林焰，楊建輝

（1.華南理工大學(xué) 工商管理學(xué)院，廣州 510640；2.北京大學(xué) 匯豐商學(xué)院，廣東 深圳 518055）

期權(quán)作為一種經(jīng)典的金融衍生品，在過去20年中創(chuàng)造出了巨大利潤。期權(quán)產(chǎn)品可分為看漲期權(quán)與看跌期權(quán)，按照執(zhí)行時間的不同又可劃分為歐式期權(quán)、美式期權(quán)以及百慕大期權(quán)。期權(quán)賦予持有者買賣某種標(biāo)的資產(chǎn)的權(quán)利，與遠(yuǎn)期合約與期貨合約等其他金融衍生品相比，它不具有強(qiáng)制性，這一特性使得期權(quán)被廣泛用于風(fēng)險對沖、交易投機(jī)與套利。但如果對其管理不善，基于杠桿作用所放大的損失也是巨大的。期權(quán)作為市場上交易的主要金融衍生品，準(zhǔn)確地預(yù)測期權(quán)價格將有助于投資者制定決策并降低風(fēng)險。

1 問題描述

傳統(tǒng)的期權(quán)定價方法依賴于參數(shù)化模型。Black等[1]基于Black-Scholes微分方程（B-S 微分方程）提出了第1個完整的期權(quán)定價公式，奠定了期權(quán)定價理論研究的基礎(chǔ)。但Black-Scholes歐式期權(quán)定價模型（B-S模型）所基于的一系列假設(shè)在現(xiàn)實(shí)中并非都成立，期權(quán)價格往往受到眾多其他因素的影響，例如投資者情緒、市場政策以及股息等。因此，許多學(xué)者對傳統(tǒng)期權(quán)定價模型進(jìn)行了改進(jìn)。其中，Merton[2-3]對該定價模型做了重要的推廣，他在資產(chǎn)價格變化過程中加入了Poisson 跳躍擴(kuò)散成分，從而提出了跳躍擴(kuò)散模型。但不管是B-S模型還是跳躍擴(kuò)散模型都無法刻畫出期權(quán)價格的“尖峰厚尾”現(xiàn)象。后來，學(xué)者們又相繼提出了包括二叉樹法、蒙特卡洛模擬法、有限差分法、區(qū)間定價法以及ε-套利定價法等參數(shù)模型。但傳統(tǒng)參數(shù)模型中的假設(shè)均或多或少偏離了真實(shí)市場，因此所計(jì)算出的期權(quán)價格往往與真實(shí)市場中的價格有一定偏差。

為了使計(jì)算出的期權(quán)價格更貼近實(shí)際情況，近年來的研究中，非參數(shù)模型受到學(xué)者們的關(guān)注。其中，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)由于其強(qiáng)大的擬合與預(yù)測能力而被廣泛應(yīng)用。最早將神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法用于期權(quán)定價研究的是Hutchinson等[4]，他們以一個兩年期的實(shí)值期權(quán)為樣本，利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)從中得出一個與B-S模型充分逼近的定價模型，并對S&P500指數(shù)期貨期權(quán)進(jìn)行了實(shí)證研究，結(jié)果優(yōu)于B-S模型。Qi等[5]將B-S模型的變量作為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸入，將期權(quán)價格作為輸出，以S&P500 指數(shù)看漲期權(quán)作為訓(xùn)練樣本，實(shí)證表明，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)期權(quán)定價能力比傳統(tǒng)的B-S模型更好；同時提出，只要有足夠長時間標(biāo)的資產(chǎn)的收盤價格，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)可以有效地反映出其波動率。Lajbcygier等[6]將不同結(jié)構(gòu)的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)與各種參數(shù)化模型進(jìn)行對比，實(shí)證結(jié)果表明，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的期權(quán)定價方法優(yōu)于各種參數(shù)化模型。張鴻彥等[7]建立了混合神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和遺傳算法相結(jié)合的期權(quán)價格預(yù)測模型，在對香港金融衍生品市場的實(shí)證中表明該模型的預(yù)測結(jié)果要優(yōu)于傳統(tǒng)的B-S模型。

傳統(tǒng)的研究中多采用BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)原理較簡單，理論上可以逼近任意的連續(xù)函數(shù)，但BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法也存在收斂速度慢并且容易陷入局部極小值點(diǎn)等缺點(diǎn)。單純使用BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)其預(yù)測精度必然會受到干擾，因此，本文采用改進(jìn)的粒子群算法（MPSO）對傳統(tǒng)的BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行參數(shù)與結(jié)構(gòu)優(yōu)化，再用于期權(quán)價格的預(yù)測。

