梁夢可，滕歡，李雪松，吳澤穹

(四川大學 電氣信息學院,成都 610065)

0 引 言

配電網(wǎng)潮流計算是配電網(wǎng)經(jīng)濟安全運行分析、網(wǎng)絡(luò)重構(gòu)和故障處理的基礎(chǔ)，而與輸電網(wǎng)絡(luò)相比，具有自己獨特的特點，配電網(wǎng)往往呈現(xiàn)出輻射狀結(jié)構(gòu)(閉環(huán)設(shè)計)、存在較多分支和高阻抗比等特點。在進行配電網(wǎng)潮流計算時，雅克比矩陣會呈現(xiàn)奇異特征，導致傳統(tǒng)的PQ分解法和牛頓拉夫遜法會出現(xiàn)收斂困難，計算緩慢，效率不高等特點。

傳統(tǒng)的前推回代潮流算法，對于輻射狀和高阻抗比的配電網(wǎng)具有良好的適應(yīng)性，其具有計算原理簡單，收斂性好，精確度高等特點，使得其在配電網(wǎng)潮流計算中得到了廣泛應(yīng)用[1-2]。文獻[3-5]針對前推回代潮流算法進行了一定改進措施，提高了其潮流運算速度；文獻[6]考慮了負荷的電壓靜態(tài)特性，完善了其實際應(yīng)用性。隨著分布式電源的發(fā)展，傳統(tǒng)配電網(wǎng)網(wǎng)絡(luò)從單一電源轉(zhuǎn)化為包含各種新能源的多電源網(wǎng)絡(luò)；文獻[7-8]分別從新能源接入配電網(wǎng)的角度進行了考慮，分別對傳統(tǒng)的前推回代算法進行了一定改進。

針對故障配電網(wǎng)的潮流計算卻少有研究和考慮，文獻[9]將前推回代潮流算法應(yīng)用到了配電網(wǎng)故障定位中，但是忽略了故障點將改變配電網(wǎng)的收斂特性，使得傳統(tǒng)的前推回代潮流算法呈現(xiàn)發(fā)散狀態(tài)。針對配電網(wǎng)故障潮流不收斂的現(xiàn)象，分析了故障點導致前推回代潮流算法難以收斂的原因，通過添加松弛因子，對傳統(tǒng)的前推回代潮流算法進行改進，改善了潮流計算的收斂性，并保證了潮流運算結(jié)果的準確性。該方法通過在迭代向量之間添加松弛因子，對新的迭代向量進行約束，減小了不動點迭代矩陣的譜半徑，使之滿足壓縮映射的條件，從而保證潮流計算的收斂性[10]。通過在MATLAB上進行算例仿真，驗證了該方法的有效性和準確性。

1 前推后代潮流算法原理

在實際應(yīng)用中，大規(guī)模科學與工程計算產(chǎn)生的方程系數(shù)往往是大型稀疏矩陣，此類方程的求解往往采用迭代法。前推回代潮流算法本質(zhì)也是通過迭代算法求解線性代數(shù)方程組，因此會面臨收斂性問題[11]。

1.1 迭代方程的原理分析

(1)

V是結(jié)點電壓向量，為：

(2)

設(shè)x(0)是初始迭代向量，則Jacobi迭代算法的迭代矩陣可表示為：

xk+1=Bxk+g

(3)

式中迭代向量x=[INV]T；g是常數(shù)向量。

根據(jù)分析可知，基于前推回代的潮流算法采用的Guass迭代法。在Jacobi算法基礎(chǔ)上進行了改進，其迭代矩陣B可分解為：

B=L+U

(4)

式中L是矩陣B的嚴格下三角矩陣；U是矩陣B的嚴格上三角矩陣。

Guass迭代法的分量形式為：

(5)

其矩陣形式為：

xk+1=Lxk+1+Uxk+g

(6)

通過對式(6)進行變形，構(gòu)造的迭代方程為：

(7)

ρ((I-L)-1U)<1

(8)

對于正常運行的配電網(wǎng)，前推回代潮流算法能夠取得良好的收斂性；但是，針對故障配電網(wǎng)，故障點將改變迭代矩陣的收斂性，甚至趨于發(fā)散狀態(tài)。文章在式(5)的基礎(chǔ)上，通過添加松弛因子改變其收斂性，其分量形式為：

(9)

迭代方程的矩陣形式為：

xk+1=(1-ω)xk+ω(Lxk+1+Uxk+g)

(10)

對其進行變形，即：

(11)

式中ξ是Guass法的迭代矩陣，根據(jù)ξ的譜半徑可以確定迭代方程是否收斂。當ξ的譜半徑小于1，迭代方程處于收斂狀態(tài)，即：

ρ(ξ)<1

(12)

