湖北省陽新縣高級中學(435200)鄒生書

山西省長治市沁縣中學(046400)王 河

解析幾何就是用代數方法解決幾何問題,在高中階段就是用方程思想來處理直線與圓錐曲線及其位置關系等問題.在高考中圓錐曲線必考一道大題,主要考查直線方程及圓錐曲線的標準方程、離心率等幾何性質,考查定值定點、最值和取值范圍等問題,重點考查運算求解能力.圓錐曲線大題往往是題設條件多、關系錯綜復雜的動態(tài)問題,大多考生對這類問題常常不知從何下手,不知道是該設點的坐標還是設直線方程?怎么設?設多少個未知數?怎么列方程?怎么求解等?對考生的運算求解能力是一個很大的挑戰(zhàn).解答這類問題需要考生既能沖鋒限陣斬將奪關,又能統(tǒng)領三軍,運籌帷幄之中,決勝千里之外.下面以一道圓錐曲線問題的解法為例,說明如何用設點法和設線法解決直線與圓錐曲線的有關問題,與讀者交流.

題目如圖1,已知橢圓O:點B,C分別是橢圓O的上下頂點,點P是直線l:y=-2上的一個動點(與y軸交點除外),直線PC交橢圓于另一點M.

(1)已知直線BM,BP的斜率分別為k1,k2,求證：k1k2為定值;

思路一通過設點的坐標切入求解.

圖1

解法1(1)設點P(x0,-2),M(x,y),則將其代入橢圓方程整理得

因為直線PC與橢圓相交點C,M,則點C,M的縱坐標是這個方程的兩個根,而點C的縱坐標為-1,由根與系數關系兩根之積求得點M的縱坐標為代入x=-x0(y+1)得點M的橫坐標為于是

因點M與點B不重合,故x0/=0,則所以的取值范圍是(9,+∞).

解法2(1)設點P(x0,-2),因為點M在橢圓上,由橢圓參數方程設M(2cosθ,sinθ),則

點評上述兩種方法通過設動點P,M的坐標切入求解,其中解法2用橢圓的參數方程設點M的坐標,然后根據P,C,M三點共線用向量共線的坐標運算列方程求解.解法1是將點P作為主動點,用點P的橫坐標x0表示從動點M的坐標以及斜率k1,k2,解法2是將點M作為主動點,用參數角θ表示點P的橫坐標及斜率k1,k2.第2問都采用分離常數法求取值范圍.

思路二通過設直線的方程切入求解.

解法3(1)因為直線PM過點C(0,-1),故可設直線PM的方程為y=kx-1,將其代入橢圓方程整理得(4k2+1)x2-8kx=0,此方程的兩個根分別是直線PC與橢圓交點C,M的橫坐標,而點C的橫坐標為0,則點M的橫坐標為代入y=kx-1得點M的縱坐標為則直線BM的斜率

解法4(1)因為直線PM過點C(0,-1),故可設直線PM的方程為y=kx-1.因為BC為橢圓直徑,由文[1]知在y=kx-1中令y=-2得點P的橫坐標為則直線BP的斜率所以

(2)同法3略.

點評解法3和解法4均以直線PM的點斜式方程切入求解,用直線PM的斜率k表示點P,M的坐標及斜率k1,k2,其中解法4運用橢圓直徑斜率的性質求解,在證明k1k2為定值時可以起到簡化運算縮小解題長度的作用.

解法5(1)因為直線BP過點B(0,1)且斜率為k1,故直線BP的方程為y=k1x+1,令y=-2得點P的橫坐標為因為BC為橢圓直徑,由文[1]知所以

解法6(1)因為直線BM過點B(0,1)且斜率為k2,故直線BM的方程為y=k2x+1.因為BC是橢圓直徑,由文[1]知所以直線PC的方程為令y=-2得xP=4k2.又直線PB的方程為y=k1x+1,令y=-2得于是有

(2)將直線BM的方程y=k2x+1代入橢圓方程整理得

因為直線BM不平行于x軸,所以k2/=0,故的取值范圍是(9,+∞).

點評解法5(解法6)以直線BP(BM)的點斜式方程切入求解,用其斜率k1(k2)表示點P,M的坐標及另兩條直線的斜率,這兩種解法充分運用題目所設斜率k1,k2,不再另外設點的坐標或設直線PM的方程,雖然解法與法3法4整體上大同小異,但解法直接.

筆者在文[1]中介紹了橢圓直徑三角形斜率的一個性質與應用,性質如下：

性質已知AB是橢圓或圓C:0)的任一直徑,點P是曲線C上異于A,B的任意一點,若直線PA,PB都不平行于坐標軸,則

當橢圓試題中涉及直徑三角形斜率的有關問題時,宜用直線點斜式方程的設線法,若能運用上述性質處理則解法更加快速高效.

高考鏈接2009年高考福建卷理科第19題第2問題,2011年高考江蘇卷理科第18題第3問,2012年高考湖北卷理科第21題第2問等,可用設線法結合性質求解,考題如下,解法見文[1]這里從略.

1(2009年高考福建卷理科第19題)已知A,B分別為曲線C:=1(y≥0,a＞0)與x軸的左右兩個交點,直線l過點B,且與x軸垂直,S為l上異于點B的一點,連結AS交曲線C于點T.

(1)若曲線C為半圓,點T為圓弧AB的三等分點,試求出點S的坐標;

(2)點M是以SB為直徑的圓與線段TB的交點,試問：是否存在a,使得O,M,S三點共線?若存在,求出a的值;若不存在,請說明理由.

2(2011年高考江蘇卷理科第18題)如圖2,在平面直角坐標系xOy中,M,N分別是橢圓=1的頂點,過坐標原點的直線交橢圓于P,A兩點,其中點P在第一象限,過P作x軸的垂線,垂足為C.連接AC并延長交橢圓于點B,設直線PA的斜率為k.

圖2

(1)當直線PA平分線段MN時,求k的值;

(2)當k=2時,求點P到直線AB的距離d;

(3)對任意的k＞0,求證：PA⊥PB.

3(2012年高考湖北卷理科第21題)已知A是單位圓x2+y2=1上的任意一點,l是過A點與x軸垂直的直線,D是直線l與x軸的交點,點M在直線l上,且滿足|DM|=m|DA|(m＞0且m/=1),當點A在圓上運動時,記點M的軌跡為曲線C.

(1)求曲線C的方程,判斷曲線C為何種圓錐曲線,并求焦點坐標;

(2)過原點且斜率為k的直線交曲線C于兩點P,Q,其中P在第一象限,它在y軸上的射影為點N,直線QN交曲線C于另一點H.是否存在m,使得對任意的k＞0,都有PQ⊥PH?若存在,求m的值;若不存在,請說明理由.

解析幾何就是用代數的方法解決幾何問題,設點法和設線法是解決動直線與圓錐曲線相交問題的基本方法.當三點共線時用向量共線的坐標運算求解可避免對直線斜率存在性的討論,中點弦問題的點差法是設點法的經典解法.直線方程與圓錐曲線方程聯立組成方程組,用方程思想和一元二次方程根與系數關系求解是解決這類問題的通性通法.在解題過程中要有目標意識,在用設點法或設線法求解時,要注意“主”與“輔”的關系,要始終圍繞目標和解題計劃展開求解,抓住問題的主要矛盾,抓住矛盾的主要方面,抓住牛鼻子牛就怪怪地跟著你走了.在設點或設線法中,若能用某個點的坐標或某直線方程中的某一個或幾個變量去表示其余的點的坐標或直線的方程,這樣抓住“牛鼻子”就使得定值證明、最值求解和取值范圍問題迎刃而解了.