本文的主要工作分為3個階段：第1階段，對粒子群算法（PSO）進(jìn)行改進(jìn)，利用改進(jìn)后的算法對BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型進(jìn)行參數(shù)與結(jié)構(gòu)優(yōu)化；第2階段，考慮到權(quán)證對應(yīng)的股票價格的歷史波動率是對市場信息的一種反饋，利用廣義自回歸條件方差模型[8]（GARCH 模型）對股票價格的歷史波動率進(jìn)行預(yù)測，并將基于GARCH 模型所獲取的波動率作為改進(jìn)的BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸入變量；第3階段，進(jìn)一步考慮投資者情緒對期權(quán)價格的影響，通過構(gòu)造剔除基本因素的投資者情緒復(fù)合指數(shù)，并將其作為改進(jìn)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸入變量。最后，隨機(jī)選取國內(nèi)10支權(quán)證的收盤價格進(jìn)行實(shí)證研究。結(jié)果表明，考慮了投資者情緒后的MPSO-BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型學(xué)習(xí)速度更快、預(yù)測精度更高，更加接近市場上真實(shí)的期權(quán)價格。

2 B-S期權(quán)定價模型

傳統(tǒng)理論認(rèn)為期權(quán)的標(biāo)的資產(chǎn)價格Pt遵循幾何布朗運(yùn)動，并且期權(quán)的價格是時間與股票價格的函數(shù)，即Gt=G（Pt，t）。根據(jù)伊藤引理與無套利假設(shè)，Black等[1]在求解B-S 微分方程的基礎(chǔ)上得到如下B-S歐式期權(quán)定價模型：

式中：Gt為看漲期權(quán)的價格；Pt為標(biāo)的資產(chǎn)的價格；K為交割價格；?（x）為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)在x處的取值；T-t為距離到期日的時間間隔；r為無風(fēng)險利率；σ為標(biāo)的資產(chǎn)價格的波動率。

B-S模型中波動率服從正態(tài)分布，但在實(shí)際市場中，標(biāo)的資產(chǎn)價格存在“波動率微笑”現(xiàn)象，并非服從正態(tài)分布。因此，B-S模型具有系統(tǒng)性的定價偏差?？紤]到大多數(shù)股票價格波動率均具有“尖峰厚尾”現(xiàn)象[9]，故本文運(yùn)用GARCH 模型對權(quán)證股票的歷史波動率進(jìn)行測算。

3 MPSO-BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型

3.1 BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)

BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)屬于多層前向性神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的一種，在該網(wǎng)絡(luò)中，信號前向傳遞，而誤差反向傳遞。信號在逐層傳遞的過程中根據(jù)預(yù)測誤差不斷調(diào)整網(wǎng)絡(luò)的權(quán)值與閾值，從而逐漸逼近期望輸出。因此，它具有很強(qiáng)的非線性映射能力。BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)如圖1所示。

圖1 BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)

BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)通常由輸入層、隱含層和輸出層3部分組成。設(shè)輸入層共有N個輸入向量元素，每個輸入均被賦予一定的權(quán)值w ij。輸入向量X=｛x1，x2，…，x n｝，其中X i為第i個輸入向量，X i=｛x i1，x i2，…，x ip｝T，i=1，2，…，n。隱層有S個神經(jīng)元組成，隱層第j個神經(jīng)元的輸出為

式中：f（·）為隱層激活函數(shù)；w ij為輸入層第i個向量與隱層第j個神經(jīng)元間的連接權(quán)值；aj為第j個神經(jīng)元的閾值，即

輸出層的輸出個數(shù)為M，期望輸出向量Y=｛y1，y2，…，y m｝，則輸出層神經(jīng)元的輸入輸出關(guān)系為

式中：y k為輸出層第k個神經(jīng)元的輸出值；w kj為輸出層第k個神經(jīng)元與隱層第j個神經(jīng)元間的向量權(quán)值。

BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在進(jìn)行訓(xùn)練的過程中，根據(jù)網(wǎng)絡(luò)的預(yù)測輸出Ok與期望輸出Y k之間的誤差e k不斷地進(jìn)行權(quán)值和閾值更新，直至誤差滿足設(shè)定要求或達(dá)到最大迭代次數(shù)，算法迭代才結(jié)束。

網(wǎng)絡(luò)預(yù)測誤差為

權(quán)值w ij、w kj和閾值a j、bk的更新函數(shù)分別為：

式（8）～（10）中，θ為學(xué)習(xí)速率。

3.2 PSO 算法及改進(jìn)

粒子群算法最早由Kennedy等[10]提出，該算法來源于對鳥群覓食過程中遷徙和聚集行為的模擬，是一種群體智能的優(yōu)化方法。在每個優(yōu)化問題中，每個候選均解釋為搜索空間中的一個粒子，每個粒子均有一個由目標(biāo)函數(shù)決定的適應(yīng)度值，粒子向搜索空間中飛行的過程即搜尋最優(yōu)解的過程，粒子飛行的方向與距離由其速度決定。在飛行過程中，粒子均會根據(jù)飛行經(jīng)驗(yàn)不斷調(diào)整飛行狀態(tài)，直至尋找到最優(yōu)解。

