浙江省杭州市富陽區(qū)新登中學(xué) 汪道智 (郵編：311404)

近日，筆者所在學(xué)校組織了針對(duì)高三年級(jí)數(shù)學(xué)教學(xué)的調(diào)研課.在這次調(diào)研中分別由兩位教師授課，一位是第一次帶高三的年輕教師，另一位是有著多年帶畢業(yè)班經(jīng)驗(yàn)的校骨干教師.兩位教師上課的均是關(guān)于高考中平面向量問題的復(fù)習(xí)課.聽課過后筆者對(duì)兩位教師的教學(xué)過程以及對(duì)例題及其變式的處理方法產(chǎn)生了諸多思考.下面以案例1和案例2的形式給出這兩節(jié)課的部分課堂教學(xué)簡錄及觀課后的所思所想.

1 課堂教學(xué)簡錄

案例1 (年輕教師的部分教學(xué)過程展現(xiàn))

師：平面向量是浙江省高考數(shù)學(xué)考查的重要內(nèi)容之一，而且近幾年來對(duì)平面向量的考查越來越靈活，解法多變，讓人回味無窮.下面先來看一下這道經(jīng)典例題：

例1 已知a、b是平面內(nèi)兩個(gè)相互垂直的單位向量，若c滿足(a-c)·(b-c)=0，則c的取值范圍是______.(2008年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題第9題)

師：(讓同學(xué)們思考片刻后)下面請(qǐng)一位同學(xué)來說說解題思路.

圖1

易求得C的軌跡是圓，再求出c的取值范圍.

師：很好，本題有建立坐標(biāo)系的條件，利用坐標(biāo)是解決平面向量問題的重要方法.再請(qǐng)一位同學(xué)說說看？

生2：由已知條件構(gòu)造圖形，如圖1： 令

師：這位同學(xué)回答得非常清晰，利用數(shù)形結(jié)合的重要數(shù)學(xué)思想來輕松構(gòu)造出C的軌跡是一個(gè)圓，很容易就得到結(jié)果了.

評(píng)注 教師通過一道典型的向量問題，引導(dǎo)學(xué)生利用向量本身的幾何特征構(gòu)造圖形，再利用相應(yīng)的幾何關(guān)系使得問題輕松解決.此例題起點(diǎn)低，部分學(xué)生在教師給時(shí)間思考的過程中已經(jīng)能獨(dú)立解決，在教師講解后理解更加透徹.

接下來，授課教師呈現(xiàn)了下面這道變式題.

變式 已知a、b是平面內(nèi)兩個(gè)夾角為600的單位向量，若c滿足(a-c)·(b-2c)=0，則c的最大值是__________.

圖2

師：請(qǐng)同學(xué)們自己動(dòng)動(dòng)手試試看.(在同學(xué)做題的過程中，筆者起身觀察了學(xué)生的解題情況，一部分仍然用的是建立坐標(biāo)系的方法，還有部分同學(xué)試圖用數(shù)形結(jié)合的方法，卻在畫圖時(shí)出現(xiàn)了困難.教師在提問了兩個(gè)同學(xué)之后，一位學(xué)生提出用坐標(biāo)法，另一位回答試圖構(gòu)造b-2c，突然卡住了，教師只能自己講解了).

評(píng)注 這道變式題展示后，授課教師給了學(xué)生3分鐘左右的時(shí)間思考，最終學(xué)生沒能在幾何法上尋得突破，能做出的同學(xué)用的還是坐標(biāo)法.顯然沒有達(dá)到教師課前預(yù)設(shè)的那樣，通過例1 的講解使學(xué)生掌握用數(shù)形結(jié)合的思想來構(gòu)造出一個(gè)圓來.教師講解之后學(xué)生方才有種恍然大悟的感覺.

之后教師給出了這一類問題的一般形式讓學(xué)生思考總結(jié)：

已知a、b是平面內(nèi)兩個(gè)夾角為θ的單位向量，若c滿足λa-mc·βa-nc<0m≠0,n≠0，則c的最值是__________.

評(píng)注 教師通過例題和變式的分析講解，之后能再給出這一類題型的一般形式讓學(xué)生思考總結(jié)，使學(xué)生做一題，會(huì)一類題，使課堂效率大大提高.然而，大部分學(xué)生在解變式題的過程中的表現(xiàn)不盡人意，讓授課教師以及筆者產(chǎn)生了一些疑惑，是學(xué)生不夠聰明還是題型的設(shè)計(jì)欠妥？

師：接下來我們看一下這道題：

例2 記M的最大值和最小值分別為Mmax和Mmin.若平面向量a、b、c滿足|a|=|b|=a·b=c·(a+2b-2c)=2，則( )

(2017學(xué)年杭州市第二次高考科目教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)高三數(shù)學(xué)檢測(cè)試卷第9題)

生：由已知條件：|a|=|b|=a·b=2，易知=600，可建立如圖所示坐標(biāo)系,則

設(shè)c=(x,y)，由c·(a+2b-2c)=2，

師：很好，這位同學(xué)用坐標(biāo)法先求得點(diǎn)C的軌跡是一個(gè)圓，再利用圖形解題.同學(xué)們還有其他的想法嗎？(后面的情況與學(xué)生在前面出現(xiàn)的情況類似).

