胡凱林　黃國穩(wěn)

初中、高中的知識銜接是學(xué)生從初中升入高中后一個必經(jīng)的學(xué)習(xí)過程，它賦予學(xué)生初中所學(xué)知識以全新的視角，以此實(shí)現(xiàn)學(xué)生知識層面的螺旋上升.因此，初中、高中的知識銜接課也可以歸為新知課的一種.圍繞二次函數(shù)這個初中、高中共同的學(xué)習(xí)重點(diǎn)實(shí)施初中、高中知識銜接補(bǔ)充教學(xué)，具有重要的現(xiàn)實(shí)意義.下面我們以二次函數(shù)補(bǔ)充教學(xué)為例，談?wù)勗凇敖虒W(xué)環(huán)”理念下初中、高中知識銜接新知課的課堂操作策略.

一、學(xué)情分析與學(xué)習(xí)目標(biāo)的確定

二次函數(shù)是初中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)學(xué)習(xí)內(nèi)容.經(jīng)過初中階段的學(xué)習(xí)，學(xué)生已經(jīng)掌握了二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)、最值、自變量[y]隨著因變量[x]的變化而變化的規(guī)律等知識，并能夠運(yùn)用以上二次函數(shù)知識分析和解決一些相關(guān)的基本問題.進(jìn)入高中階段以后，學(xué)習(xí)要求發(fā)生了質(zhì)的變化，學(xué)生對二次函數(shù)的靜態(tài)認(rèn)識須盡快上升到動態(tài)理解層面，因?yàn)閯討B(tài)理解層面的二次函數(shù)知識將成為學(xué)生接下來學(xué)習(xí)其他函數(shù)和導(dǎo)數(shù)內(nèi)容的重要基礎(chǔ)，先由初中的二次函數(shù)過渡到高中的“三個二次”（二次函數(shù)、二次方程和二次不等式），體驗(yàn)數(shù)形結(jié)合的思想，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象能力，再進(jìn)一步解決相應(yīng)的含參問題和恒成立問題.為了幫助學(xué)生順利過渡到高中以二次函數(shù)為基礎(chǔ)的相關(guān)知識學(xué)習(xí)，在學(xué)生學(xué)習(xí)了集合和函數(shù)的概念以及函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性之后，我們給學(xué)生安排了這節(jié)二次函數(shù)知識銜接課，并為這節(jié)課確定了如下學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.從集合映射的角度重新理解二次函數(shù)；2.利用高中函數(shù)知識重新認(rèn)識二次函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性；3.延伸對稱軸的性質(zhì)，并利用二次函數(shù)的對稱性分析解決相關(guān)問題.

二、“教學(xué)環(huán)”理念下的新知課教學(xué)

在“教學(xué)環(huán)”理念下，教學(xué)從聚焦課堂轉(zhuǎn)向課前、課后延伸，學(xué)生主體將在教師指導(dǎo)下經(jīng)歷一個個“課前預(yù)習(xí)→課堂學(xué)習(xí)→課后練習(xí)”的循環(huán)往復(fù)的過程.我們倡導(dǎo)教師為主導(dǎo)、學(xué)生為主體，為了發(fā)展學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力，教師要在學(xué)生課前預(yù)習(xí)、課堂學(xué)習(xí)和課后練習(xí)的每一個重要學(xué)習(xí)環(huán)節(jié)，都給予學(xué)生相應(yīng)的學(xué)習(xí)策略指導(dǎo).

（一）導(dǎo)讀提綱指引下的學(xué)生課前預(yù)習(xí)

在“教學(xué)環(huán)”理念下，課前預(yù)習(xí)是每一課新知教學(xué)的起始階段.為了避免出現(xiàn)學(xué)生課前預(yù)習(xí)的盲目性和隨意性，教師須精心設(shè)計(jì)導(dǎo)讀提綱，為學(xué)生安排預(yù)習(xí)任務(wù)，激發(fā)學(xué)生的求知欲和探索欲，引導(dǎo)學(xué)生有目的地展開新知的自主學(xué)習(xí)過程.新知課的課前預(yù)習(xí)，導(dǎo)讀的起點(diǎn)可以低一些，但落腳點(diǎn)一定要深，要剛好可以切中學(xué)生本課學(xué)習(xí)最急需掌握的主體知識和思維層次.比如本課導(dǎo)讀提綱，我們根據(jù)學(xué)生初中所學(xué)內(nèi)容和高中已有知識，為學(xué)生安排了下面4項(xiàng)導(dǎo)讀任務(wù)（見圖1）.