設(shè)在一個N維的目標(biāo)搜索空間中，PSO 算法中由M個粒子組成一個群落，每個粒子在空間中的位置均用一個N維向量表示，記第i個粒子是位置向量X i=｛x1，x2，…，x n｝，該向量X i為一個潛在解。每個粒子具有自身的速度參數(shù)，分別記為V i=｛v1，v2，…，vn｝。粒子在飛行過程中，速度和位置狀態(tài)隨著每次迭代不斷更新。每次迭代中，每個粒子都會記錄下已獲取的最優(yōu)解，即個體極值Si=｛si1，si2，…，sin｝，整個 粒子群記錄下的最優(yōu)全局極值，記為Sg=｛sg1，sg2，…，sgn｝。在第k+1次迭代時，粒子根據(jù)個體極值與全局極值更新其速度與位置的規(guī)則為：

式中：w為慣性權(quán)重，是用于控制速度的權(quán)重一般取值為（0.1，0.9）；k為當(dāng)前迭代次數(shù)；c1為粒子自身向全局最優(yōu)位置調(diào)節(jié)的前進(jìn)步長，c2為粒子向種群最優(yōu)位置調(diào)節(jié)的步長，c1、c2統(tǒng)稱為加速系數(shù)；r1、r2為（0，1）上的隨機(jī)數(shù)。

雖然粒子群算法具有易實(shí)現(xiàn)、收斂快以及搜索能力強(qiáng)的特點(diǎn)，但粒子群算法容易陷入局部最優(yōu)值從而降低尋優(yōu)精度。為了克服上述缺點(diǎn)，本文借鑒遺傳算法中的變異思想，將單點(diǎn)變異算子引入PSO算法中[11]。在算法進(jìn)行尋優(yōu)的過程中，使某些粒子具有自適應(yīng)變異功能，從而使陷入局部最優(yōu)極值的粒子跳出當(dāng)前位置，拓展了粒子群的搜索空間，提高了PSO 算法的尋優(yōu)能力。

單點(diǎn)變異算子原理如圖2所示，首先對父代基因序列隨機(jī)產(chǎn)生變異點(diǎn)，再根據(jù)變異點(diǎn)位置改變對應(yīng)位置的基因值。在傳統(tǒng)的遺傳算法中，變異算子均采用非均勻變異算子。將單點(diǎn)變異算子引入粒子群算法中，單點(diǎn)變異算子隨機(jī)選取粒子進(jìn)行變異，選中的粒子在每次更新后能夠以特定的概率初始化，從而跳出局部最優(yōu)值位置。

圖2 單點(diǎn)變異算子操作示意圖

對粒子群算法進(jìn)行自適應(yīng)變異優(yōu)化后，進(jìn)化過程中最優(yōu)個體適應(yīng)度值變化如圖3所示。通過對比可知，將單點(diǎn)變異算子引入粒子群算法后，粒子能夠較快地跳出局部極小值，收斂速度與尋優(yōu)精度均有所提高。

圖3 最優(yōu)個體適應(yīng)度值對比

3.3 基本輸入變量

根據(jù)B-S期權(quán)定價模型，影響期權(quán)價格的變量分別為：資產(chǎn)標(biāo)的價格、期權(quán)執(zhí)行價格K、距離到期時間的間隔、無風(fēng)險利率r和資產(chǎn)波動率σ。其中，前4個變量均已知。B-S模型中波動率σ為常數(shù)，但標(biāo)的資產(chǎn)價格的波動率實(shí)際上是不斷變化的，為了對波動率進(jìn)行更精準(zhǔn)的估計(jì)，考慮采用GARCH 模型對波動率進(jìn)行估計(jì)：

式中：αt=μt-為關(guān)于方差在t時刻的新息；σt為t時刻的波動率；αi和βi均為參數(shù)，可用最大似然法估計(jì)。因此，可以根據(jù)歷史值準(zhǔn)確計(jì)算出特定時刻的波動率大小。

GARCH 模型可以很好地解釋產(chǎn)生在金融時間序列中的“波動率聚集”現(xiàn)象。此外，GARCH 過程分布的尾部比正態(tài)分布厚，滿足資產(chǎn)價格分布的“尖峰厚尾”現(xiàn)象。因此，基于GARCH 模型估計(jì)獲得的資產(chǎn)價格波動率更加貼近實(shí)際情況。

3.4 考慮投資者情緒的影響

傳統(tǒng)理論通過構(gòu)建數(shù)學(xué)模型對期權(quán)價格進(jìn)行估計(jì)，但實(shí)證表明，期權(quán)價格除了受到上述5個基本變量的影響，還會受到投資者情緒的干擾[12]。如果投資者普遍認(rèn)為市場行情較好，過熱的投資者情緒很容易推動期權(quán)價格與成交量的上漲；相反，如果市場行情不佳，低落的投資者情緒很容易減少成交數(shù)量并拉低期權(quán)價格。隨著研究的推進(jìn)，越來越多的學(xué)者認(rèn)為投資者情緒的影響對衍生品定價，尤其是對期權(quán)的價格不可忽略[13-14]。