1.2 迭代矩陣B和常數(shù)向量g

配電網(wǎng)呈現(xiàn)輻射狀特點，采用結(jié)點分層來描述網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，其原始數(shù)據(jù)記錄如下格式：

支路參數(shù)矩陣BranchM:

{父節(jié)點子節(jié)點支路阻抗參數(shù)}

任一條支路的子節(jié)點具有唯一性，則阻抗ZLj可表示子節(jié)點是j的支路，即:

結(jié)點參數(shù)矩陣NodeM:

{結(jié)點號有功功率無功功率}

在配電網(wǎng)潮流計算中，負荷的模型的選取直接影響算法的收斂性，在短路計算中，負荷模型通常選取恒定阻抗模型。假定在故障前后，負荷的阻抗恒定不變，通過故障前的功率數(shù)據(jù)計算出負載阻抗ZLD，即：

(13)

式中PLD和QLD是故障前的負載有功和無功功率；VLD是故障前的負載電壓[12]。

根據(jù)配電網(wǎng)的支路參數(shù)矩陣中節(jié)點關(guān)系，可求得此種關(guān)系運行方式下的結(jié)點關(guān)聯(lián)矩陣AT，矩陣AT可表示整個配電網(wǎng)結(jié)構(gòu)[13]。

(14)

式中n表示節(jié)點總數(shù)；aij表示節(jié)點i與結(jié)點j的關(guān)系，只有當結(jié)點i是父節(jié)點，子節(jié)點是結(jié)點j時，aij=1；否則，aij=0。

針對迭代矩陣B收斂性分析,需要對其進行參數(shù)求解，根據(jù)公式，配電網(wǎng)的線性方程為：

(15)

式中n-1階方陣Bn是迭代矩陣B的分塊矩陣；n-1階向量gn是常向量g的子向量；根據(jù)配電網(wǎng)結(jié)點關(guān)聯(lián)關(guān)系，本文將分別對Bn和gn進行求解。

根據(jù)算法原理可知結(jié)點負載電流只有結(jié)點電壓有關(guān)，則B1和g1是零矩陣，B2是對角陣；其可表示為：

(16)

即：

(17)

根據(jù)基爾霍夫定理，忽略線路對地導納情況下，線路電流Iij等于結(jié)點j的負載電流和所有下游結(jié)點負載電流之和，根據(jù)關(guān)系矩陣AT可求得矩陣ATH，為：

(18)

式中i，j表示ATH(i，j)在矩陣ATH位置，假定ATH(i，j)=1，則表示結(jié)點j是結(jié)點i的下游結(jié)點。令ATH的對角元素為1，即：

ATH(i,i)=1i=1,2,…,n

(19)

則流經(jīng)支路Lij電流為：

(20)

式中向量ATH(j,2:n)是矩陣ATH的j行、2到n列的元素。

同理ATO是AT的轉(zhuǎn)置矩陣，可以表示子節(jié)點與其對應(yīng)的父節(jié)點的關(guān)系，例如矩陣ATO中存在aij=1，則表示節(jié)點j的父節(jié)點是結(jié)點i，其結(jié)點i的電壓為：

(21)

對于任一條支路，其子節(jié)點與父節(jié)點的電壓關(guān)系為：

(22)

根據(jù)式(22)，可得：

(23)

B4=AOT(2:n,2:n)

結(jié)點2的電壓跟根節(jié)點電壓有關(guān)，即：

(24)

可知：

(25)

式中向量g2中其他元素為零。

通過對潮流計算原理以及迭代矩陣B收斂性分析，當配電網(wǎng)發(fā)生對地故障時，故障點將改變最初建立的迭代矩陣B，根據(jù)式(8)可知，進而影響迭代算法的收斂性。當?shù)匠痰淖V半徑大于1時，算法的收斂性將會被破壞，進而導致不收斂現(xiàn)象的發(fā)生，通過添加松弛因子能夠使得遭到破壞的迭代矩陣重新收斂，將在第三章進行算例分析和驗證。

2 改進前推回代潮流算法

配電網(wǎng)往往呈現(xiàn)輻射狀結(jié)構(gòu)，前推后代法是配電網(wǎng)潮流計算中廣泛采用的一種方法。改進前推回代潮流計算過程如下：

(2)從第一層的末梢負荷結(jié)點開始，根據(jù)負載阻抗，由k次迭代的結(jié)點電壓可計算流入該節(jié)點j的負載電流，為：

(26)

式中j是最末稍結(jié)點的負荷節(jié)點號；i是所在線路區(qū)段末結(jié)點的父節(jié)點號。

(3)從第二層(非末梢結(jié)點)開始逐層計算支路電流，根據(jù)基爾霍夫定理可求得：

(27)