上述4項(xiàng)任務(wù)，引導(dǎo)學(xué)生一步一步從初中知識語言過渡到高中知識語言，并包含了對學(xué)生思維上的延伸、拓展.任務(wù)3的設(shè)計(jì)擔(dān)負(fù)起本課“起點(diǎn)低、落腳深”的教學(xué)重任，將在之后的課堂教學(xué)環(huán)節(jié)被一題多用、反復(fù)挖掘.從思維發(fā)展特征看，初中生正處于形象思維為主、逐步向經(jīng)驗(yàn)型抽象思維過渡的階段，高中生則處于經(jīng)驗(yàn)型為主的抽象思維向理論型抽象思維過渡且辯證思維初步形成階段，上述任務(wù)對學(xué)生思維的拓展包括：從[y]的取值范圍拓展到函數(shù)的值域，從具體函數(shù)的值域拓展到含參函數(shù)分類討論求值域，從二次函數(shù)對稱性拓展到一般函數(shù)的對稱性.

（二）遵循新知課課堂教學(xué)基本模式，以問導(dǎo)學(xué)，帶領(lǐng)學(xué)生用高中新知順應(yīng)初中舊知，形成新的認(rèn)知系統(tǒng)，實(shí)現(xiàn)思維層次的螺旋上升

新知課通常包括“情境引入→提問討論→重點(diǎn)講解→應(yīng)用探究→反思總結(jié)→布置作業(yè)”6個基本教學(xué)環(huán)節(jié).因?yàn)橛辛藢W(xué)生的課前預(yù)習(xí)做鋪墊，學(xué)生對本課的學(xué)習(xí)內(nèi)容已有初步感知，課堂中，教師只需用三五分鐘時間經(jīng)歷“情境引入”，檢查反饋學(xué)生的課前預(yù)習(xí)情況，之后便可以進(jìn)入“提問討論”環(huán)節(jié)了.教師在該環(huán)節(jié)采用以問導(dǎo)學(xué)策略，重點(diǎn)引導(dǎo)學(xué)生從集合映射角度重新理解二次函數(shù)的定義.

[提問討論]

師：誰能用自己的語言描述一下什么樣的函數(shù)是二次函數(shù)，并給出具體的例子？

生1：含有二次項(xiàng)的式子就是二次函數(shù).

師：[x2+2x-1=0]，[y2=x+1]都含有二次項(xiàng)，是不是二次函數(shù)呢？

生2：不是.[x2+2x-1=0]是方程，不是函數(shù)；而在[y2=x+][1]中，因?yàn)橐粋€[x]對應(yīng)著兩個[y]，所以它也不是二次函數(shù).

生3：形如[y=ax2+bx+c][（a≠0）]的函數(shù)叫二次函數(shù)，比如[y=x2]就是一個最基本的二次函數(shù).從函數(shù)的定義來看，在二次函數(shù)中，定義域內(nèi)每一個[x]都有唯一的一個[y]與之對應(yīng).

師：生3從函數(shù)的定義出發(fā)，解釋了為什么二次函數(shù)是一個函數(shù)，并給出了正確的舉例，非常好！初中階段我們通過觀察圖象了解了二次函數(shù)的自變量[x]和因變量[y]的變化規(guī)律，但是這些觀察、了解是相對感性、粗糙的，表述也比較口語化；到了高中，我們學(xué)習(xí)了函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性，就可以進(jìn)一步研究如何嚴(yán)謹(jǐn)?shù)嘏卸ê妥C明二次函數(shù)圖象的性質(zhì)了.

以上教學(xué)環(huán)節(jié)，教師給出的兩個二次項(xiàng)式子是以問導(dǎo)學(xué)的關(guān)鍵，便于學(xué)生同化和順應(yīng)高中新知，嘗試用高中所學(xué)新知重新認(rèn)識二次函數(shù)的意義，辨析函數(shù)與方程的細(xì)微差異，進(jìn)而學(xué)會使用高中語言來表達(dá)二次函數(shù)的定義，提升思維層次.教師在生3之后進(jìn)行教學(xué)小結(jié)，順勢引出了下面的“重點(diǎn)講解”內(nèi)容，過渡非常自然.

