張 強(qiáng)，陳 萍

（南京理工大學(xué) 理學(xué)院，南京210094）

0 引言

信度理論是一種基于歷史索賠數(shù)據(jù)來計(jì)算未來保費(fèi)的經(jīng)驗(yàn)厘定方法，它廣泛應(yīng)用于汽車保險(xiǎn)、工傷賠償金及賠款準(zhǔn)備金。當(dāng)代的信度理論歸功于Bühlmann[1]，他首次在現(xiàn)代統(tǒng)計(jì)決策理論框架下建立了無分布限制的信度理論，這為信度理論的發(fā)展奠定了統(tǒng)計(jì)基礎(chǔ)，關(guān)于信度理論的詳細(xì)介紹，可見Bü hlmann和Gisler[2]。

大批學(xué)者對(duì)信度理論進(jìn)行了研究，并建立了各種各樣的信度模型，這些信度模型極大地依賴于風(fēng)險(xiǎn)間的獨(dú)立性及時(shí)間分量上的條件獨(dú)立性。事實(shí)上，在保險(xiǎn)實(shí)務(wù)中，這種假設(shè)有時(shí)候是不成立的，風(fēng)險(xiǎn)間存在較強(qiáng)的相依性。近年來，關(guān)于風(fēng)險(xiǎn)間的相依性的研究引起了越來越多的精算研究者的重視。如，Yeo等[3]建立了風(fēng)險(xiǎn)具有隨機(jī)共同效應(yīng)的信度模型，得到了正態(tài)-正態(tài)分布下的信度公式。Wen等[4]推廣了Yeo等[3]，提出了共同效應(yīng)相依的無分布信度模型。之后，Wen和Deng[5]研究了風(fēng)險(xiǎn)等相關(guān)結(jié)構(gòu)的信度估計(jì)等。另一方面，多數(shù)學(xué)者對(duì)時(shí)間分量上相依的信度模型進(jìn)行了研究，具體包括鄭丹等[6]、Purcaru和Denuit[7,8]、Frees和Wang[9]。最近，Huang和Wu[10]研究了風(fēng)險(xiǎn)相依和時(shí)間效應(yīng)的信度模型。

然而，以上所提到的信度模型總是采用平方損失來刻畫保費(fèi)與風(fēng)險(xiǎn)的適合程度。有研究發(fā)現(xiàn)由于正(負(fù))誤差引起的損失不同，采用對(duì)稱損失函數(shù)得到的估計(jì)不準(zhǔn)確。因而，非對(duì)稱損失函數(shù)得到了廣泛的應(yīng)用，其中，平衡損失函數(shù)是一類常見的非對(duì)稱損失函數(shù)。Zellner[11]給出了如下形式的平衡損失函數(shù)：

其中δ0(X)為目標(biāo)估計(jì)，w∈[0，1]為已知的權(quán)重。

本文在平衡損失數(shù)下，研究了具有時(shí)間等相依及通脹因子的信度模型，分別得到了非齊次和齊次信度估計(jì)，并給出了結(jié)構(gòu)參數(shù)的無偏估計(jì)。

1 模型假設(shè)與準(zhǔn)備知識(shí)

假設(shè)某保單組合具有K種保單，每種保單含有ni年歷史索賠數(shù)據(jù)。記第i種保單前ni年歷史數(shù)據(jù)為 Xi=(Xi1，…Xin)′，則所有的歷史數(shù)據(jù)為 {Xij，i=1，2，…，K，j=1，2，…，ni}。類似于經(jīng)典信度模型的假設(shè)，認(rèn)為第i種保單未來索賠Xi，ni+1是由所有歷史索賠數(shù)據(jù)決定的。本文研究滿足如下假設(shè)的信度估計(jì)。

假設(shè)1 ：給定 Θi，隨機(jī)序列 Xij，j=1，2，…，ni具有條件期望 E(Xij|Θi)=rjμ(Θi)，條件方差 Var(Xij|Θi)=r2jσ2(Θi)以及條件協(xié)方差 Cov(Xis，Xit|Θi)=rsrtρ(Θi)，s≠t，i=1，2，…，k，其中r是通貨膨脹因子。

假設(shè)2：風(fēng)險(xiǎn)參數(shù) Θ1，Θ2，…，ΘK是相互獨(dú)立的，具有相同的結(jié)構(gòu)分布函數(shù) π(θ)，且有 E(μ(Θi))=μ ，E(σ2(Θi))=σ2，E(ρ(Θi))= ρ ，Var(μ(Θi))=τ2。本文的目的是基于所有的歷史數(shù)據(jù)，來預(yù)測(cè)未來時(shí)期的索賠 Xi，n+1的信度保費(fèi)，此時(shí)需解決如下最優(yōu)化問題：為了估計(jì) Xi，ni+1，定義下面兩類樣本的線性函數(shù)類，分別稱為樣本的非齊次和齊次函數(shù)類。所以 Xi，ni+1的非齊次估計(jì)?i，n+1與齊次信度估計(jì)分別定義為在各自線性函數(shù)類使得期望損失(2)最小。

為統(tǒng)計(jì)δ0(X)，引入記號(hào)：

為方便求解非齊次與齊次信度估計(jì)，下面給出一些準(zhǔn)備型的引理。

引理1：隨機(jī)變量Y在線性空間L(X，1)和Le(X)上的正交投影分別稱為Y的非齊次和齊次信度估計(jì)，即有:

其中Cov(X，Y)是Y與X的協(xié)方差矩陣，證明可見[2,4]。引理2：在假設(shè)1和假設(shè)2下，有以下結(jié)論成立

其中 Ri=(r，r2，…rnj)'

其中

其中

證明：（a）記 Θ=(Θ1，Θ2，…，ΘK)，由重期望公式，可得：E(Xi)=E(E(Xi|Θi))=E(μ(Θi)Ri)= μRi

從而：

（b）由協(xié)方差的雙重期望定理，有：從而，有:

所以有式（6）成立。

可得：

進(jìn)一步，可得式（7）。

下面將利用正交投影方法求解問題(2)，獲取未來索賠Xi，ni+1的非齊次和齊次信度估計(jì)。

2 信度估計(jì)

定理1：在假設(shè)1和假設(shè)2下，通過求解最小化問題（2），可得 Xi，ni+1的非齊次信度估計(jì)為：

證明：令Yi=(1-I)δ0i(X)+IXi，n+1,其中 I為獨(dú)立于其他變量的0-1隨機(jī)變量，且滿足P(I=0)=1-P(I=1)=w。則最小化問題(2)等價(jià)于：

由引理2，知 Xi，ni+1的信度估計(jì)為：

從Yi的定義有期望E(Yi)為：

事實(shí)上，E(X|I)=E(X)，從而：

所以協(xié)方差矩陣Cov(Yi，X)為：

利用引理1，計(jì)算可得：

而

故 Xi，ni+1的信度估計(jì)為：

此結(jié)果為經(jīng)典的B ü hlmann信度估計(jì)，具體可見B ü hlmann和Gisler[2]，本文的模型是其的一個(gè)推廣。

注 2 ：若取 δ0i(X)=rni+1，則有 E(δ0i(X))=rni+1μ ，通過計(jì)算可得：當(dāng)i≠j時(shí)，dij=0，當(dāng)i=j時(shí)+(ρ +τ2)，則

從而可得信度估計(jì)：

其中信度因子

當(dāng)μ未知時(shí)，定理1不能直接應(yīng)用，需將問題（2）的估計(jì)限定在樣本的齊次函數(shù)類中，來計(jì)算Xi，ni+1的齊次信度估計(jì)，結(jié)果敘述為下面的定理。

定理2：在假設(shè)1和假設(shè)2下，未來索賠 Xi，ni+1的齊次信度估計(jì)為：

其中，而Zi1，Zi2和定理1一致。

證明：由正交投影的平滑性：

注意到

進(jìn)而，令Y=μ，因?yàn)镃ov(μ，X)=0，所以：

從而式（17）成立。

在定理1和定理2中，本文給出了Xi，ni+1的非齊次和齊次信度估計(jì)，然而包含了未知的結(jié)構(gòu)參數(shù)μ，σ2，ρ和τ2。這需要利用歷史索賠數(shù)據(jù){Xij，i=1，2，…，K，j=1，2，…，ni}來估計(jì)。由定理2的證明，可知μ的一個(gè)無偏估計(jì)而 σ2，ρ 和 τ2的無偏估計(jì)由以下性質(zhì)給出。

性質(zhì)1：結(jié)構(gòu)參數(shù)σ2的無偏估計(jì)為：

因此：

性質(zhì)2：結(jié)構(gòu)參數(shù)ρ的無偏估計(jì)為：

所以：

性質(zhì)3：結(jié)構(gòu)參數(shù)τ2的無偏估計(jì)為：

從而：

利用雙重期望定理，有：

將式（24）至式（26）代入式（23），則：

所以 E(τ?2)= τ2。

3 數(shù)值模擬

下面將對(duì)定理1的結(jié)果進(jìn)行數(shù)值模擬。為了說明問題，假定 n1=n2=…nK=n，K=5，并且隨機(jī)向量 Xi～N(ΘiRi，Σ) 和 Θi～N(μ，τ2) ，i=1，…，K ，這 里 協(xié) 方 差 矩 陣

在模擬中，取 δ0i(X)=rni+1，r=1.05，μ=0.6 ，σ2=1.5，ρ=0.45和τ2=2.1。據(jù)以上的假設(shè)，產(chǎn)生偽隨機(jī)數(shù) Xij，j=1，…，n+1，i=1，2，…，5，其中{Xi，n+1，=1，2，…，5}為待估計(jì)的真實(shí)值，{Xij，j=1，2，…，n，i=1，2，…，5}為樣本值。通過式（10）和式（16），分別得到了信度估計(jì)，得到不同權(quán)重 w 下不同 n 時(shí)?i，n+1與與 Xi，n+1的均方誤差 MSE 和 MSEC，重復(fù)執(zhí)行10000次模擬，得到的結(jié)果如表1和表2所示。

表1 w=0.2時(shí)的模擬結(jié)果

表2 w=0.6時(shí)的模擬結(jié)果

4 結(jié)束語

本文在平衡損失函數(shù)下研究了具有時(shí)間效應(yīng)及通脹因子的信度保費(fèi)。利用正交投影方法，得到了未來保費(fèi)的非齊次和齊次信度估計(jì)。同時(shí)，給出了信度因子中未知結(jié)構(gòu)參數(shù)的無偏估計(jì)。這一結(jié)果推廣了經(jīng)典的信度模型，為非壽險(xiǎn)保險(xiǎn)公司厘定未來保費(fèi)提供理論依據(jù)。