于成寬　盧瑞庚

“教學環(huán)”理念將新知課的課前、課中、課后串連成一個有機的整體，成為學生在不同學習階段學習和探究新知的時空表征.構建“教學環(huán)”，有助于教師從時空觀下基于學情對教學內容進行梳理和次遞呈現(xiàn)，進而推動學生新知的自主形成和螺旋上升.我們認為，時空觀下內容呈現(xiàn)方式的拓展不僅符合學生的認知規(guī)律，而且有助于學生在數(shù)學學習的過程中形成由“感”到“思”、由“思”到“悟”的學習印跡.數(shù)學概念新知課教學，需要教師采用環(huán)環(huán)相扣的教學策略，指引學生不斷調動認知結構中的已有知識和經驗，次遞加深對概念的感知和理解，進而通過思維加工產生“認識飛躍”，最終在頭腦中呈現(xiàn)完整的概念圖式.下面，筆者以人教版必修1第三章第一節(jié)《方程的根與函數(shù)的零點》的教學為例，介紹“教學環(huán)”理念在高中數(shù)學概念新知課中的具體應用.

一、在設計層面構建“教學環(huán)”，引導學生科學預習，奠定概念學習的扎實基礎

構建“教學環(huán)”，始于教師的導學提綱設計.教師在課前設計概念學習的導學提綱，需通盤考慮概念學習策略在課前、課中、課后三個不同學習階段的持續(xù)推進.

（一）概念課教學設計的基本思路

數(shù)學概念的學習存在著程度深淺的差異.英國數(shù)學教育與心理學家理查德·斯根普（Richard Skemp）在其《數(shù)學學習心理學》一書中，將人們對概念的理解層次劃分為工具性理解、關系性理解和形式性理解三種不同的水平.所謂工具性理解，指的是會運用概念判斷某一事物是否為概念的具體例證，但并不清楚該概念與相關概念的聯(lián)系；關系性理解，指的是不僅能用概念做判斷，而且能將該概念納入到概念系統(tǒng)中，與相關概念建立聯(lián)系；形式性理解，指的是在數(shù)學概念術語符號和數(shù)學思想之間建立起聯(lián)系，并用邏輯推理構建起概念體系和數(shù)學思想體系.在高中階段，通過數(shù)學閱讀的方式進行概念學習，對于大多數(shù)學生而言，其理解水平通常止步于工具性理解水平，要想達到關系性理解和形式性理解水平，需要教師科學、有效的指導.

針對本課概念學習，要讓學生在課前任務導讀中達到工具性理解水平，教師設計導讀提綱的關鍵在于，讓學生理解“方程的根”與“函數(shù)的零點”雖有密切聯(lián)系但仍有重要區(qū)別，不可混為一談.而要想讓學生達到關系性理解和形式性理解水平，洞悉函數(shù)零點以及求方程的根的確切意義，須在導讀和教學過程中逐漸滲透并不斷強化數(shù)學實驗的內容，比如安排學生用幾何畫板工具自行設計解決問題的方案，學會利用函數(shù)圖象和數(shù)形結合的思想方法解決函數(shù)的零點問題等.數(shù)學實驗是學生運用有關工具，在數(shù)學思維參與下進行的一種以人人參與實際操作為特征的數(shù)學驗證或探究活動.實施數(shù)學實驗活動便于學生形成數(shù)學學習的積極印象和相應的感官體驗，從中獲取構建數(shù)學概念所需的第一手感性材料，為探究數(shù)學規(guī)律尋求具體、直觀的數(shù)形基礎，發(fā)展直觀想象能力，進而深刻領悟數(shù)學概念的內涵.

（二）學生課前預習中的數(shù)學閱讀與理解

在“教學環(huán)”理念中，學生課前預習作為教學過程的第一個重要環(huán)節(jié)，它是在教師指導下“任務導讀作業(yè)化”的課前預習，主要包括數(shù)學閱讀和數(shù)學練習兩項內容.根據(jù)概念課導讀提綱設計的基本模型，我們?yōu)楸菊n概念學習設計了如圖1所示的導讀任務.

《方程的根與函數(shù)的零點》這個教學內容，重點是讓學生通過研究二次函數(shù)的圖象，學會判斷一元二次方程的根的存在性及根的個數(shù)，由具體到一般，逐漸建立起一元二次方程的根與相應的二次函數(shù)零點的聯(lián)系.函數(shù)零點存在性定理為本課學習的重點和難點.教材通過引入客觀實例、抽象共性特征、概括本質特征的過程引出相關數(shù)學概念，依次呈現(xiàn)了下面的內容：觀察具體的二次函數(shù)圖象，從研究二次函數(shù)的圖象特征過渡到研究二次函數(shù)的代數(shù)形式，再通過幾何直觀和歸納推理，最終得出連續(xù)函數(shù)零點存在性定理.本課導讀提綱設計，旨在讓學生通過數(shù)學閱讀和實驗，完成對新概念的初步學習和理解，實現(xiàn)從幾何直觀到代數(shù)抽象的初步感知.

