于成寬　盧瑞庚

“教學(xué)環(huán)”理念將新知課的課前、課中、課后串連成一個(gè)有機(jī)的整體，成為學(xué)生在不同學(xué)習(xí)階段學(xué)習(xí)和探究新知的時(shí)空表征.構(gòu)建“教學(xué)環(huán)”，有助于教師從時(shí)空觀下基于學(xué)情對(duì)教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行梳理和次遞呈現(xiàn)，進(jìn)而推動(dòng)學(xué)生新知的自主形成和螺旋上升.我們認(rèn)為，時(shí)空觀下內(nèi)容呈現(xiàn)方式的拓展不僅符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，而且有助于學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中形成由“感”到“思”、由“思”到“悟”的學(xué)習(xí)印跡.數(shù)學(xué)概念新知課教學(xué)，需要教師采用環(huán)環(huán)相扣的教學(xué)策略，指引學(xué)生不斷調(diào)動(dòng)認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的已有知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)，次遞加深對(duì)概念的感知和理解，進(jìn)而通過思維加工產(chǎn)生“認(rèn)識(shí)飛躍”，最終在頭腦中呈現(xiàn)完整的概念圖式.下面，筆者以人教版必修1第三章第一節(jié)《方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)》的教學(xué)為例，介紹“教學(xué)環(huán)”理念在高中數(shù)學(xué)概念新知課中的具體應(yīng)用.

一、在設(shè)計(jì)層面構(gòu)建“教學(xué)環(huán)”，引導(dǎo)學(xué)生科學(xué)預(yù)習(xí)，奠定概念學(xué)習(xí)的扎實(shí)基礎(chǔ)

構(gòu)建“教學(xué)環(huán)”，始于教師的導(dǎo)學(xué)提綱設(shè)計(jì).教師在課前設(shè)計(jì)概念學(xué)習(xí)的導(dǎo)學(xué)提綱，需通盤考慮概念學(xué)習(xí)策略在課前、課中、課后三個(gè)不同學(xué)習(xí)階段的持續(xù)推進(jìn).

（一）概念課教學(xué)設(shè)計(jì)的基本思路

數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)存在著程度深淺的差異.英國數(shù)學(xué)教育與心理學(xué)家理查德·斯根普（Richard Skemp）在其《數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)心理學(xué)》一書中，將人們對(duì)概念的理解層次劃分為工具性理解、關(guān)系性理解和形式性理解三種不同的水平.所謂工具性理解，指的是會(huì)運(yùn)用概念判斷某一事物是否為概念的具體例證，但并不清楚該概念與相關(guān)概念的聯(lián)系；關(guān)系性理解，指的是不僅能用概念做判斷，而且能將該概念納入到概念系統(tǒng)中，與相關(guān)概念建立聯(lián)系；形式性理解，指的是在數(shù)學(xué)概念術(shù)語符號(hào)和數(shù)學(xué)思想之間建立起聯(lián)系，并用邏輯推理構(gòu)建起概念體系和數(shù)學(xué)思想體系.在高中階段，通過數(shù)學(xué)閱讀的方式進(jìn)行概念學(xué)習(xí)，對(duì)于大多數(shù)學(xué)生而言，其理解水平通常止步于工具性理解水平，要想達(dá)到關(guān)系性理解和形式性理解水平，需要教師科學(xué)、有效的指導(dǎo).

