統(tǒng)(1)的階-2周期解。

a1=1的情況類似可證。

綜上所述，若a=1，a1=1中的任意一個(gè)成立，則系統(tǒng)(1)存在階-2周期解。

定理5得證。

5 數(shù)值模擬

利用數(shù)值模擬的方法來驗(yàn)證定理2解的收斂性、定理4正平衡點(diǎn)的不穩(wěn)定性、定理5階-2周期解的存在性與不唯一性。

例1 在系統(tǒng)(1)中取a=1 126,b=0.008,c=2.1,a1=1 146,b1=2.01,c1=1.7,得到系統(tǒng)

(10)

(a) xn隨n的變化

(b) yn隨n的變化{(xn, yn)}(n∈)—系統(tǒng)(10)所確定的解序列。圖1 系統(tǒng)(10)中xn、yn隨n的變化

例2 在系統(tǒng)(1)中a=9,b=0.62,c=0.38,a1=28,b1=0.3,c1=0.7, 得到系統(tǒng)

(11)

容易驗(yàn)證定理4的條件成立，且P(3, 2)為該系統(tǒng)的一個(gè)正平衡點(diǎn)，取x-3=3.000 1,x-2=3.000 1,x-1=3.000 1,x0=3.000 1,y-3=2.001,y-2=2.001,y-1=2.001,y0=2.001,利用MATLAB軟件分別作出n→xn,n→yn的圖像，如圖2所示。由圖可知，盡管初值與平衡點(diǎn)P相當(dāng)接近，但是解序列未全留在P的足夠小鄰域內(nèi)，即P是不穩(wěn)定的，這與定理4相符。

(a) xn隨n的變化

(b) yn隨n的變化{(xn, yn)}(n∈)—系統(tǒng)(11)所確定的解序列。圖2 系統(tǒng)(11)中xn、yn隨n的變化

例3 在系統(tǒng)(1)中a=85,b=1,c=1,a1=7,b1=1,c1=1,得到系統(tǒng)

(12)

容易驗(yàn)證定理5中1)的條件成立。取x-3=1,x-2=2,x-1=1,x0=2,y-3=3,y-2=4,y-1=3,y1=4,利用MATLAB軟件分別作出n→xn,n→yn的圖像，如圖3所示。由圖可知，{(1,3),(2,4),(1,3),…}為系統(tǒng)(12)的一個(gè)階-2周期解。再取a=10,b=0.5,c=0.5,a1=1,b1=0.3,c1=0.7,得到系統(tǒng)

(a) xn隨n的變化(b) yn隨n的變化{(xn, yn)}(n∈?)—系統(tǒng)(12)所確定的解序列。圖3 系統(tǒng)(12)中xn、yn隨n的變化

(13)

容易驗(yàn)證定理5中2)的條件成立。取x-3=0,x-2=0,x-1=0,x0=0,y-3=1,y-2=2,y-1=1,y0=2,利用MATLAB軟件分別作出n→xn,n→yn的圖像，如圖4所示。由圖可知，{(0,1),(0,2),(0,1),…}為系統(tǒng)(13)的一個(gè)階-2周期解。這與定理5相符。

(a) xn隨n的變化(b) yn隨n的變化{(xn,yn}(n∈?)—系統(tǒng)(13)所確定的解序列。圖4 系統(tǒng)(13)中xn、yn隨n的變化

6 結(jié)論

本文中討論了一類特殊的四階有理差分系統(tǒng)的定性行為。 利用分析的方法證明了在一定條件下正解的存在性與收斂性；利用Hurwitz判據(jù)證明了當(dāng)a>1,a1>1時(shí)，平凡平衡點(diǎn)的局部漸近穩(wěn)定性及正平衡點(diǎn)的不穩(wěn)定性；利用Poincaré-Perron方法分析了解收斂到平衡點(diǎn)的收斂速率；利用代數(shù)方法討論了當(dāng)a≥1,a1≥1時(shí)，階-2周期解的存在性與不唯一性；通過數(shù)值模擬證明了解的收斂性、正平衡點(diǎn)的不穩(wěn)定性以及階-2周期解的存在性與不唯一性的正確性。 該系統(tǒng)的全局行為是下一步要研究的內(nèi)容。