摘要：在眾多求函數的值域問題中，有一類函數形如y=logm（ax2+bx+c），這類函數若從復合函數的角度來看，則可看成是由對數函數y=logmu和二次函數u=ax2+bx+c復合而成。對于這類函數，常見考察的題型有求函數的定義域、函數的值域、函數的單調區(qū)間等，本文具體探討了四種情況。

關鍵詞：復合函數；值域；二次函數；對數函數

一、 引言

在眾多求函數的值域問題中，有一類函數形如y=logm（ax2+bx+c），這類函數若從復合函數的角度來看，則可看成是由對數函數y=logmu和二次函數u=ax2+bx+c復合而成。對于這類函數，常見考察的題型有求函數的定義域、函數的值域、函數的單調區(qū)間等，其中函數的值域問題對于學生來說掌握起來有些困難，其實解決這類問題的關鍵是理解二次函數u=ax2+bx+c的值域就是對數函數y=logmu的定義域，先由ax2+bx+c>0求u=ax2+bx+c的定義域D（即解一元二次不等式），再求u=ax2+bx+c在定義域D下的值域M（即求二次函數在限定定義域下的值域問題），最后求y=logmu在定義域M下的值域（即求對數函數在限定定義域下的值域問題）。接下來本文主要從以下幾種情況來具體探討這類函數的值域問題。

二、 情況一：a>0，b2-4ac<0

（一） 實例

例1求y=log2（x2-4x+6）的值域

解：y=log2u，u=x2-4x+6

對于u=x2-4x+6由x2-4x+6>0解得定義域D=R，在此定義域下的值域M=[2，+∞），

對于y=log2u，定義域D'=[2，+∞），在此定義域下的值域M'=[1，+∞）

舉一反三：求y=log0.5（x2-4x+6）的值域

解：y=log0.5u，u=x2-4x+6

對于u=x2-4x+6由x2-4x+6>0解得定義域D=R，在此定義域下的值域M=[2，+∞），

對于y=log0.5u，定義域D'=[2，+∞），在此定義域下的值域M'=（-∞，-1]

（二） 小結

對于y=logm（ax2+bx+c），當a>0，b2-4ac<0時，ax2+bx+c>0恒成立，對于u=ax2+bx+c，定義域D=R，值域M=4ac-b24a，+

SymboleB@ ），對于y=logmu，定義域D=4ac-b24a，+

SymboleB@ ，值域：當m>1時，M=

logm（4ac-b24a），+

SymboleB@ ），當0

SymboleB@ ，logm（4ac-b24a）

三、 情況二：a>0，b2-4ac≥0

（一） 實例

例2求y=log2（x2-2x-3）的值域

解：y=log2u，u=x2-2x-3

對于u=x2-2x-3由x2-2x-3>0解得定義域D=（-∞，-1）∪（3，+∞），在此定義域下的值域M=（0，+∞），

對于y=log2u，定義域D'=（0，+∞），在此定義域下的值域M'=R

舉一反三：求y=log0.5（x2-2x+1）的值域

解：y=log0.5u，u=x2-2x+1

對于u=x2-2x+1由x2-2x+1>0解得定義域D=（-∞，1）∪（1，+∞），在此定義域下的值域M=（0，+∞），

對于y=log0.5u，定義域D'=（0，+∞），在此定義域下的值域M'=R

（二） 小結

對于y=logm（ax2+bx+c），當a>0，b2-4ac≥0時，ax2+bx+c>0，對于u=ax2+bx+c，值域M=（0，+∞），對于y=logmu，定義域D=（0，+∞），值域：M'=R

四、 情況三：a<0，b2-4ac>0

（一） 實例

例3求y=log2（-x2+2x+3）的值域

解：y=log2u，u=-x2+2x+3

對于u=-x2+2x+3由-x2+2x+3>0解得定義域D=（-1，3），在此定義域下的值域M=（0，4]，

對于y=log2u，定義域D'=（0，4]，在此定義域下的值域M'=（-∞，2]

舉一反三：求y=log0.5（-x2+2x+3）的值域

解：y=log0.5u，u=-x2+2x+3

對于u=-x2+2x+3由-x2+2x+3>0解得定義域D=（-1，3），在此定義域下的值域M=（0，4]，

對于y=log0.5u，定義域D'=（0，4]，在此定義域下的值域M'=[-2，+∞）

（二） 小結

對于y=logm（ax2+bx+c），當a<0，b2-4ac>0時，ax2+bx+c>0，對于u=ax2+bx+c，值域M=0，4ac-b24a，對于y=logmu，定義域D=0，4ac-b24a，值域：當m>1時，M'=-

SymboleB@ ，logm4ac-b24a，當0

SymboleB@

五、 情況四：a<0，b2-4ac≤0

對于y=logm（ax2+bx+c），當a<0，b2-4ac≤0時，ax2+bx+c>0的解集為空，因此這種情況不用討論。

參考文獻：

[1]武增明.用a·b≤|a|·|b|解兩類無理函數最值問題[J].數學教學，2006年11期.

[2]胡云浩.再談兩類無理函數的最值問題[J].數學教學，2007年05期.

[3]田彥武.解兩類無理函數最值問題的新視角[J].數學教學，2007年06期.

作者簡介：

肖天，江蘇省南京市，金陵高等職業(yè)技術學校。