柏華文，黃文杰，宋愛平，彭云

(揚(yáng)州大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，江蘇揚(yáng)州 225127)

0 引言

齒輪傳動(dòng)是機(jī)械傳動(dòng)效率最高的傳動(dòng)機(jī)構(gòu)。在以前的研究中，圓柱齒輪的齒廓主要分為3種：漸開線、擺線、圓弧形[1]。圓柱齒輪的齒線主要分為直齒、斜齒、人字齒3種。這些齒輪都已廣泛應(yīng)用于機(jī)械傳動(dòng)。文中分析的弧齒線擺線圓柱齒輪是一種新型的圓柱齒輪,其主要特點(diǎn)是:齒線是圓弧的一部分[1]；齒廓分為兩部分，分度圓外為一段圓弧，分度圓內(nèi)為根據(jù)嚙合原理所做出的齒峰圓弧的共軛曲線[2],其外形如圖1所示。

圖1 弧齒線擺線圓柱齒輪

對(duì)于弧齒線擺線圓柱齒輪，目前還缺少對(duì)其進(jìn)行受力分析的方法，作者采用有限元分析法對(duì)齒面接觸應(yīng)力和齒根彎曲應(yīng)力進(jìn)行分析，探究弧齒線半徑對(duì)其傳動(dòng)強(qiáng)度的影響。

1 弧齒線擺線圓柱齒輪的基本參數(shù)

1.1 弧齒線擺線圓柱齒輪的基本參數(shù)

1.1.1 分度圓

分度圓是為了便于齒輪設(shè)計(jì)和制造而選擇的一個(gè)尺寸參考。齒輪分度圓具有標(biāo)準(zhǔn)的模數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)的壓力角，所以取它作為齒輪各部分尺寸的計(jì)算基礎(chǔ)。取弧齒線擺線圓柱齒輪的分度圓半徑為a=2l/(1+k),其中l(wèi)為齒輪副中心距，k為齒輪傳動(dòng)比。

1.1.2 模數(shù)

在弧齒線擺線圓柱齒輪的分度圓截面處各點(diǎn)的周向齒厚相等、周向齒槽相等[3]，即Ts=Tc、Hs=Hc，如圖2所示。這里提出一個(gè)新的齒輪參數(shù)——周向模數(shù)mc,其值為分度圓直徑與齒數(shù)之比。

圖2 弧齒線擺線圓柱齒輪幾何參數(shù)

1.1.3 齒峰圓弧半徑及壓力角

弧齒線擺線圓柱齒輪的一些基本參數(shù)與傳統(tǒng)漸開線齒輪的參數(shù)類似，例如，對(duì)于傳統(tǒng)的漸開線齒輪，齒廓的不同位置有不同的壓角，弧齒形擺線圓柱齒輪也具有相同的特性。在圖3(a)中，齒峰為一段圓弧，力Fn朝向圓弧中心O3。假設(shè)βi是旋轉(zhuǎn)角，ai是齒峰圓的半徑，而αi是相應(yīng)的壓力角。

如圖3(a)所示，根據(jù)三角形的正弦定理:

(1)

一對(duì)嚙合齒輪在分度圓處具有相同的壓力角，k是傳動(dòng)比。假設(shè)齒輪1和齒輪2是一對(duì)嚙合齒輪。如圖3(b)所示，r1表示齒輪1齒峰圓的半徑，b1代表從齒輪的中心到齒峰圓弧的中心長(zhǎng)度，a1表示齒輪1的分度圓半徑。齒峰圓弧的一半所對(duì)應(yīng)的角度β1=π/2z1，齒谷擺線的一半所對(duì)應(yīng)的角度也是相同的角度β2=π/2z1(其中z1為齒輪1的齒數(shù))。在圖3(b)中，根據(jù)方程(1)，可以得到以下方程：

(2)

由圖3(c),同理可得與齒輪1相嚙合的齒輪2的方程:

(3)

其中：α表示齒輪1的節(jié)圓壓力角,γ和α是互余的角度。a2=ka1,b2=kb1,β2=π/2z2。

圖3 弧齒線擺線圓柱齒輪壓力角

1.2 齒廓方程

1.2.1 齒峰曲線方程

參照?qǐng)D4，建立了一種笛卡爾坐標(biāo)系XO1Y，假設(shè)齒數(shù)比k=z2/z1，齒輪1作為傳動(dòng)齒輪。在△O1O3S1中，根據(jù)三角形的余弦定理：

(4)