式中j為是支路子節(jié)點號；i是該節(jié)點的父節(jié)點。

(4)由步驟(2)和步驟(3)可求得所有支路的電流，再根據(jù)已知的根節(jié)點電壓，由根節(jié)點向后依次求得各個負荷結(jié)點的電壓，為：

(28)

(29)

(4)計算各個負荷節(jié)點的電壓幅值修正值。

(30)

(5)計算結(jié)點電壓修正量的最大值max(ΔUj)；

(6)判斷收斂條件

max(ΔUj)<ε

(31)

式中若最大電壓修正量小于閾值，則跳出循環(huán)，輸出結(jié)點電壓值和負載電流；否則重復以上步驟，直至滿足收斂條件。迭代結(jié)束后，輸出結(jié)點電壓和負載電流。

3 算例分析

以IEEE33結(jié)點標準模型進行算例分析，其結(jié)構(gòu)及結(jié)點編號如圖1所示。

圖1 IEEE 33結(jié)點標準模型Fig.1 Model of the IEEE 33-node test feeder

假定在結(jié)點15和16中間位置發(fā)生對地故障，故障電阻是5 Ω。利用Guass迭代法的前推回代潮流算法進行計算，仿真結(jié)果證明配電網(wǎng)在故障狀態(tài)下，此算法不能處于收斂狀態(tài)，最終求得的結(jié)點電壓和負荷電流趨于無窮大。對迭代矩陣進行收斂性分析，求得其譜半徑為：

ρ((I-L)-1U)=1.303

(32)

因此，前推回代算法的迭代方程不滿足收斂狀態(tài)，驗證了仿真結(jié)果。

對改進的潮流算法進行仿真分析，當松弛因子ω=0.5時，其譜半徑為：

ρ(ξ)=0.831

(33)

改進的潮流算法通過松弛因子改變了迭代方程的譜半徑，使之滿足壓縮映射的條件，從而保證潮流計算的收斂性。

為了進一步對兩種算法進行對比，選取故障點為分析結(jié)點，分析其電壓幅值和迭代次數(shù)的關(guān)系。改進前的算法，其結(jié)果如圖2所示；改進后的算法，其結(jié)果如圖3所示。

分析可知：改進前的算法在故障情況下不具有收斂性，結(jié)點電壓隨著迭代次數(shù)增加趨于無窮，并且在前20次迭代過程中，由于新的迭代電壓不受前次結(jié)點電壓的約束，整個迭代過程呈現(xiàn)振蕩遞增；對比可知改進的算法能夠保持較好的收斂性，迭代過程呈現(xiàn)振蕩衰減，并且逐漸趨于穩(wěn)定值，證明了松弛因子ω能夠?qū)Y(jié)點電壓進行約束，使得迭代過程從發(fā)散狀態(tài)轉(zhuǎn)化為收斂狀態(tài)。

圖2 前推回代法電壓與迭代次數(shù)關(guān)系Fig.2 Relation between voltage and iteration times under forward/backward sweep substitution

圖3 改進算法下電壓與迭代次數(shù)關(guān)系Fig.3 Relation between voltage and iteration times under improved algorithm

通過仿真算例驗證了改進算法的可行性，而且在相同工況條件下，對松弛因子ω和迭代次數(shù)n的函數(shù)關(guān)系進行了分析，其函數(shù)關(guān)系如圖4所示，在ω=0.82，存在最小迭代次數(shù)n=25。

分析可知：在相同運行條件下，松弛因子直接影響改進算法的迭代次數(shù)，較小的松弛因子由于嚴格約束迭代向量的更新，相應(yīng)會增加迭代次數(shù)；而較大的松弛因子導致改進算法的不收斂性增加，也會增加迭代次數(shù)；因此最優(yōu)松弛因子不僅保證算法的收斂，而且能夠加快算法運行速度。

圖4 迭代次數(shù)與松弛因子關(guān)系Fig.4 Relation between iteration times and relaxation factor

根據(jù)改進潮流算法對配電網(wǎng)進行故障潮流計算，其結(jié)點電壓和負載電流如表1所示。

表1 計算結(jié)果Tab.1 Calculation results

4 結(jié)束語

前推回代潮流算法針對正常運行的配電網(wǎng)具有較好的實用性，但是對于配電網(wǎng)故障潮流的計算卻存在不收斂現(xiàn)象。文中從本質(zhì)上分析了此算法的數(shù)學原理以及不收斂的原因，在傳統(tǒng)算法的基礎(chǔ)上對其進行了改進；通過添加松弛因子，對迭代向量進行約束，從而改變了算法的收斂性。通過在Matlab上進行算例分析，驗證了此算法的實用性和收斂性，并且提出了最優(yōu)松弛因子的理念，但是對于不同故障條件下，針對最優(yōu)松弛的選取問題，仍需要進一步研究和分析。