二、在課堂教學活動中靈動演繹“教學環(huán)”理念

新知課課堂教學模式主要包括情境引入、提問討論、重點講解、應用探究、反思總結、布置作業(yè)6個教學環(huán)節(jié).鑒于學生的課前預習已經在新知學習的情境當中，對課堂上要學什么、怎樣學基本已經心中有數(shù)，課堂教學在經歷簡單的“情境引入”后便可直接進入“提問討論”環(huán)節(jié)了.

（一）檢驗課前閱讀實效，引導學生對概念內涵與外延進行辨析和內化

師：根據(jù)課前閱讀，誰來說說一次函數(shù)[f（x）=2x-4]的零點？

生：函數(shù)[f（x）=2x-4]的零點是2.

師：那二次函數(shù)[f（x）=x2-2x-3]的零點呢？

生：是[-1]和3.

先簡單提問一個一次函數(shù)和一個二次函數(shù)的零點，意在檢驗全體學生在數(shù)學閱讀中對零點概念的工具性理解水平，確保學生已經學會運用概念來判斷某一事物是否為概念的具體例證，同時在學生頭腦中留下函數(shù)的零點與方程的解之間相互關聯(lián)的感性印記，為概念理解層次的提升做鋪墊.

師：誰來說一下函數(shù)零點的概念？

生：我們把使[f（x）=0]的實數(shù)[x]，叫做函數(shù)[y=f（x）]的零點.（生答，師板書）

師：觀察方程[f（x）=0]的結構特征，你聯(lián)想到了哪些曾經學過的知識？

生1：函數(shù)[y=f（x）]在[y=0]時的解.

師：那么，[y=f（x）y=0]和[f（x）=0]是同一個含義嗎？

生1：是的.

生2：不是.

師：為什么不是同一個含義？有什么區(qū)別？

生2：[y=f（x）y=0]可以看作是方程組，它的解是含有[x，y]的一組數(shù)對；[y=f（x）y=0]也可以看作是兩個函數(shù)解析式聯(lián)立得到的交點（[x，y]）；而[f（x）=0]是一個方程，它的解是一個數(shù).他們的聯(lián)系是，方程組的解中的[x]值，函數(shù)圖象與[x]軸的交點橫坐標[x]，與[y=f（x）]零點的值一樣.

師：函數(shù)零點、點的坐標和二元方程組的解不是一回事，但它們有聯(lián)系……（停頓，等待學生思考和內化）好了，現(xiàn)在請大家分別畫出函數(shù)[f（x）=2x-4]和[f（x）=][x2-2x-3]的圖象并體會零點在畫出函數(shù)圖象中的作用.

在“提問討論”環(huán)節(jié)，我們倡導多維度、多方向、多形式對話，低起點、步步為營是基本教學策略.以上師生、生生對話，對概念內涵的辨析越來越深刻、對概念間關系的理解越來越清晰，學生在概念學習中從工具性理解上升到關系性理解，不僅能用概念做判斷，而且能將函數(shù)零點概念納入到概念系統(tǒng)中，與相關概念建立聯(lián)系，并能用適當?shù)臄?shù)學符號對其進行描述；要求學生畫出圖象，是希望學生能把“數(shù)”和“形”融合起來，為后續(xù)通過“數(shù)”和“形”判定零點存在做鋪墊，同時暗示學生，當從“數(shù)”的角度思考問題解決方案遇到困難時，可以嘗試從“形”的角度去尋求問題解決的突破口.

（二）通過對數(shù)學實驗方案的交流與討論，引導學生進一步加深對相關概念的理解

數(shù)學實驗活動設計，隱含在課前導讀提綱之任務2的問題解決過程當中，用來加深學生對概念理解的水平，這也是需要教師“重點講解”的知識內容.

師：函數(shù)[f（x）=x2+x-2]有幾個零點？說說你們的解決方案.

生3：我的方案有兩個.一個是解出方程的兩個解[x=-2]，[x=1]；另一個是直接用二次方程的判別式判定就好，不用具體求解.

師：那函數(shù)[f（x）=ex+x-2]有幾個零點？你們設計的解決方案是怎樣的？

生4：只要畫出圖象，看看函數(shù)[y=ex+x-2]的圖象與[x]軸的交點情況就行.我的答案是只有一個零點.