齒輪1的半齒峰圓弧T1S1的參數(shù)方程可以表示為：

(5)

圖4 齒輪副嚙合齒廓

1.2.2 齒谷曲線方程

由圖5可知：當(dāng)齒輪1沿著中心O1順時(shí)針旋轉(zhuǎn)角度θ,齒輪2將沿著中心O2逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角度θ/k。令齒輪2逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)并令齒輪1不動(dòng)。齒輪2曲線T2S2和齒輪1曲線Q1S1相嚙合,G(x2，y2)是嚙合點(diǎn)，P是兩個(gè)齒輪節(jié)圓的交點(diǎn)。嚙合點(diǎn)G的法線必然穿過齒輪2的齒峰圓中心點(diǎn)O4以及節(jié)點(diǎn)P。因此，點(diǎn)G、P、O4在直線GO4上。讓直線O1F∥O4G,F是直線O1F和直線O2O4的交點(diǎn),δ是直線O1F和X軸的夾角。讓EF垂直于笛卡爾坐標(biāo)系的X軸，E為垂足，讓直線O4A平行于X軸，A是交點(diǎn)。讓CG垂直于直線AC,C為垂足。通過幾何關(guān)系，可以得到以下關(guān)系：△O1FE∽△O4GC, △O2PO4∽△O2O1F, △O2O4A∽△O2FD，可以得出以下結(jié)論:

∠GO4C=∠FO1E=δ

(6)

(7)

(8)

(9)

O1F=(O1E2+FE2)1/2=

(10)

圖5 任意旋轉(zhuǎn)角度下的齒谷擺線的嚙合

齒輪1的齒谷擺線的1/2可以用笛卡爾坐標(biāo)系表示為下面的方程：

x2=O1B-O4A-O4C=(k+1)·a1·cosθ-

(11)

y2=O2B-O2A+GC=(k+1)·a1·cosθ-

(12)

其中：

1.2.3 齒線半徑與位置角的關(guān)系

如圖6所示，有笛卡爾坐標(biāo)系(O,X,Y,Z)。XOY平面穿過齒輪中間部分，Z軸與齒輪軸重合。將橫向剖面投影到中間部分，齒輪的中間部分可以被視為齒廓。

假設(shè)B是齒輪的齒寬，RZ是圓弧齒的半徑。弧齒線位置角對(duì)應(yīng)弧長(zhǎng)的方程為：

(13)

圖6 齒線位置角φ2與齒輪的周向展開

可以算出位置角φ2為：

(14)

其中：a為分度圓半徑。

1.3 重合度

重合度是齒輪傳動(dòng)的一個(gè)很重要的概念,是齒輪傳動(dòng)的連續(xù)性及平穩(wěn)性評(píng)價(jià)的重要指標(biāo)。實(shí)際嚙合線的長(zhǎng)度與周節(jié)的比值稱為重合度。參照人字齒輪副重合度的計(jì)算方法，弧齒線擺線圓柱齒輪的重合度ε由端面重合度εα和軸向重合度εβ組成[4]，即

ε=εα+εβ

(15)

由于弧齒線擺線圓柱齒輪的齒廓比較特殊，用一般齒輪副重合度的計(jì)算方法比較困難，所以作者采取了重合度的另一種定義方法。首先介紹幾個(gè)概念：

齒輪作用角[5]:輪齒從開始嚙合到終止嚙合所轉(zhuǎn)過的角度, 用φ1表示。

周節(jié)圓心角:一個(gè)周節(jié)所對(duì)的圓心角，齒輪上不同圓(Ri)其周節(jié)(pi)是不同的,但是所有不同周節(jié)(pi)所對(duì)圓心角都是相同的[6],用φ表示,即

φ=2π/z

(16)

重合度定義為:齒輪作用角φ1與周節(jié)圓心角φ之比[6]。即:

(17)

周節(jié)圓心角與齒輪作用角的示意圖如圖7所示。

圖7 周節(jié)圓心角與齒輪作用角

因此，可以得到以下方程:

(18)

方程(18)表明：弧齒線擺線圓柱齒輪的端面重合度是常數(shù),其值0.5?；↓X線擺線圓柱齒輪的軸向重合度εβ可以按弧線圓柱齒輪的軸向重合度[7]計(jì)算：

(19)

由式(18)和式(19)可以得到：

(20)

為了確保齒輪傳動(dòng)可以持續(xù)和平穩(wěn),因此ε≥1,方程(20)重寫為:

RZ≤(B2+m2π2)/(4πm)

(21)