圖3

教師給出下面的解法：

評(píng)注 這道題其實(shí)是例1及其變式的加深，學(xué)生在構(gòu)造向量上面有了想法，卻又在另一個(gè)問題上遇到了困難，那就是學(xué)生沒能夠想到同起點(diǎn)兩個(gè)角度不定，模長不定的向量數(shù)量積問題可以利用極化恒等式這一工具來解題.

2 課后感悟

高三復(fù)習(xí)課重在高效，教師要在高三復(fù)習(xí)教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生重視基礎(chǔ)知識(shí)，重視知識(shí)之間的聯(lián)系，重視對(duì)數(shù)學(xué)問題本質(zhì)的理解.怎樣才能做到讓學(xué)生在數(shù)學(xué)課堂中能更高效的學(xué)習(xí)呢？下面結(jié)合案例1所展現(xiàn)的教學(xué)過程以及過程中學(xué)生所出現(xiàn)的種種問題來探討高效課堂應(yīng)該做到的幾點(diǎn)要求.

2.1 低起點(diǎn)

在高三的復(fù)習(xí)課中經(jīng)常會(huì)上一些關(guān)于某一考點(diǎn)的專題課.在這樣的專題課的例題選擇時(shí)要重基礎(chǔ).不能想當(dāng)然認(rèn)為所講知識(shí)是以前的學(xué)過的內(nèi)容，一上課就急于展示難度較大的題型，以為這樣可以培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，殊不知學(xué)生的思維是需要循序漸進(jìn)的.片斷1的教學(xué)上，教師在引例1的選擇上，難度較低，學(xué)生馬上就能通過圓的幾何意義來解決問題.而在例2的問題處理上，教師設(shè)計(jì)的本意是在例1以及變式的基礎(chǔ)上再進(jìn)行難度加深，發(fā)散學(xué)生的思維，但學(xué)生所想到的方法仍然是坐標(biāo)法來處理，并沒有按照教師課前所預(yù)設(shè)的那樣去思考問題.的確本節(jié)課雖然是高三平面向量復(fù)習(xí)課，但是學(xué)生對(duì)教師所預(yù)設(shè)的利用極化恒等式產(chǎn)生點(diǎn)C的軌跡是圓的方法還是陌生的，對(duì)教師所講的方法感覺有點(diǎn)突然甚至不是很接受，學(xué)生會(huì)感覺坐標(biāo)法也不麻煩，極化恒等式的方法想不到.其實(shí)教師如果在例2之前能夠先讓學(xué)生解決這樣一道習(xí)題，學(xué)生自然能夠想到極化恒等式的幾何意義來處理例2了.習(xí)題如下：

解析

評(píng)注 本習(xí)題設(shè)計(jì)意圖是讓學(xué)生通過本題的鋪墊，在解決例2的過程中能想到點(diǎn)C的軌跡是以F為圓心的圓.從而通過圖形去解決問題.

2.2 小臺(tái)階

教師在高三習(xí)題課中經(jīng)常采用變式教學(xué)，通過對(duì)經(jīng)典的數(shù)學(xué)問題進(jìn)行多維度的變式探究來提高課堂效率.然而，變式探究的過程中要注意題目之間的聯(lián)系和跨度，臺(tái)階要小，要做到自然過渡從而發(fā)散學(xué)生的思維.如本節(jié)課在引例的變式2的問題上，學(xué)生在課堂中沒有能夠達(dá)到教師預(yù)期的效果值得探討.課后與教師探討為什么會(huì)出現(xiàn)這個(gè)情況呢？關(guān)鍵在于前面的例題中所涉及的條件c的系數(shù)為1，通過向量減法的幾何意義構(gòu)造圖形.而變式題的條件突然變成(a-c)·(b-2c)=0，在上課過程中我發(fā)現(xiàn)許多學(xué)生試圖畫向量b-2c，而c是不確定的，所以學(xué)生無所是從.造成這樣的原因就是在于臺(tái)階還是稍微大了一點(diǎn)，學(xué)生的思維難以跨越.探討后，我們一起設(shè)計(jì)了這樣一題：

2.3 高落點(diǎn)

高三復(fù)習(xí)課，最終的目標(biāo)是指向高考，浙江省高考卷在平面向量的問題的考查靈活多變，好題層出不窮，所以一堂課最終的落點(diǎn)決定了一堂課的高度.在這一點(diǎn)上案例在例2的設(shè)計(jì)中堂課上體現(xiàn)了高落點(diǎn)這一原則.不得不說杭二模的這道平面向量題出得非常漂亮，一是能用建立坐標(biāo)系的方法來解決，體現(xiàn)向量問題的代數(shù)化，又可以用極化恒等式的這一重要工具來解決，體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的重要數(shù)學(xué)思想.讓學(xué)生體會(huì)到，高考難題來源于教材而高于教材的道理.課后調(diào)研交流中有教師提出此題的第三種解法，利用三角不等式來解決，但在課堂上沒有體現(xiàn)，感覺遺憾.但筆者認(rèn)為授課教師未在本節(jié)課中講解此題是有道理的，一堂課不可能把所有的好的方法全部呈現(xiàn)，本節(jié)內(nèi)容最主要是體現(xiàn)高考中平面向量與圓相關(guān)的問題，在課堂上自然不需要講解此方法，高效課堂本應(yīng)做到主題明確，落點(diǎn)到位.