為了準(zhǔn)確度量投資者情緒對期權(quán)價格的影響，本文采用Baker等[15-16]所提出的基于主成分分析法構(gòu)建的投資者情緒復(fù)合指標(biāo)，并進(jìn)一步剔除基本因素的影響。首先借鑒國內(nèi)外已有的研究成果，篩選出最具有代表性的投資者情緒度量指標(biāo)；其次，為了進(jìn)一步剔除基本因素對投資者情緒的影響，將原始情緒指標(biāo)對主要的宏觀經(jīng)濟(jì)變量進(jìn)行回歸，并將回歸得到的殘差作為主要變量進(jìn)行主成分分析；最后，對通過主成分分析提取出主成分對主要宏觀經(jīng)濟(jì)變量進(jìn)行檢驗(yàn)，從而驗(yàn)證投資者復(fù)合指標(biāo)的純度與代表性。并將“提純”后的投資者情緒復(fù)合指標(biāo)作為改進(jìn)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸入變量之一融入到模型中。

因此，考慮投資者情緒之后的改進(jìn)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)期權(quán)定價模型在原有5個變量的基礎(chǔ)上，再添加剔除了基本因素影響后的投資者情緒復(fù)合指標(biāo)作為模型的輸入。

3.5 基于改進(jìn)的PSO-RBF的期權(quán)定價模型

BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法的參數(shù)是決定其準(zhǔn)確性的關(guān)鍵。如圖4所示，將改進(jìn)后的粒子群算法用于訓(xùn)練BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的方差、權(quán)值與中心值，可以優(yōu)化神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的參數(shù)與網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，同時進(jìn)一步提高神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的準(zhǔn)確性與收斂速度。具體訓(xùn)練步驟：

（1）樣本預(yù)處理。將樣本數(shù)據(jù)歸一化，使所有數(shù)據(jù)處于（0，1）范圍內(nèi)，即

圖4 基于改進(jìn)的PSO 算法優(yōu)化BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)參數(shù)流程圖

式中：｛x i｝為輸入原始數(shù)據(jù)；｛y i｝為歸一化后的輸出數(shù)據(jù)；max（x i）、min（x i）分別為原始數(shù)據(jù)的最大值和最小值。

（2）參數(shù)初始化。生成種群粒子并將參數(shù)w ij、w kj賦予隨機(jī)值用以初始化粒子位置、速度以及種群規(guī)模。

（3）計(jì)算評價函數(shù)。對改進(jìn)的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型輸入訓(xùn)練樣本，得到輸入輸出響應(yīng)后，選用平均誤差的絕對值作為改進(jìn)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的評價函數(shù)。根據(jù)適應(yīng)度公式計(jì)算適應(yīng)度值，最后確定個體與種群的最優(yōu)值。適應(yīng)度公式定義為

式中：yik為訓(xùn)練輸出值；d ik為期望值；N為訓(xùn)練樣本個數(shù)；M為輸出神經(jīng)元個數(shù)。

（4）每一次迭代根據(jù)式（6）、（7）更新位置與速度信息。在單點(diǎn)變異算子作用下，每次更新均以一定概率初始化粒子群；如果根據(jù)式（8）、（9）得出的值更優(yōu)，則重新設(shè)定個體極值與種群極值的新值。

（5）判斷是否達(dá)到最大迭代次數(shù)或是否滿足優(yōu)化目標(biāo)。滿足條件終止算法；否則，返回（3）。

4 實(shí)證分析與比較

4.1 樣本數(shù)據(jù)的獲取與預(yù)處理

為了驗(yàn)證改進(jìn)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的有效性，本節(jié)以大智慧與萬德數(shù)據(jù)庫中的國內(nèi)已摘牌權(quán)證的歷史價格為研究對象。選擇鞍鋼JTCI認(rèn)購權(quán)證價格的歷史數(shù)據(jù)作為實(shí)證分析例子，并從國內(nèi)55支已摘牌權(quán)證中隨機(jī)選取其余9支認(rèn)購權(quán)證的歷史價格進(jìn)行實(shí)證分析。

樣本數(shù)據(jù)為看漲期權(quán)的日數(shù)據(jù)，因此，時間間隔T-t=1。選取當(dāng)時的3個月銀行sing存款利率為無風(fēng)險利率r。敲定價格K可以從權(quán)證上市公告書獲取。由于鞍鋼JTCI認(rèn)購權(quán)證所對應(yīng)的股票為鞍鋼股份，鞍鋼JTCI發(fā)行時間為2005-12-05～2006-11-28，故選取2005-11-01～2006-11-28共計(jì)262天的股票收盤價格的對數(shù)收益率時間序列作為建立估計(jì)波動率的GARCH 模型的樣本，然后估計(jì)模型參數(shù)的估計(jì)與建模。

為了判斷樣本對數(shù)收益率時間序列是否存在ARCH 效應(yīng)，首先觀察對數(shù)收益率分布直方圖是否滿足正態(tài)性。由圖5可以發(fā)現(xiàn)，對數(shù)收益率的分布具有較為明顯的尖峰厚尾現(xiàn)象，通過J-B 檢驗(yàn)拒絕了其正態(tài)性假設(shè)。