針對(duì)本課概念學(xué)習(xí)，要讓學(xué)生在課前任務(wù)導(dǎo)讀中達(dá)到工具性理解水平，教師設(shè)計(jì)導(dǎo)讀提綱的關(guān)鍵在于，讓學(xué)生理解“方程的根”與“函數(shù)的零點(diǎn)”雖有密切聯(lián)系但仍有重要區(qū)別，不可混為一談.而要想讓學(xué)生達(dá)到關(guān)系性理解和形式性理解水平，洞悉函數(shù)零點(diǎn)以及求方程的根的確切意義，須在導(dǎo)讀和教學(xué)過程中逐漸滲透并不斷強(qiáng)化數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的內(nèi)容，比如安排學(xué)生用幾何畫板工具自行設(shè)計(jì)解決問題的方案，學(xué)會(huì)利用函數(shù)圖象和數(shù)形結(jié)合的思想方法解決函數(shù)的零點(diǎn)問題等.數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是學(xué)生運(yùn)用有關(guān)工具，在數(shù)學(xué)思維參與下進(jìn)行的一種以人人參與實(shí)際操作為特征的數(shù)學(xué)驗(yàn)證或探究活動(dòng).實(shí)施數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)活動(dòng)便于學(xué)生形成數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的積極印象和相應(yīng)的感官體驗(yàn)，從中獲取構(gòu)建數(shù)學(xué)概念所需的第一手感性材料，為探究數(shù)學(xué)規(guī)律尋求具體、直觀的數(shù)形基礎(chǔ)，發(fā)展直觀想象能力，進(jìn)而深刻領(lǐng)悟數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵.

（二）學(xué)生課前預(yù)習(xí)中的數(shù)學(xué)閱讀與理解

在“教學(xué)環(huán)”理念中，學(xué)生課前預(yù)習(xí)作為教學(xué)過程的第一個(gè)重要環(huán)節(jié)，它是在教師指導(dǎo)下“任務(wù)導(dǎo)讀作業(yè)化”的課前預(yù)習(xí)，主要包括數(shù)學(xué)閱讀和數(shù)學(xué)練習(xí)兩項(xiàng)內(nèi)容.根據(jù)概念課導(dǎo)讀提綱設(shè)計(jì)的基本模型，我們?yōu)楸菊n概念學(xué)習(xí)設(shè)計(jì)了如圖1所示的導(dǎo)讀任務(wù).

《方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)》這個(gè)教學(xué)內(nèi)容，重點(diǎn)是讓學(xué)生通過研究二次函數(shù)的圖象，學(xué)會(huì)判斷一元二次方程的根的存在性及根的個(gè)數(shù)，由具體到一般，逐漸建立起一元二次方程的根與相應(yīng)的二次函數(shù)零點(diǎn)的聯(lián)系.函數(shù)零點(diǎn)存在性定理為本課學(xué)習(xí)的重點(diǎn)和難點(diǎn).教材通過引入客觀實(shí)例、抽象共性特征、概括本質(zhì)特征的過程引出相關(guān)數(shù)學(xué)概念，依次呈現(xiàn)了下面的內(nèi)容：觀察具體的二次函數(shù)圖象，從研究二次函數(shù)的圖象特征過渡到研究二次函數(shù)的代數(shù)形式，再通過幾何直觀和歸納推理，最終得出連續(xù)函數(shù)零點(diǎn)存在性定理.本課導(dǎo)讀提綱設(shè)計(jì)，旨在讓學(xué)生通過數(shù)學(xué)閱讀和實(shí)驗(yàn)，完成對(duì)新概念的初步學(xué)習(xí)和理解，實(shí)現(xiàn)從幾何直觀到代數(shù)抽象的初步感知.

二、在課堂教學(xué)活動(dòng)中靈動(dòng)演繹“教學(xué)環(huán)”理念

新知課課堂教學(xué)模式主要包括情境引入、提問討論、重點(diǎn)講解、應(yīng)用探究、反思總結(jié)、布置作業(yè)6個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié).鑒于學(xué)生的課前預(yù)習(xí)已經(jīng)在新知學(xué)習(xí)的情境當(dāng)中，對(duì)課堂上要學(xué)什么、怎樣學(xué)基本已經(jīng)心中有數(shù)，課堂教學(xué)在經(jīng)歷簡單的“情境引入”后便可直接進(jìn)入“提問討論”環(huán)節(jié)了.