[重點(diǎn)講解]

學(xué)生在初中階段對具體函數(shù)的研究方法雖有一定基礎(chǔ)，但這個基礎(chǔ)是膚淺的。為了加深學(xué)生對二次函數(shù)的認(rèn)識，引導(dǎo)學(xué)生從初中靜態(tài)理解二次函數(shù)的頂點(diǎn)、對稱軸和最值，逐漸過渡到高中動態(tài)、局部地研究二次函數(shù)的變化并從中捕捉變化規(guī)律，我們設(shè)計(jì)了例1、例2兩道例題（如圖2），讓學(xué)生在做題的過程中學(xué)會運(yùn)用高中知識探求二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，提高認(rèn)知水平.

從設(shè)問來看，例1與導(dǎo)讀提綱中的任務(wù)3一脈相承，但任務(wù)級別有所提升，重點(diǎn)是讓學(xué)生學(xué)會運(yùn)用高中知識去描述現(xiàn)象，用高中的思維方式去證明現(xiàn)象、解決問題.事實(shí)上，學(xué)生獨(dú)立完成此題基本不存在多大困難.為了強(qiáng)化初中到高中的知識過渡，教師特別提問了學(xué)生例1中“值域”的概念與初中的“求取值范圍”之間的過渡關(guān)系，強(qiáng)化了高中用詞的嚴(yán)謹(jǐn)和其中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法.

例2重點(diǎn)考查學(xué)生能否用相關(guān)定義來判定和證明二次函數(shù)的奇偶性。學(xué)生解題非常順利，并從中體悟到一般的二次函數(shù)可能不是偶函數(shù)，即對稱軸不一定是[y]軸.二次函數(shù)對稱軸兩邊函數(shù)值與變量的關(guān)系究竟是怎樣的呢？這是我們接下來要重點(diǎn)研究的內(nèi)容.教師要重點(diǎn)引導(dǎo)學(xué)生從初中階段對對稱軸的理解擴(kuò)大到高中階段對二次函數(shù)對稱性的理解，知道對稱性表達(dá)的常用形式，即知道對稱軸左右兩邊的函數(shù)值及其變化規(guī)律.研究二次函數(shù)的對稱性，可以為研究三角函數(shù)及其他函數(shù)的對稱性積累知識基礎(chǔ).

師：在完成導(dǎo)讀提綱任務(wù)3的過程中我們知道，[y=][2x2-4x+1]的對稱軸方程為[x=1].那么，在函數(shù)[f（x）=][2x2-4x+1]中，[f（-1）]和[f（3）]有何關(guān)系呢？

生5：[f（-1）=f（3）].

師：當(dāng)[f（x1）=f（x2）]時，同學(xué)們能否發(fā)現(xiàn)[x1]，[x2]與對稱軸的關(guān)系？

生5：[x1+x2=2].

師：那么對于任意一個二次函數(shù)呢？

生5：[x1，x2]的和都是對稱軸橫坐標(biāo)的兩倍.

師：若函數(shù)關(guān)于[x=a]對稱，則[x1+x2=2a]，即[x2=][2a-x1]或[a+x0=a-x0]，由剛才歸納的對稱性我們可以得到[f（x0）=f（2a-x0）]或[f（a+x0）=f（a-x0）].

在初中階段，利用拋物線的對稱軸知識可以解決求二次函數(shù)的最大值或最小值問題，學(xué)生對對稱軸的理解僅限于記住[x=-b2a]即可.為了延伸學(xué)生對對稱軸性質(zhì)的理解，從二次函數(shù)的對稱性出發(fā)，我們再次使用了導(dǎo)讀提綱任務(wù)3中的函數(shù)，設(shè)計(jì)了上面的導(dǎo)學(xué)環(huán)節(jié)，將起點(diǎn)淺、落腳深的課前導(dǎo)讀意圖貫穿在了課前、課中的整個教學(xué)活動當(dāng)中.

[應(yīng)用探究]

當(dāng)學(xué)生從高中知識角度進(jìn)一步理解了二次函數(shù)的對稱性質(zhì)，再應(yīng)用該性質(zhì)來解決問題便是水到渠成了.為此我們設(shè)計(jì)了例題3（如圖3）.

給例3求解，可以直接應(yīng)用剛才探究得出的結(jié)論，于是學(xué)生很快給出了答案：由剛才我們學(xué)習(xí)的知識可以知道，[x1+x2=a]，于是[f（x1+x2）=f（a）=2018].

