陳志勇

“數(shù)”與“形”是數(shù)學(xué)研究的兩大基本對(duì)象.在初中階段的數(shù)學(xué)課程中，“數(shù)”與“形”關(guān)系緊密，因此數(shù)形結(jié)合思想在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中占有重要地位.數(shù)形結(jié)合能將抽象的數(shù)量關(guān)系與具體的幾何關(guān)系聯(lián)系起來(lái)，實(shí)現(xiàn)抽象思維與形象思維的相互轉(zhuǎn)化以及解題程序的簡(jiǎn)化，最終達(dá)到優(yōu)化數(shù)學(xué)解題思路的目的.數(shù)形結(jié)合思想應(yīng)用于初中數(shù)學(xué)教學(xué)階段益處多多：對(duì)于教師而言，這種思想能幫助學(xué)生找出更快更高效的解題思路，提升數(shù)學(xué)教學(xué)的成效；對(duì)于學(xué)生而言，數(shù)形結(jié)合思想能幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)題目，能有效增強(qiáng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的自信心.

一、以形助數(shù)，將數(shù)量關(guān)系具現(xiàn)化

“以形助數(shù)”的核心思想在于將數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為圖形關(guān)系，在初中數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中，一般可以通過(guò)平面幾何知識(shí)或解析幾何知識(shí)來(lái)實(shí)現(xiàn).具體的“以形助數(shù)”教學(xué)思路包括以下幾個(gè)具體步驟：首先，教師引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注題干中的已知條件及所求問(wèn)題，這是解決所有數(shù)學(xué)題型的基礎(chǔ)；其次，通過(guò)已知條件及問(wèn)題帶領(lǐng)學(xué)生進(jìn)行相關(guān)數(shù)學(xué)理論的回顧，確定具有適用性的幾何概念或圖形表達(dá)；最后，做出與題干相符的圖形，利用該圖形的性質(zhì)及幾何意義解決所求問(wèn)題.這一教學(xué)過(guò)程不但使抽象的數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程更加直觀化，還能幫助學(xué)生更深入地掌握數(shù)學(xué)知識(shí).

以七年級(jí)上第二章《有理數(shù)》這一章節(jié)的教學(xué)實(shí)踐為例，筆者在教學(xué)過(guò)程中引入了這樣一個(gè)例題：求解函數(shù)y=|x+1|+|x-2|+|x-3|的最小值.在教學(xué)過(guò)程中筆者引導(dǎo)學(xué)生將這個(gè)例題中的|x+1|、|x-2|和|x-3|理解為數(shù)軸上x與-1、2和3這三個(gè)點(diǎn)的距離，如下圖所示：

假設(shè)數(shù)軸上表示數(shù)-1，2，3以及x的點(diǎn)分別為A，B，C，P，其中P為動(dòng)點(diǎn)，因此原函數(shù)式可以簡(jiǎn)化為P點(diǎn)到A，B，C三點(diǎn)的距離之和，即y=PA+PB+PC.P點(diǎn)在數(shù)軸上移動(dòng)時(shí)學(xué)生很容易就觀察出當(dāng)P點(diǎn)與B點(diǎn)重合時(shí)，PA+PB+PC的值最小，因此可以求解出y的最小值為AB+BC=4.數(shù)形結(jié)合思想可以幫助學(xué)習(xí)建立對(duì)數(shù)學(xué)理論的直觀印象，從而提升數(shù)學(xué)教學(xué)的有效性.

二、以數(shù)助形，簡(jiǎn)化復(fù)雜的圖形計(jì)算

數(shù)量關(guān)系的研究貫穿于整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過(guò)程之中，與數(shù)相比，圖形更具有形象直觀的特點(diǎn)，但在對(duì)圖形關(guān)系的確定過(guò)程中經(jīng)常需要運(yùn)用數(shù)量關(guān)系，尤其是針對(duì)較為復(fù)雜的圖形，不僅需要準(zhǔn)確找出圖形中對(duì)應(yīng)的數(shù)量，還需要觀察圖形本身的特點(diǎn)，將圖形本身的性質(zhì)或幾何意義轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系，從而實(shí)現(xiàn)圖形的數(shù)量計(jì)算，“以數(shù)助形”的教學(xué)過(guò)程不僅能幫助學(xué)生強(qiáng)化數(shù)量關(guān)系的理解認(rèn)知，還能擴(kuò)展學(xué)生的思維，顯著提高學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力

例如，在進(jìn)行《反比例函數(shù)》這一章節(jié)的學(xué)習(xí)時(shí)，筆者引入了這樣一個(gè)問(wèn)題：“已知正比例函數(shù)的表達(dá)式為y=kx，反比例函數(shù)為y=5-kx，以上函數(shù)式中k為常數(shù)且不為0，這兩個(gè)函數(shù)的圖象在直角坐標(biāo)系上有一個(gè)橫坐標(biāo)為2的交點(diǎn)，求兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)，并以圖象形式表示”.本題中最為關(guān)鍵的問(wèn)題在于k值的求解，根據(jù)已知條件，代入可以得到k=1.將k代入可以得到正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的表達(dá)式.再根據(jù)橫坐標(biāo)為2的已知條件，最終求得交點(diǎn)坐標(biāo)分別為（2，2）和（-2，-2），從而在坐標(biāo)系中畫出兩個(gè)函數(shù)的圖象.

三、數(shù)形結(jié)合，提升學(xué)生對(duì)數(shù)量關(guān)系及圖形關(guān)

系的綜合運(yùn)用能力

以形助數(shù)、以數(shù)助形只是數(shù)形結(jié)合思想的兩個(gè)具體運(yùn)用方向，在實(shí)際教學(xué)過(guò)程中常常需要對(duì)這兩個(gè)方面進(jìn)行綜合運(yùn)用，先從圖形確定數(shù)量關(guān)系后，再通過(guò)數(shù)量關(guān)系解決圖形問(wèn)題，兩者密不可分.

例如，在二次函數(shù)的教學(xué)過(guò)程中，筆者首先通過(guò)y=ax2這一最為基礎(chǔ)典型的二次函數(shù)式及其對(duì)應(yīng)的圖形讓學(xué)生形成對(duì)二次函數(shù)的初步認(rèn)識(shí)，接著筆者將這個(gè)二次函數(shù)圖形向左平移h個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移k個(gè)單位長(zhǎng)度后形成了一個(gè)新的函數(shù)式y(tǒng)=a（x+h）2+k，最后通過(guò)對(duì)這個(gè)新函數(shù)式的展開(kāi)，得到了二次函數(shù)的基本表達(dá)式y(tǒng)=ax2+bx+c.在對(duì)二次函數(shù)的推導(dǎo)過(guò)程中，不僅幫助學(xué)生深入了解了二次函數(shù)圖形的基本內(nèi)涵，還有助于學(xué)生在面對(duì)二次函數(shù)題型時(shí)，靈活運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的綜合性思想解答題目.