圖5 鞍鋼JTCI對數(shù)收益率直方圖

接下來，進(jìn)一步檢驗(yàn)對數(shù)收益率時間序列的平穩(wěn)性以及相關(guān)性。由表1可見，單位根檢驗(yàn)中的P值接近0，表明序列平穩(wěn)。再進(jìn)行自相關(guān)和偏相關(guān)檢驗(yàn)，結(jié)果如圖6所示，說明序列存在明顯的一階、二階自相關(guān)。利用拉格朗日乘數(shù)檢驗(yàn)法對殘差進(jìn)行檢驗(yàn)，通過F檢驗(yàn)，可見，對數(shù)收益率時間序列的確存在較為明顯的ARCH 效應(yīng)，可以建立GARCH 模型。

表1 鞍鋼JTCI對數(shù)收益率單位根檢驗(yàn)

圖6 鞍鋼JTCI對數(shù)收益率自相關(guān)、偏相關(guān)分析圖

利用EViews8.0估計(jì)GARCH 模型的參數(shù)，并在5%的顯著水平下進(jìn)行有效性檢驗(yàn)。檢驗(yàn)結(jié)果如表2所示。

表2 鞍鋼JTCI對數(shù)收益率GARCH 參數(shù)估計(jì)結(jié)果

鞍鋼JTCI對數(shù)收益率序列滿足GARCH（1，2）模型，并且所有參數(shù)P值均通過檢驗(yàn)。因此，建立的GARCH（1，2）模型為

為了進(jìn)一步驗(yàn)證模型的有效性，采用ARCHLM 檢驗(yàn)法對已經(jīng)建立的GARCH（1，2）模型的殘差在滯后4階下進(jìn)行ARCH 效應(yīng)檢驗(yàn)，檢驗(yàn)結(jié)果如表3所示。根據(jù)F統(tǒng)計(jì)量與P值結(jié)果，不能拒絕模型中不存在ARCH 效應(yīng)的原假設(shè)，因此所建立的模型中殘差已經(jīng)不存在ARCH 效應(yīng)，該模型有效。

表3 GARCH(1，2)模型的ARCH-LM 檢驗(yàn)結(jié)果

利用Eviews8.0 獲取所建立模型的擬合對比圖，如圖7所示，通過對實(shí)際數(shù)據(jù)與殘差效果的對比，模型的殘差大部分落在5%以內(nèi)。可見，該模型的擬合效果較為理想。

圖7 基于鞍鋼JTCI的GARCH（1，2）模型擬合對比圖

根據(jù)上述步驟，分別對其余9支認(rèn)購權(quán)證所對應(yīng)的股票價格對數(shù)收益率時間序列建立GARCH模型，并對所建立的模型的殘差分別進(jìn)行ARCHLM 檢驗(yàn)。若模型中的殘差還保留ARCH 效應(yīng)，則需要進(jìn)一步修正模型，分別對GARCH 模型的階數(shù)作進(jìn)一步調(diào)整，直至ARCH-LM 檢驗(yàn)結(jié)果的P＜5% 的臨界值，說明殘差中的ARCH 效應(yīng)已經(jīng)被剔除干凈。最后，獲得所有模型的參數(shù)估計(jì)結(jié)果如表4所示。

表4 GARCH 模型參數(shù)估計(jì)

選取的10支認(rèn)購權(quán)證中有4支備兌權(quán)證，6支股本權(quán)證。由于備兌權(quán)證由第三方機(jī)構(gòu)發(fā)行，不需要增發(fā)股票，而股本權(quán)證由上市公司發(fā)行，并會因?yàn)樵黾涌偣杀径鴮?dǎo)致價格稀釋，故在對股本權(quán)證進(jìn)行定價時需要考慮“稀釋效應(yīng)”[17]。此外，還要充分考慮每只權(quán)證因除息而對行權(quán)價格與行權(quán)比例的調(diào)整。選取的每支權(quán)證的上市日期以及存續(xù)時間有一定差異，因此，可以減少特定時間段內(nèi)的不確定因素對定價造成的偏差。

4.2 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)與參數(shù)的確定

利用改進(jìn)粒子群算法優(yōu)化BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的流程如圖4所示，本文采用3層BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，隱層與輸出層的激活函數(shù)選用tansig傳遞函數(shù)，同時采用Levenberg-Marquardt算法作為BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的訓(xùn)練函數(shù)。BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的學(xué)習(xí)步長設(shè)定為0.01，最大訓(xùn)練次數(shù)設(shè)定為500，最大容許誤差設(shè)為0.001。

BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)中對模型精度影響最大的是隱層節(jié)點(diǎn)數(shù)的確定，它由輸入輸出的參數(shù)個數(shù)共同決定。傳統(tǒng)的B-S期權(quán)定價模型共有5個輸入變量，分別為：資產(chǎn)標(biāo)的價格Pt、期權(quán)執(zhí)行價格K、距離到期時間、無風(fēng)險利率和資產(chǎn)波動率，輸出變量為期權(quán)價格Gt。采用下式用于確定最佳隱含層節(jié)點(diǎn)數(shù)[18]：