從高中視角理解對稱軸，二次函數(shù)不僅可以在對稱軸上取得最值，而且能體現(xiàn)兩個對稱點(diǎn)橫坐標(biāo)之間的關(guān)系.在對稱軸不確定的情況下，如何求解最值是初中沒有辦法解決的問題，而這種動態(tài)變化是高中階段的“家常便飯”.為了提升學(xué)生的思維層次，便于學(xué)生形成一個循序漸進(jìn)的知識網(wǎng)絡(luò)，教師出示了上述例題3這個含參的二次函數(shù)，將具體的二次函數(shù)問題上升為含參二次函數(shù)問題，這對學(xué)生來說是一次思維的飛躍.

師：經(jīng)過導(dǎo)讀提綱和上面例1的學(xué)習(xí)，我們己經(jīng)會求二次函數(shù)[f（x）=2x2-4x+1]在[-3≤x≤2]區(qū)間內(nèi)函數(shù)的值域了.那我們來看看例4（如圖4）該怎樣解？

生7：函數(shù)的開口向上，對稱軸方程為[x=a4]，但[x=][a4]不一定在定義域內(nèi).

師：當(dāng)一個量不確定時，你該怎么辦？

生7：分類討論唄，將每一類都分成確定的情形.

師：你覺得該怎么分類？

生7：因?yàn)槎魏瘮?shù)總是在對稱軸處取得最小值，所以我的第一類是[x=a4]在定義域[-1，1]內(nèi).若[x=a4]不在定義域[-1，1]內(nèi)又可以分為兩種情況，每一種情況再結(jié)合我們上節(jié)課學(xué)過的單調(diào)性規(guī)律求出函數(shù)的最小值，進(jìn)而得到關(guān)于[a]的方程，把[a]解出來.

師：你分析得非常好.由于對稱軸不確定，你己經(jīng)開始從動態(tài)角度分析和解決問題，這是高中數(shù)學(xué)很重要的一種思維方法.下面同學(xué)們就把結(jié)果計(jì)算出來吧！

例4的問題源于初中內(nèi)容，但限定條件增加，求解過程高于初中內(nèi)容，學(xué)生必須運(yùn)用高中二次函數(shù)的新知識去解決這個初中的老問題.經(jīng)過前面的學(xué)習(xí)，學(xué)生已經(jīng)認(rèn)識到：同樣的二次函數(shù)問題，到了高中階段必須從更深的層次、更廣的角度，以更嚴(yán)密的推理、更靈活的方法去分析和解決.

[反思總結(jié)]

該教學(xué)環(huán)節(jié)重點(diǎn)是引導(dǎo)學(xué)生按照一定的順序歸納知識，形成能力.首先要認(rèn)識到同樣的知識在初中、高中有了深淺不同的表現(xiàn)方式，其次要認(rèn)識到高中階段對抽象思維能力、辯證思維能力的訓(xùn)練程度在不斷加深.如初中描述函數(shù)圖象的變化或函數(shù)的性質(zhì)常用這樣的感性表達(dá)：[y]隨[x]的增大（減小）而增大（減?。蛘吆瘮?shù)從左到右上升（下降），等等.到了高中階段，學(xué)生的認(rèn)知和思維水平都有了很大的提高，已經(jīng)能夠利用在某個區(qū)間單調(diào)遞增或單調(diào)遞減這類嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)語言描述二次函數(shù)圖象的變化規(guī)律，能夠初步運(yùn)用分類討論思想對二次函數(shù)的奇偶性進(jìn)行討論，能夠從初中關(guān)注的對稱軸求最值的簡單應(yīng)用深化到利用對稱軸兩邊的變量關(guān)系解決問題，能夠直接運(yùn)用分類討論思想動態(tài)地解決二次函數(shù)的對稱性問題，等等.該環(huán)節(jié)教學(xué)過程略.

該環(huán)節(jié)包括本課的作業(yè)和下一節(jié)課的課前任務(wù)導(dǎo)讀兩個內(nèi)容，有承前啟后的作用.在本課中，我們安排了如下課后作業(yè)（如圖5）.

上面的第1題、第2題是對本課所學(xué)新知的回顧和總結(jié)，第3題、第4題則是為下節(jié)課學(xué)習(xí)二次函數(shù)根的分布做鋪墊.（題圖為胡凱林老師）

（責(zé)編 白聰敏）