師：那你是怎么畫出這個函數(shù)的圖象的？

生4：仿照課本，運用描點法畫出圖象.

師：你描出了很多點嗎？或者所有點？

生4：沒有.

師：如何判定除了那一個外沒有別的零點了？

生4：……

生5：我發(fā)現(xiàn)函數(shù)[f（x）=ex+x-2]是個增函數(shù).當[x=0]時，[y=-1<0]；當[x=1]時，[y=e-1>0].可見，函數(shù)值有正數(shù)，也有負數(shù).那么，這個函數(shù)一定會有一個與函數(shù)值0相對應的[x]，它就是函數(shù)的零點.

師：好！下面請大家看看剛才那兩個函數(shù)的圖象，回答下面的問題.（課件出示問題，如圖2）.結合剛才生5的回答，你們能得到什么結論？（教師在發(fā)現(xiàn)問題后不可越俎代庖告知正確答案，可以讓學生嘗試用自己的語言去歸納，在逐步完善中經歷“發(fā)現(xiàn)”正確結論的過程）

生：（齊答）不能判定它是否存在零點，更無法判定有幾個零點.

師：結合生8和生9的回答，我們能夠得到的結論是什么？（停頓，給學生思考的時間）

生：（齊答）零點存在定理只能判定函數(shù)有零點，不能判定函數(shù)沒有零點，更不能判定有幾個零點.（師板書學生得出的結論）

在學生“歸納”出零點存在性定理后，課堂進入“應用探究”和“反思總結”環(huán)節(jié).學生在思辨中逐漸厘清了零點存在性定理在判定零點是否存在以及零點存在個數(shù)問題時的作用及“缺陷”，并對此達成共識，同時在頭腦中形成了圖形影像.接下來，教師將通過課堂練習引導學生對知識進行鞏固，此處不再贅述.

基于概念學習的課前“教學環(huán)”導讀提綱設計，使得學生課前預習中的數(shù)學知識學習過程成為自己閱讀、發(fā)現(xiàn)并通過練習自行掌握相關概念的過程，這就為學生在課堂上深入理解數(shù)學知識奠定了堅實的基礎.在本課學習中，學生通過閱讀、設計實驗方案和實施實驗來獲得抽象數(shù)學概念、原理所需要的現(xiàn)實材料，并在此基礎上展開歸納、類比、抽象、概括，從相關的數(shù)學活動中抽取共性而獲得數(shù)學概念、發(fā)現(xiàn)數(shù)學規(guī)律、獲得數(shù)學原理和性質，進而獲得解決問題的方法.“反思總結”需針對知識本身以及知識習得的過程與方法展開，這里不再贅述.

三、課后練習作業(yè)與下一個“教學環(huán)”的構建

教師用好課堂上的經典練習題，對其進行有目的的改編，以課后作業(yè)的方式呈現(xiàn)給學生，有利于學生及時運用所學新知，通過觀察、對比，對新問題進行拆解和思考，為下一節(jié)課“教學環(huán)”的螺旋式前進做足準備.同樣的，課后作業(yè)還包含了對下一節(jié)課的課堂規(guī)劃.

在本課中，學生通過辨析，理解了函數(shù)零點的概念；能夠利用零點存在性定理判定所在區(qū)間是否存在函數(shù)零點；對零點存在性定理的“缺陷”進行反思，體會到了“等價轉換”和“數(shù)形結合”思想在解題中的應用.在下節(jié)課中，學生對零點概念的理解將達到形式性理解水平：作為概念理解的第三個層次，它需要學生在數(shù)學概念術語、符號和數(shù)學思想之間建立起聯(lián)系，對問題進行闡述和求解，進而深刻理解概念的內涵和外延，這將是一種“認識飛躍”.為此，我們設計了如下課后練習作業(yè)（如圖6），為運用二分法求方程的根構建了下一個“教學環(huán)”的導讀任務.

與傳統(tǒng)的概念課教學相比，“教學環(huán)”理念下的新知概念課教學，讓學生在提問討論、重點講解、應用探究、反思總結等課堂環(huán)節(jié)有了更多參與基礎和機會，課堂成為師生之間、生生之間思想交鋒的“戰(zhàn)場”，學生在“交戰(zhàn)”中不斷加深對概念的理解，不斷豐富和重構概念的內涵與外延，邊理解邊內化.這樣的課型，對教師把控課堂的能力要求較高，教師在初始階段不可操之過急，需根據(jù)學情，設計出適當?shù)慕虒W活動，在“教學環(huán)”理念下不斷提高學生自主學習的意識和探究學習的能力，讓課堂真正成為學生自己的課堂.（題圖為于成寬老師在輔導學生）

（責編 白聰敏）