式中：l為隱含層節(jié)點(diǎn)數(shù)；m、n分別為輸入、輸出變量個數(shù)；a為（0，10）間的常數(shù)。

由于不同的輸入變量與輸入數(shù)據(jù)均會影響最佳節(jié)點(diǎn)數(shù)的選擇，基于傳統(tǒng)模型的5個輸入變量，首先根據(jù)式（18）確定最佳節(jié)點(diǎn)數(shù)的大概范圍，然后采用試湊法在不同的隱層節(jié)點(diǎn)數(shù)下各迭代200次篩選出預(yù)測整體預(yù)測誤差相對較小的節(jié)點(diǎn)數(shù)。預(yù)測誤差與隱層節(jié)點(diǎn)數(shù)的關(guān)系如圖8所示。由圖8可見，BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的預(yù)測誤差隨隱層節(jié)點(diǎn)數(shù)的增加整體呈現(xiàn)先減后增的趨勢，故可得最佳的隱層節(jié)點(diǎn)數(shù)為9。因此。改進(jìn)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的最優(yōu)結(jié)構(gòu)為5-9-1。

圖8 隱層節(jié)點(diǎn)數(shù)與預(yù)測誤差率關(guān)系示意圖

為了進(jìn)一步提高神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的預(yù)測精度，采用改進(jìn)的粒子群算法用于優(yōu)化BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的權(quán)值與閾值。粒子群算法中的每個粒子代表神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的權(quán)值與閾值，通過粒子尋優(yōu)獲取權(quán)值與閾值的最優(yōu)解。每個粒子維數(shù)為2，種群規(guī)模設(shè)定為50，進(jìn)化次數(shù)為500，加速度系數(shù)設(shè)置c1=c2=1.494 45；同時，為了避免粒子盲目搜索，位置與速度的限制區(qū)間設(shè)定為（-5，5）和（-1，1）。

根據(jù)初始設(shè)定的參數(shù)可以得到BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的初始權(quán)值與閾值，由于改進(jìn)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的最優(yōu)結(jié)構(gòu)為5-9-1，故輸入層與隱層間共有45個權(quán)值，隱層節(jié)點(diǎn)的閾值有9個，隱層與輸出層間共有9個權(quán)值，輸出層節(jié)點(diǎn)的閾值則有9個。再根據(jù)訓(xùn)練數(shù)據(jù)獲得權(quán)證的預(yù)測價格，之后將權(quán)證預(yù)測價格與權(quán)證的實(shí)際價格的誤差絕對值作為個體適應(yīng)度值，種群粒子的適應(yīng)度越小，則說明個體越優(yōu)。最后，將改進(jìn)粒子群算法得到的最優(yōu)個體值賦予BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的權(quán)值與閾值，即可得到基于改進(jìn)粒子群算法優(yōu)化下的BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型。

4.3 投資者情緒復(fù)合指數(shù)的構(gòu)造

構(gòu)造能有效反應(yīng)投資者情緒的復(fù)合指標(biāo)的首要問題就是代理變量的選取。選取具有代表性的相關(guān)變量作為主成分分析指標(biāo)時，需要同時考慮指標(biāo)的有效性以及可獲取性。結(jié)合已有研究成果以及目前我國國內(nèi)衍生品交易市場的實(shí)際情況[19-21]，本文選取的指標(biāo)包括：A 股換手率Turn、投資者新增開戶數(shù)O、消費(fèi)者信心指數(shù)C、好淡指數(shù)H以及股票市場成交量Vol?？紤]到本文中用于實(shí)證的權(quán)證價格歷史數(shù)據(jù)的時間跨度為2005-12～2011-08，因此，選取相相應(yīng)時間段的投資者情緒變量的月度數(shù)據(jù)共計(jì)69個觀測值，所有數(shù)據(jù)先經(jīng)過標(biāo)準(zhǔn)化后再進(jìn)行主成分分析。

根據(jù)Baker等投資者情緒復(fù)合指數(shù)[15-16]構(gòu)建的方法，首先需要提前確定各個變量的提前滯后關(guān)系。選取所有5個指標(biāo)的當(dāng)期值以及滯后值共10個指標(biāo)，利用主成分分析法構(gòu)建一個綜合指數(shù)Comp，經(jīng)過檢驗(yàn)，KMO 值為0.672，Bartlett球度檢驗(yàn)的P值為0.000，P＜5%的顯著水平說明可以進(jìn)行主成分分析。

