甘志國

(北京市豐臺(tái)二中 100071)

基金項(xiàng)目：本文系北京市教育學(xué)會(huì)“十三五”教育科研滾動(dòng)立項(xiàng)課題“數(shù)學(xué)文化與高考研究”(課題編號(hào)FT2017GD003，課題負(fù)責(zé)人：甘志國)階段性研究成果.

定理1 若函數(shù)f(x)的定義域D關(guān)于點(diǎn)(a+b,0)對(duì)稱，且f(2a-x)=f(2b+x)在2a-x,2b+x∈D時(shí)恒成立，則f(x)的圖象關(guān)于直線x=a+b對(duì)稱.

證明可設(shè)點(diǎn)A(2a-x0,f(2a-x0))是函數(shù)f(x)的圖象上任一點(diǎn)，又點(diǎn)A關(guān)于直線x=a+b對(duì)稱的點(diǎn)是A′(2b+x0,f(2a-x0)).由題設(shè)可得點(diǎn)A′即A′(2b+x0,f(2b+x0)).

這就證得了f(x)的圖象上任一點(diǎn)A關(guān)于直線x=a+b對(duì)稱的點(diǎn)A′也在f(x)的圖象上，所以欲證結(jié)論成立.

定理2 在同一平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)y=f(2a-x)與y=f(2b+x)的圖象關(guān)于直線x=a-b對(duì)稱.

證明設(shè)點(diǎn)A(x0,f(2a-x0))是函數(shù)y=f(2a-x)的圖象上任一點(diǎn)，可以驗(yàn)證它關(guān)于直線x=a-b的對(duì)稱點(diǎn)A′(2a-2b-x0,f(2a-x0))在函數(shù)y=f(2b+x)的圖象上：f(2b+(2a-2b-x0))=f(2a-x0)，所以欲證結(jié)論成立.

高中生對(duì)定理1比較熟悉，而對(duì)定理2可能有些陌生，要注意兩者的區(qū)別.

下面給出這兩個(gè)定理的一種記憶方法：

定理2是針對(duì)同兩個(gè)函數(shù)y=f(2a-x)與y=f(2b+x)而言，其對(duì)稱軸的求法是：f(x)的圖象的一條對(duì)稱軸是2a-x=2b+x.

推論在同一平面直角坐標(biāo)系中，有

(1)曲線y=f(x-a)與曲線y=f(a-x)關(guān)于直線x=a對(duì)稱；

(2)曲線y=f(a+x)與曲線y=f(a-x)關(guān)于y軸對(duì)稱.

題1 (1997年全國高考文科第7題)設(shè)函數(shù)y=f(x)定義在實(shí)數(shù)集上，則函數(shù)y=f(x-1)與y=f(1-x)的圖象關(guān)于( )

A.直線y=0對(duì)稱 B.直線x=0對(duì)稱

C.直線y=1對(duì)稱 B.直線x=1對(duì)稱

解D.由推論(1)立得.

題2 求二次曲線(x-y)(x+y-4)=0的對(duì)稱軸.

解本題即求函數(shù)y=x與y=4-x的圖象的對(duì)稱軸.

在定理2中選f(x)=x,a=2,b=0后，可求得一條對(duì)稱軸是x=2.

把題中的二次曲線的解析式中的x,y互換后，得到的二次曲線沒有改變，所以原二次曲線有對(duì)稱軸x=2時(shí)，也有對(duì)稱軸y=2.

因?yàn)轭}中的二次曲線表示兩條相交直線，所以該二次曲線的對(duì)稱軸有且僅有兩條(是兩條相交直線形成四個(gè)角的角平分線組成的兩條直線)，從而可得所求對(duì)稱軸是直線x=2和y=2.