（一）檢驗(yàn)課前閱讀實(shí)效，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)概念內(nèi)涵與外延進(jìn)行辨析和內(nèi)化

師：根據(jù)課前閱讀，誰來說說一次函數(shù)[f（x）=2x-4]的零點(diǎn)？

生：函數(shù)[f（x）=2x-4]的零點(diǎn)是2.

師：那二次函數(shù)[f（x）=x2-2x-3]的零點(diǎn)呢？

生：是[-1]和3.

先簡單提問一個(gè)一次函數(shù)和一個(gè)二次函數(shù)的零點(diǎn)，意在檢驗(yàn)全體學(xué)生在數(shù)學(xué)閱讀中對(duì)零點(diǎn)概念的工具性理解水平，確保學(xué)生已經(jīng)學(xué)會(huì)運(yùn)用概念來判斷某一事物是否為概念的具體例證，同時(shí)在學(xué)生頭腦中留下函數(shù)的零點(diǎn)與方程的解之間相互關(guān)聯(lián)的感性印記，為概念理解層次的提升做鋪墊.

師：誰來說一下函數(shù)零點(diǎn)的概念？

生：我們把使[f（x）=0]的實(shí)數(shù)[x]，叫做函數(shù)[y=f（x）]的零點(diǎn).（生答，師板書）

師：觀察方程[f（x）=0]的結(jié)構(gòu)特征，你聯(lián)想到了哪些曾經(jīng)學(xué)過的知識(shí)？

生1：函數(shù)[y=f（x）]在[y=0]時(shí)的解.

師：那么，[y=f（x）y=0]和[f（x）=0]是同一個(gè)含義嗎？

生1：是的.

生2：不是.

師：為什么不是同一個(gè)含義？有什么區(qū)別？

生2：[y=f（x）y=0]可以看作是方程組，它的解是含有[x，y]的一組數(shù)對(duì)；[y=f（x）y=0]也可以看作是兩個(gè)函數(shù)解析式聯(lián)立得到的交點(diǎn)（[x，y]）；而[f（x）=0]是一個(gè)方程，它的解是一個(gè)數(shù).他們的聯(lián)系是，方程組的解中的[x]值，函數(shù)圖象與[x]軸的交點(diǎn)橫坐標(biāo)[x]，與[y=f（x）]零點(diǎn)的值一樣.

師：函數(shù)零點(diǎn)、點(diǎn)的坐標(biāo)和二元方程組的解不是一回事，但它們有聯(lián)系……（停頓，等待學(xué)生思考和內(nèi)化）好了，現(xiàn)在請(qǐng)大家分別畫出函數(shù)[f（x）=2x-4]和[f（x）=][x2-2x-3]的圖象并體會(huì)零點(diǎn)在畫出函數(shù)圖象中的作用.

在“提問討論”環(huán)節(jié)，我們倡導(dǎo)多維度、多方向、多形式對(duì)話，低起點(diǎn)、步步為營是基本教學(xué)策略.以上師生、生生對(duì)話，對(duì)概念內(nèi)涵的辨析越來越深刻、對(duì)概念間關(guān)系的理解越來越清晰，學(xué)生在概念學(xué)習(xí)中從工具性理解上升到關(guān)系性理解，不僅能用概念做判斷，而且能將函數(shù)零點(diǎn)概念納入到概念系統(tǒng)中，與相關(guān)概念建立聯(lián)系，并能用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)符號(hào)對(duì)其進(jìn)行描述；要求學(xué)生畫出圖象，是希望學(xué)生能把“數(shù)”和“形”融合起來，為后續(xù)通過“數(shù)”和“形”判定零點(diǎn)存在做鋪墊，同時(shí)暗示學(xué)生，當(dāng)從“數(shù)”的角度思考問題解決方案遇到困難時(shí)，可以嘗試從“形”的角度去尋求問題解決的突破口.