再分別計(jì)算綜合指數(shù)Comp與各個變量當(dāng)期值與滯后期值的相關(guān)系數(shù)，相關(guān)系數(shù)越高，說明變量中含有的投資者情緒因素越多。相關(guān)性分析結(jié)果如表5所示，根據(jù)各個變量當(dāng)期數(shù)據(jù)和滯后一期值分別與綜合指數(shù)Comp的相關(guān)系數(shù)對比結(jié)果。因此，分別選擇換手率和好淡指數(shù)的當(dāng)期值，投資者新增開戶數(shù)、消費(fèi)者信心指數(shù)以及股票市場成交量的滯后一期值作為構(gòu)建投資者情緒復(fù)合指數(shù)的指標(biāo)。

表5 綜合指數(shù)與各個變量間的相關(guān)系數(shù)表

由于用于構(gòu)建投資者情緒的主要指標(biāo)中除了反應(yīng)投資者情緒的因素外，也包含了宏觀經(jīng)濟(jì)等基本因素。為了獲得更“純”的投資者情緒復(fù)合指數(shù)，采用Baker等[15-16]的方法進(jìn)一步剔除基本因素的影響。首先，選取消費(fèi)價格指數(shù)CPI、宏觀經(jīng)濟(jì)景氣指數(shù)MCI以及國內(nèi)生產(chǎn)總值GDP等3個變量作為宏觀經(jīng)濟(jì)變量的主要指標(biāo)[20-21]，但是由于國內(nèi)生產(chǎn)總值為季度數(shù)據(jù)，考慮到其數(shù)據(jù)特性，故采用工業(yè)增加值的同比增長率IAV 作為替代[20]，所有數(shù)據(jù)來源于萬德數(shù)據(jù)庫，均為月度數(shù)據(jù)，其時間跨度與權(quán)證歷史價格數(shù)據(jù)保持一致。將上述5個變量分別與3個宏觀經(jīng)濟(jì)變量進(jìn)行回歸，并通過檢驗(yàn)結(jié)果不斷調(diào)整回歸的變量個數(shù)直到方程和系數(shù)顯著性通過檢驗(yàn)。最后，采用相應(yīng)的殘差作為主成分分析的變量。

主成分分析結(jié)果如表6 所示。經(jīng)檢驗(yàn)，KMO值為0.612，Bartlett球度檢驗(yàn)的P值為0.000，因此，可以進(jìn)行主成分分析。通過主成分分析法共提取出兩個主成分，特征根均大于1，并且累計(jì)解釋率達(dá)到86.071%。公因子方差分析結(jié)果表明，原始變量中的提取信息率均在80.8%以上，因此，主成分分析的效果較好。

表6 主成份分析結(jié)果

最后，通過初試因子載荷矩陣中的所有系數(shù)除以主成分特征值的平方根得出主成分系數(shù)向量，再與標(biāo)準(zhǔn)化后的變量殘差數(shù)據(jù)相乘得出每個主成分表達(dá)式，并根據(jù)每個主成分的貢獻(xiàn)率大小進(jìn)行加權(quán)求和，便可得到最后的投資者情緒復(fù)合指數(shù)Sentiment。

為了驗(yàn)證所獲得的投資者情緒復(fù)合指數(shù)是否較純，將復(fù)合指數(shù)分別與3個標(biāo)準(zhǔn)化后的宏觀經(jīng)濟(jì)變量進(jìn)行相關(guān)性分析，結(jié)果如表7所示。由相關(guān)性分析結(jié)果可見，復(fù)合指數(shù)與主要3個宏觀經(jīng)濟(jì)變量的相關(guān)系數(shù)均小于0.1，P＞10%，說明指數(shù)Sentiment與其他3個宏觀經(jīng)濟(jì)變量不存在相關(guān)性。由于本文并未將無風(fēng)險利率作為主要宏觀經(jīng)濟(jì)變量加以分析，為了進(jìn)一步驗(yàn)證結(jié)果的真實(shí)性，采用標(biāo)準(zhǔn)化后的3個月定期銀行存款利率作為無風(fēng)險利率指標(biāo)，與所構(gòu)造的投資者情緒復(fù)合指數(shù)進(jìn)行相關(guān)性分析，相關(guān)系數(shù)絕對值小于0.1，同樣不能拒絕兩者不存在相關(guān)性的原假設(shè)，說明此時復(fù)合指數(shù)已經(jīng)將基本因素剔除干凈。

表7 投資者情緒復(fù)合指數(shù)與宏觀經(jīng)濟(jì)變量相關(guān)性分析

4.4 實(shí)證結(jié)果

實(shí)證中采用的10支認(rèn)購權(quán)證共計(jì)4 087個數(shù)據(jù)，其中每只權(quán)證抽取50個數(shù)據(jù)作為測試集，測試樣本共計(jì)500個數(shù)據(jù)，其余3 587個數(shù)據(jù)作為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的訓(xùn)練樣本。將訓(xùn)練樣本預(yù)處理后，按照圖4所示的訓(xùn)練步驟對樣本進(jìn)行訓(xùn)練，并利用改進(jìn)的粒子群算法確定BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的權(quán)重以及網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，同時研究B-S模型、BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、PSO-BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)以及MPSO-BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)4種方法的期權(quán)價格預(yù)測精度。本文采用平均相對預(yù)測誤差作為模型的評價標(biāo)準(zhǔn)，即

