廣東省佛山市順德區(qū)容山中學(528303)李洪波

高中三角函數部分的考察很多都是先求解析式,只要把解析式化成f(x)=Asin(ωx+φ)的形式,后面的解答過程都有固定的套路.解析式中A,ω,φ也有固定的方法求解,但常規(guī)解法有時會比較繁瑣易錯.本文從“五點法”作圖的知識入手,通過“關鍵點”,充分挖掘正弦型三角函數的特點,將其性質在圖像中顯示出來,以圖促思,簡化過程,從而快速找到解決問題的方法.

類型一：利用“五點法”拓展圖形

例1函數f(x)=的部分圖像如圖1所示,則f(x)的單調遞增區(qū)間為___.

圖1

圖2

解析此題的常規(guī)解法是先根據圖像求出解析式,再求單調區(qū)間.由于此題較為簡單,而且圖形的信息點足夠,很多學生淺嘗輒止,沒進一步的思考,深究圖形的特點.其實我們可以利用“五點法”把圖形進行拓展,如圖2,由圖可知[-3,1]為其一個單調遞增區(qū)間,再觀察出函數的周期為8,所以其單調區(qū)間為[-3+8k,1+8k],k∈Z,這樣過程就簡化了很多.

例2(2016新課標1理科)已知函數f(x)=sin(ωx+φ)(ω ＞0,|φ|為y=f(x)圖像的對稱軸,且f(x)在單調,則ω的最大值為()

A.11B.9C.7D.5

解析根據零點與對稱軸是可以把函數圖像作出來的,有了圖像直接看其在是否單調即可.如圖3,對稱軸可能在圖中1,2,3,4...等位置,一一驗證即可.當在1的位置時,則ω=1,顯然函數在上單調;當在2的位置時,則ω=3,且區(qū)間夾在相鄰兩條對稱軸之間,所以單調;(具體數據的標識如圖4)可以知道,后面ω的值依次為5,7,9,11...,結合答案選項,再驗證一下11與9,發(fā)現答案是9.這里不需要把每個值都算出來,只需求出對稱軸即可.圖5為ω=11時的函數圖像,由則從開始往左邊數,每次遞減即可求出各個對稱軸的坐標,此時就會發(fā)現對稱軸恰好在區(qū)間(內,故在此區(qū)間函數不單調.

圖3

圖4

圖5

有很多解法是先把φ的值算出來(具體算法在這里就不贅述了),0,那么會不會與上面的圖像相矛盾呢?注意到圖中的圖像都是從往右向上走的,如果它與y軸交于下方,則可以讓圖像從往右向下走的,對單調性是沒有影響的.

類型二：鎖定關鍵點,利用圖像的平移知識解決問題

例3函數f(x)=Asin(ωx+φ)的部分圖像如圖6所示,則其解析式為___.

解析解析式中的A與ω容易求得,φ的求法一般是代點求值,由于此題沒有給定φ的范圍,所以在解答過程中會面臨取舍困難.由圖易知,A=2,T=π,所以ω=2,y=2sin(2x+φ).觀察到圖中的點A橫坐標為所以函數圖像是由y=2sin2x向右平移得到的,所以

圖6

例4將函數y=-cos2x的圖像向右平移m(m＞0)個單位以后圖像與y=sin2x關于對稱,則m的最小值為___.

解析因為對稱是相互的,所以我們可以先求出y=sin2x關于對稱的函數,則這個函數是由y=-cos2x向右平移m(m＞0)個單位得到的,這樣就可以避免帶參數的運算.當然,求解y=sin2x關于對稱的函數解析式,計算量也不小,這時我們可以鎖定關鍵點,進行平移,從而避開這個運算.y=sin2x的一個最高點為它關于對稱的點為而y=-cos2x上的在的左邊且與距離最小的最低點為(0,-1),所以m的最小值為

三角函數的平移對稱一定要鎖定“關鍵點”,直接看這個點是怎樣變化的就行了.一般情況下如果能準確判斷出第一零點的位置,則選用第一零點最為方便,如果不能,也可選用最高(低)點.

類型三：充分利用函數圖像的對稱性

例5已知函數f(x)=Acos(ωx+φ)的圖像如圖7所示,

圖7

圖8

解析此題的常規(guī)解法就不贅述了.根據正弦型函數的圖像性質我們可以把題目中的圖形加以拓展,如圖8,我們會發(fā)現距離0最近的對稱軸為最近的對稱軸為它們與最近對稱軸之間的距離都是一個在x軸上面,一個在x軸下面,所以它們的值互為相反數,故

我們發(fā)現,正弦型三角函數圖像上距離最近對稱軸(或對稱中心)距離相等的點,它們的值相等或互為相反數.

例6已知函數其中x∈[(其中m∈R,且若f(x)的值域是則m的取值范圍是___.

圖9

解析此題我們先求出一個最高點的坐標,如由于周期幾個關鍵點的橫坐標成等差數列,于是快速作出圖像如圖9,在這里作圖時最好從最高點或最低點開始,這樣就會清楚地知道曲線的下一步走向.一般情況下,正弦型三角函數圖像可以先畫出一條波浪線與x軸,然后從一個最高(低)點出發(fā),每次遞增來描出關鍵點.經計算可知=-1,所以m的取值就介于B,C兩點之間,且A,C關于對稱,所以C的橫坐標為

充分利用圖形的對稱性,可以減少很多計算量.

類型四：利用伸縮變換的比例求值

解析由于周期個單位比還小,所以可得到函數圖像如圖10,由圖可以知道則所以f(0)的值與的值相同,故

圖10

圖11

這里參照了特殊角的三角函數值,正弦型三角函數f(x)=sin(ωx+φ)均可看作是由正弦曲線y=sinx通過一系列變換得到,我們發(fā)現,在變換過程中,如果|OB|:|OA|的值不變,則函數在點B處的函數值也不會變.如圖11,如果則點B處的函數值就與相同,如果則函數在點A處的函數值就與互為相反數,這里的正負可以直接從圖形上看出來.

另外,如果振幅A有變化,則只需要在值前面乘以A即可.

正弦型三角函數進行伸縮變換時,伸長縮小的比例都是一樣的,弄清楚這個變化,就可以類比y=sinx來求值.在解題過程中我們充分利用這個特點,就會有意想不到的收獲.