案例2 (骨干教師的部分教學(xué)過程展現(xiàn))

師：近幾年，浙江省高考對(duì)平面向量問題的考查難度較大，題目靈活多變.在考查的問題中經(jīng)常出現(xiàn)以圓為幾何背景的平面向量題，我們先來看這樣一個(gè)問題：

例：設(shè)A(-2，0)、B(1，0)，且AP=2BP，則求點(diǎn)P的軌跡方程.

師：很好，生1通過坐標(biāo)法求得P的軌跡是一個(gè)圓，其實(shí)這個(gè)叫做阿波羅尼斯圓，它的特點(diǎn)是到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之比是一個(gè)常數(shù)K(K大于0且 不等于1).我們用幾何畫板來呈現(xiàn)阿波羅尼斯圓，同學(xué)們來體會(huì)一下，如何快速的畫出滿足題意的圓.

師：原來點(diǎn)P軌跡就是以定比為2內(nèi)分點(diǎn)C和外分點(diǎn)D的兩個(gè)分點(diǎn)的連線為直徑的圓.

評(píng)注 教師用幾何畫板來呈現(xiàn)阿波羅尼斯圓的畫法，為后面的變式做了一個(gè)很好的鋪墊，學(xué)生不用每次花費(fèi)大量時(shí)間來求點(diǎn)的軌跡方程.

師：好下面我們來看下面這道題：

變式1 已知平面向量a、b，滿足b=3，a=2b-a，則a的取值范圍是__________.

打好防范化解重大風(fēng)險(xiǎn)、精準(zhǔn)脫貧、污染防治的攻堅(jiān)戰(zhàn)是以習(xí)近平同志為核心的黨中央為決勝全面建成小康社會(huì)作出的重大決策部署。今年4月，習(xí)近平總書記主持召開中央財(cái)經(jīng)委員會(huì)第一次會(huì)議，明確提出了打好三大攻堅(jiān)戰(zhàn)的思路和舉措。財(cái)政部門要認(rèn)真學(xué)習(xí)貫徹習(xí)近平總書記重要指示要求，深刻領(lǐng)會(huì)打好三大攻堅(jiān)戰(zhàn)的深遠(yuǎn)意義，充分發(fā)揮財(cái)政職能作用，堅(jiān)決支持打好三大攻堅(jiān)戰(zhàn)。

圖4

很好我們?cè)賮砜催@樣一道題：

(2016學(xué)年杭州市第一次高考科目教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)高三數(shù)學(xué)檢測(cè)試卷理科第15題)

師：由已知條件我們能得到哪些信息？

評(píng)注 本題是2016學(xué)年杭州市第一次高考數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)的壓軸題，難度較大，但在授課教師的一步步鋪墊下，順利地達(dá)成了高落點(diǎn)的課堂教學(xué)效果.

在案例2的教學(xué)中，教師在介紹完阿氏圓的基礎(chǔ)上讓學(xué)生解決這樣一道向量題，過渡自然，充分體現(xiàn)了小臺(tái)階，小臺(tái)階正是學(xué)生的學(xué)習(xí)最近發(fā)展區(qū)的體現(xiàn).學(xué)生剛剛好可以把新學(xué)的阿氏圓的畫法利用起來，激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，同時(shí)又為后面的高落點(diǎn)的向量題做好了鋪墊.后面杭一模這道例題的選擇，考查了向量問題的多個(gè)知識(shí)點(diǎn)，學(xué)生沒有一定的功力是無從下手的，這就需要教師在平時(shí)的教學(xué)中注重?cái)?shù)學(xué)知識(shí)之間的聯(lián)系，提高學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)問題的整體的認(rèn)識(shí).

3 結(jié)束語

數(shù)學(xué)教學(xué)的終極目標(biāo)是培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，而高效課堂才能真正將核心素養(yǎng)落實(shí)到位.這就要求任課教師能夠充分利用課堂時(shí)間，通過優(yōu)化各種教學(xué)途徑，高效整合教學(xué)環(huán)節(jié)，使學(xué)生在課堂上能高效學(xué)習(xí).尤其在高三專題課的復(fù)習(xí)中，不能急于求成，一開場(chǎng)的例題就讓學(xué)生感覺到無從下手，從而漸漸對(duì)數(shù)學(xué)失去信心與興趣.低起點(diǎn)的例題有利于學(xué)生鞏固基礎(chǔ)知識(shí)，小臺(tái)階的變式有利于學(xué)生慢慢體會(huì)知識(shí)之間的聯(lián)系，高落點(diǎn)的落實(shí)能讓學(xué)生發(fā)散數(shù)學(xué)思維，提高解題能力.