（二）通過對(duì)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)方案的交流與討論，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步加深對(duì)相關(guān)概念的理解

數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)活動(dòng)設(shè)計(jì)，隱含在課前導(dǎo)讀提綱之任務(wù)2的問題解決過程當(dāng)中，用來加深學(xué)生對(duì)概念理解的水平，這也是需要教師“重點(diǎn)講解”的知識(shí)內(nèi)容.

師：函數(shù)[f（x）=x2+x-2]有幾個(gè)零點(diǎn)？說說你們的解決方案.

生3：我的方案有兩個(gè).一個(gè)是解出方程的兩個(gè)解[x=-2]，[x=1]；另一個(gè)是直接用二次方程的判別式判定就好，不用具體求解.

師：那函數(shù)[f（x）=ex+x-2]有幾個(gè)零點(diǎn)？你們?cè)O(shè)計(jì)的解決方案是怎樣的？

生4：只要畫出圖象，看看函數(shù)[y=ex+x-2]的圖象與[x]軸的交點(diǎn)情況就行.我的答案是只有一個(gè)零點(diǎn).

師：那你是怎么畫出這個(gè)函數(shù)的圖象的？

生4：仿照課本，運(yùn)用描點(diǎn)法畫出圖象.

師：你描出了很多點(diǎn)嗎？或者所有點(diǎn)？

生4：沒有.

師：如何判定除了那一個(gè)外沒有別的零點(diǎn)了？

生4：……

生5：我發(fā)現(xiàn)函數(shù)[f（x）=ex+x-2]是個(gè)增函數(shù).當(dāng)[x=0]時(shí)，[y=-1<0]；當(dāng)[x=1]時(shí)，[y=e-1>0].可見，函數(shù)值有正數(shù)，也有負(fù)數(shù).那么，這個(gè)函數(shù)一定會(huì)有一個(gè)與函數(shù)值0相對(duì)應(yīng)的[x]，它就是函數(shù)的零點(diǎn).

師：好！下面請(qǐng)大家看看剛才那兩個(gè)函數(shù)的圖象，回答下面的問題.（課件出示問題，如圖2）.結(jié)合剛才生5的回答，你們能得到什么結(jié)論？（教師在發(fā)現(xiàn)問題后不可越俎代庖告知正確答案，可以讓學(xué)生嘗試用自己的語言去歸納，在逐步完善中經(jīng)歷“發(fā)現(xiàn)”正確結(jié)論的過程）

生：（齊答）不能判定它是否存在零點(diǎn)，更無法判定有幾個(gè)零點(diǎn).

師：結(jié)合生8和生9的回答，我們能夠得到的結(jié)論是什么？（停頓，給學(xué)生思考的時(shí)間）

生：（齊答）零點(diǎn)存在定理只能判定函數(shù)有零點(diǎn)，不能判定函數(shù)沒有零點(diǎn)，更不能判定有幾個(gè)零點(diǎn).（師板書學(xué)生得出的結(jié)論）

在學(xué)生“歸納”出零點(diǎn)存在性定理后，課堂進(jìn)入“應(yīng)用探究”和“反思總結(jié)”環(huán)節(jié).學(xué)生在思辨中逐漸厘清了零點(diǎn)存在性定理在判定零點(diǎn)是否存在以及零點(diǎn)存在個(gè)數(shù)問題時(shí)的作用及“缺陷”，并對(duì)此達(dá)成共識(shí)，同時(shí)在頭腦中形成了圖形影像.接下來，教師將通過課堂練習(xí)引導(dǎo)學(xué)生對(duì)知識(shí)進(jìn)行鞏固，此處不再贅述.