如方程(21)所示，增加B值或降低值RZ可以達(dá)到增加重合度ε值的目的。然而，如果RZ太小，則會(huì)導(dǎo)致正常的齒輪兩端法向厚度太薄，使得齒輪抗彎強(qiáng)度變?nèi)鮗8]。如果RZ過大，弧齒軌跡與直線相似，不能體現(xiàn)弧齒的優(yōu)點(diǎn)，而且可能會(huì)使重合度小于1。此外，RZ的值通常大于B值的一半，因此RZ值的范圍可以表示為:

B/2≤RZ≤(B2+m2π2)/(4πm)

2 弧齒線擺線圓柱齒輪副受力分析

由工業(yè)經(jīng)驗(yàn)和實(shí)驗(yàn)室實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)可知，兩個(gè)高應(yīng)力區(qū)域通常是漸開線齒輪失效的根源。這兩個(gè)區(qū)域是齒輪的齒根和齒輪的接觸表面[9]。利用三維建模軟件SolidWorks對(duì)一組弧齒線擺線圓柱齒輪副及漸開線直齒圓柱齒輪副進(jìn)行齒面接觸受力分析。選定弧齒線擺線圓柱齒輪副的幾個(gè)參數(shù)：

(1)模數(shù)m為4 mm;

(2)小齒輪齒數(shù)z1為24;

(3)大齒輪齒數(shù)z2為48;

(4)齒輪寬度B為40 mm;

(5)齒線RZ半徑分別為24、26、30、32、34 mm;

(6)齒輪材料為合金鋼。

并添加約束，施加同樣大小的傳動(dòng)轉(zhuǎn)矩1 000 N·m，在外界條件相同的情況下，對(duì)齒輪嚙合面進(jìn)行接觸面選擇，然后劃分網(wǎng)格，最后進(jìn)行受力分析。漸開線直齒齒輪副傳動(dòng)采用同樣參數(shù)及步驟進(jìn)行比較。RZ=34 mm時(shí)的弧齒線擺線圓柱齒輪副的應(yīng)力圖如圖8所示，漸開線直齒圓柱齒輪副應(yīng)力圖如圖9所示。在接觸齒側(cè)的彎曲應(yīng)力被認(rèn)為是拉應(yīng)力，而對(duì)齒側(cè)的彎曲應(yīng)力則被認(rèn)為是壓應(yīng)力。其余弧齒線半徑的應(yīng)力數(shù)值結(jié)果統(tǒng)計(jì)如表1所示。

圖8 RZ=34 mm的弧齒線擺線圓柱齒輪副靜應(yīng)力分析

圖9 直齒圓柱齒輪副靜應(yīng)力分析

表1 靜應(yīng)力有限元分析結(jié)果MPa

3 結(jié)論

以上闡述了弧齒線擺線圓柱齒輪的基本參數(shù)并利用有限元分析法對(duì)其齒面接觸應(yīng)力和齒根彎曲應(yīng)力進(jìn)行了分析，可以得出以下結(jié)論:

(1)弧齒線擺線圓柱齒輪的接觸應(yīng)力及彎曲應(yīng)力隨著弧齒線半徑RZ的增大而逐漸減小。

(2)與漸開線直齒輪相比，當(dāng)RZ為30、32、34 mm時(shí)(當(dāng)弧齒線半徑RZ大于34 mm時(shí)，齒輪副重合度小于1，無法正常傳動(dòng)，故未考慮RZ大于34 mm的情況)，在其他條件相同情況下，弧齒線擺線圓柱齒輪的最大接觸應(yīng)力分別減少了5.63%、8.94%、25.07%，弧齒線半徑RZ越大，減小的百分比也越大。

(3)與漸開線齒輪相比，RZ為30、32、34 mm時(shí)，弧齒線擺線圓柱齒輪的齒根彎曲拉應(yīng)力分別比漸開線齒輪低12.97%、16.06%、23.52%，齒根彎曲壓應(yīng)力分別降低了11.12%、17.22%、24.14%。弧齒線半徑RZ越大，減小的百分比也越大。

(4)在保證齒輪副傳動(dòng)重合度大于1的情況下，弧齒線RZ取值在0.75B～0.85B內(nèi)時(shí)，與漸開線圓柱齒輪相比，弧齒線擺線圓柱齒輪具有更小的齒面接觸應(yīng)力與齒根彎曲應(yīng)力，具有比較好的接觸疲勞強(qiáng)度、彎曲疲勞強(qiáng)度和更長(zhǎng)的使用壽命。