首先針對改進(jìn)的PSO-BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的有效性進(jìn)行實(shí)證，同時選擇B-S模型、BP神經(jīng)以及PSOBP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行對比研究，迭代次數(shù)為500。該部分不考慮投資者情緒的影響，因此，輸入變量為5個，實(shí)證結(jié)果如表8所示。

表8 各模型預(yù)測結(jié)果MPD比較

由表8可見，傳統(tǒng)B-S模型對期權(quán)價格的預(yù)測精度較差，相比于參數(shù)化模型，3種BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對期權(quán)價格的預(yù)測能力有所加強(qiáng)，說明了BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型用于期權(quán)定價的可行性。其中改進(jìn)的PSOBP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)混合模型對期權(quán)價格預(yù)測精度有了很大的提高，說明了本文所提出的MPSO-BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型優(yōu)于傳統(tǒng)的BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)以及PSO-BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)。并且，根據(jù)GARCH 模型預(yù)測標(biāo)的資產(chǎn)價格的歷史波動率更符合實(shí)際情況，提高了權(quán)證的定價精度。

最后，為了驗(yàn)證投資者情緒對期權(quán)價格的影響，選取BP、PSO-BP及MPSO-BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型進(jìn)行實(shí)證對比，由于B-S模型不考慮投資者情緒對期權(quán)價格的影響，故只選取3種神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型，迭代次數(shù)為500，其余參數(shù)設(shè)置不變。本文對BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、PSO-BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)及MPSO-BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的輸入作出改變，在原來的5個輸入變量基礎(chǔ)上增加反應(yīng)投資者情緒的復(fù)合指數(shù)Sentiment。此時，由于輸入變量變?yōu)?個，需要重新按4.2節(jié)步驟確定改進(jìn)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的結(jié)構(gòu)與相關(guān)參數(shù)，同樣利用式（18）與試湊法確定隱層節(jié)點(diǎn)數(shù)的大致范圍。最后，基于不同的隱層節(jié)點(diǎn)數(shù)各自迭代200次計(jì)算誤差率，從而確定出改進(jìn)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的最優(yōu)結(jié)構(gòu)為6-11-1。

實(shí)證結(jié)果如表9所示。融入了投資者情緒影響后，3種神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型對10支權(quán)證中超過7支權(quán)證的價格預(yù)測精度均進(jìn)一步提高，其中考慮投資者情緒影響后的MPSO-BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型對期權(quán)價格的預(yù)測誤差總體最低。這說明，融入了投資者情緒的影響后，期權(quán)的價格更貼近實(shí)際的價格。實(shí)證結(jié)果表明，在中國權(quán)證交易市場上，投資者對期權(quán)價格的影響是不可忽略的一個因素。

表9 考慮投資者情緒后的預(yù)測結(jié)果MAPE比較

5 結(jié)語

本文首先針對傳統(tǒng)的PSO 算法易陷入局部極值以及尋優(yōu)精度不穩(wěn)定的問題，將遺傳算法中的單點(diǎn)變異算子引入傳統(tǒng)PSO 算法中，賦予粒子自適應(yīng)變異的能力，從而擴(kuò)大粒子群的尋優(yōu)范圍。將改進(jìn)的PSO算法與BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)相結(jié)合，利用MPSO 算法對BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的參數(shù)與模型結(jié)構(gòu)進(jìn)行優(yōu)化。由于波動率是影響期權(quán)價格的重要因素，本文提出，利用GARCH 模型估計(jì)出每支權(quán)證對應(yīng)的股票的收盤價格的歷史波動率，并將獲得的波動率作為MPSO-BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸入。最后，考慮到市場上投資者情緒可能對期權(quán)價格有影響，采用Baker等[15-16]的基于主成分分析法構(gòu)造投資者情緒復(fù)合指數(shù)，并將構(gòu)造剔除了基本因素后較純的投資者情緒復(fù)合指數(shù)引入到改進(jìn)的改進(jìn)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型中。

通過實(shí)證結(jié)果表明，傳統(tǒng)的B-S模型假設(shè)過于嚴(yán)苛，所以期權(quán)定價的誤差較大。相比于傳統(tǒng)的BS模型及BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型，本文提出的MPSO-BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型有效提高了期權(quán)價格預(yù)測的精確度及算法的收斂速度，證明了模型的有效性。進(jìn)一步考慮了投資者情緒的影響后，3種神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)均進(jìn)一步縮小了期權(quán)定價的誤差，其中MPSO-BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的預(yù)測誤差仍為最低。這也反映出目前在我國國內(nèi)權(quán)證市場進(jìn)行期權(quán)定價研究時，投資者情緒是不可忽略的因素。本文的實(shí)證結(jié)果對我國期權(quán)定價研究具有較高的參考價值，該方法可進(jìn)一步推廣至其他國家與地區(qū)，進(jìn)而研究投資者情緒對不同國家中期權(quán)定價的影響。