基于概念學(xué)習(xí)的課前“教學(xué)環(huán)”導(dǎo)讀提綱設(shè)計(jì)，使得學(xué)生課前預(yù)習(xí)中的數(shù)學(xué)知識(shí)學(xué)習(xí)過程成為自己閱讀、發(fā)現(xiàn)并通過練習(xí)自行掌握相關(guān)概念的過程，這就為學(xué)生在課堂上深入理解數(shù)學(xué)知識(shí)奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).在本課學(xué)習(xí)中，學(xué)生通過閱讀、設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)方案和實(shí)施實(shí)驗(yàn)來獲得抽象數(shù)學(xué)概念、原理所需要的現(xiàn)實(shí)材料，并在此基礎(chǔ)上展開歸納、類比、抽象、概括，從相關(guān)的數(shù)學(xué)活動(dòng)中抽取共性而獲得數(shù)學(xué)概念、發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律、獲得數(shù)學(xué)原理和性質(zhì)，進(jìn)而獲得解決問題的方法.“反思總結(jié)”需針對(duì)知識(shí)本身以及知識(shí)習(xí)得的過程與方法展開，這里不再贅述.

三、課后練習(xí)作業(yè)與下一個(gè)“教學(xué)環(huán)”的構(gòu)建

教師用好課堂上的經(jīng)典練習(xí)題，對(duì)其進(jìn)行有目的的改編，以課后作業(yè)的方式呈現(xiàn)給學(xué)生，有利于學(xué)生及時(shí)運(yùn)用所學(xué)新知，通過觀察、對(duì)比，對(duì)新問題進(jìn)行拆解和思考，為下一節(jié)課“教學(xué)環(huán)”的螺旋式前進(jìn)做足準(zhǔn)備.同樣的，課后作業(yè)還包含了對(duì)下一節(jié)課的課堂規(guī)劃.

在本課中，學(xué)生通過辨析，理解了函數(shù)零點(diǎn)的概念；能夠利用零點(diǎn)存在性定理判定所在區(qū)間是否存在函數(shù)零點(diǎn)；對(duì)零點(diǎn)存在性定理的“缺陷”進(jìn)行反思，體會(huì)到了“等價(jià)轉(zhuǎn)換”和“數(shù)形結(jié)合”思想在解題中的應(yīng)用.在下節(jié)課中，學(xué)生對(duì)零點(diǎn)概念的理解將達(dá)到形式性理解水平：作為概念理解的第三個(gè)層次，它需要學(xué)生在數(shù)學(xué)概念術(shù)語、符號(hào)和數(shù)學(xué)思想之間建立起聯(lián)系，對(duì)問題進(jìn)行闡述和求解，進(jìn)而深刻理解概念的內(nèi)涵和外延，這將是一種“認(rèn)識(shí)飛躍”.為此，我們?cè)O(shè)計(jì)了如下課后練習(xí)作業(yè)（如圖6），為運(yùn)用二分法求方程的根構(gòu)建了下一個(gè)“教學(xué)環(huán)”的導(dǎo)讀任務(wù).

與傳統(tǒng)的概念課教學(xué)相比，“教學(xué)環(huán)”理念下的新知概念課教學(xué)，讓學(xué)生在提問討論、重點(diǎn)講解、應(yīng)用探究、反思總結(jié)等課堂環(huán)節(jié)有了更多參與基礎(chǔ)和機(jī)會(huì)，課堂成為師生之間、生生之間思想交鋒的“戰(zhàn)場(chǎng)”，學(xué)生在“交戰(zhàn)”中不斷加深對(duì)概念的理解，不斷豐富和重構(gòu)概念的內(nèi)涵與外延，邊理解邊內(nèi)化.這樣的課型，對(duì)教師把控課堂的能力要求較高，教師在初始階段不可操之過急，需根據(jù)學(xué)情，設(shè)計(jì)出適當(dāng)?shù)慕虒W(xué)活動(dòng)，在“教學(xué)環(huán)”理念下不斷提高學(xué)生自主學(xué)習(xí)的意識(shí)和探究學(xué)習(xí)的能力，讓課堂真正成為學(xué)生自己的課堂.（題圖為于成寬老師在輔導(dǎo)學(xué)生）

（責(zé)編 白聰敏）