廣東省東莞市東華高級中學(523128) 趙金國

1 問題的提出

現(xiàn)行《普通高中課程標準實驗教科書》(數學)與以往教材明顯的差別是:①增加了“研究性學習”,②應用題貫穿于教材的各個章節(jié).繼《教科書》增設“數學探究”活動以來,各地高校不斷舉行各種形式的“數學建?！贝筚?這表明數學應用在數學教學中具有的重要地位.教學中發(fā)現(xiàn),中學生數學建模能力比較差,大部分學生對數學應用題感到束手無策.因此加強中學數學建模教學和研究具有重要意義.

新課標的基本理念要求:“發(fā)展學生的數學應用意識,倡導積極主動、勇于探索的學習方式”,并提出:數學知識與實際的聯(lián)系,發(fā)展學生的應用意識的能力,并逐步形成學生的創(chuàng)新意識,通過應用題的教學讓學生認識到:數學與我有關,與實際生活有關,數學是有用的,我要學數學,我能用數學[1]的觀點.這為數學應用題教學提供了理論依據.

對于新教材進行多年的教學與研究,筆者對數學應用題教學有了初步的了解和認識,在實踐中有了一些心得和體會.下面我從應用題教學原則、解題策略和案例分析等方面談一下粗淺的看法.

2 數學應用題教學中應遵循的原則

現(xiàn)代教學論認為教學活動是一個師生互動、互相交流的活動,在這一活動過程中,學生是活動的主體,是學習和探索知識是主人.教師是學生學習的指導者、組織者和學生出現(xiàn)錯誤時的矯正者.教師的作用不單是傳授知識,更重要的是教會學生學會思維,培養(yǎng)學生的創(chuàng)造性思維能力.有了創(chuàng)造思維能力,學生不僅可以學會教師講授的知識,還可以悟出教師沒有講授的知識,甚至創(chuàng)造出新的知識和方法.

在應用題教學中,注重發(fā)展學生的應用意識,引導學生用數學知識來解決實際問題,并在探索和解決問題的過程中,體會數學的價值,必要時進行實地考察、還原模型,但在教學中要注意以下原則.

2.1 可接受性、方向性原則

針對中學生的認知特點和身心發(fā)展的特征,教學中要注重學生的接受知識的能力,不可盲目地補充大量的實際應用題;要注重數學應用題要與《課標》相接軌、相匹配,不可隨意性拔高,加深難度;要注重學生的知識基礎和解決實際問題的能力,不可好高鶩遠,要引導學生自覺地“在學中用,在用中學”;另外應用題的選編要與社會實踐和社會生活密切相關,要有現(xiàn)實感和時代感.因為貼近生活的應用題會讓學生感到親切、自然、又身臨其境,也會使學生真正感受到數學是有用的,增強學生學好數學的積極性[1].

2.2 循序漸進性、創(chuàng)新性原則

智力和能力的發(fā)展,是一個循序漸進的過程.數學知識是具有嚴密的邏輯性和系統(tǒng)性,因此,在應用題教學中,選材一定要根據學生的實際,由易到難、由淺到深、由感性到理性的進行.還要培養(yǎng)學生的責任意識,體現(xiàn)了數學的社會化功能,否則將失去應用題的價值.教學的核心是學生的“創(chuàng)新”,在教學過程中,引導學生根據自己的體驗,并用自己的思維方式重新創(chuàng)造出有關的新方法、新思路.

3 數學應用題的解題策略

在日常生活的中,每一個學生對事物、對問題都有自己的看法和解決問題的辦法.有些問題即使學生還沒有接觸過,但當問題一旦顯現(xiàn)在他們面前時,他們往往也可以運用自己的聰明才智和已有認知能力,對問題進行部分或全面的回答.因此,教師不能無視學生這些想法另起爐灶,把自己的想法和經驗強加于學生,而是要把學生現(xiàn)有的知識經驗作為新知識的生長點,引導學生從原有的知識經驗中生長出新的知識.教師要重視學生對各種現(xiàn)象的理解,傾聽他們的想法,洞察他們這些想法的由來,并且以此為根據來引導學生,豐富和完善自己的理解;并在此過程中進行相互交流和探討,共同對某些問題進行修正和拓展.

數學應用題的教學可分為兩步教學:一是建立數學模型(建模)的教學,二是求解數學模型(求模)的教學.建模教學是應用題教學的核心,建模就是把實際問題轉化為數學問題的過程,它是一個把學生的直覺感知進行提煉、抽象的過程,而求模過程往往只是一個純數學問題的解答過程,因此應用題的教學和考查應重在建模能力的教學和考查上.筆者在應用題的教學中,概括出了應用題的一般解題框圖如下:

3.1 表述題意(說題)

在應用題的教學中,要了解學生的想法,比較有效想方法就是說題,說題就是學生運用數學語言口述對題目的理解、說解題思路和解題心得,這種說題就是自我構建數學知識的過程,是根據所學知識主動選擇、信息加工和處理的過程[2],因此解應用題的重點是讀題表述,通過學生自己的閱讀、理解,實現(xiàn)“數學語言”的提練,在學生讀題的過程中,教師要引導學生表述題意,找出條件是什么?問題是什么?并盡可能尋找出條件與問題的內在關系,通過“審題”學生大致地可以知道:用已學過的哪些數學知識可以解決問題,解題有了一個基本明確的方向,這也是培養(yǎng)學生“數學”地思考問題的最關鍵環(huán)節(jié),也是“樸素數學”的直接體現(xiàn).

在教學中要給學生充分的時間“說數學”,讓學生嘗試自己復述,學生在不經意中把現(xiàn)實問題“數學化”.在表述題意的過程中,由于認知能力的差異,會存在著一些疑點、難點,這更有利于教與學的促進,更好的發(fā)揮學生的主體作用,同時培養(yǎng)學生說數學的習慣.

3.2 構建模型

將已“數學化”了的實際問題,通過教師啟發(fā)誘導,讓學生運用已學過的數學知識,將它真正“數學化”——用數學符號表示的式子(比如得到函數式子、數列關系式、不等式關系式等等),同時必須要求學生聯(lián)系實際,確定自變量的取值范圍,這一過程成為“建立模型”[3].建模后,實際問題被轉化學生比較熟悉的純數學問題.到這個階段,學生開始對“問題解決”有了初步的方法和策略,以下的教學就可以由學生自己完成.建模過程是數學應用題教學的核心和難點,突破這一點,教學往往可收到事半功倍的效果.

3.3 自主求解

自主求解就是要學生對已經整理的數學模型進行化簡、運算的純數學過程,要求學生獨立解答的過程,也就是純數學問題“結果化”的過程.在這純數學過程中,要注重提高學生運用運算技巧、運算能力和解決問題的能力,滲透數形結合、等價轉化、化歸等數學思想方法.教學中要以學生為主體,將課堂還給學生,讓學生真正成為學習的主人,但對學生存在的問題要加以點撥,澄清模型的糊涂認識.

3.4 驗證回答

理論與實際往往存在差異,純數學運算下的結果并不一定符合現(xiàn)實生活和客觀實際,如現(xiàn)實生活中天數、數列中的項數往往要取整,產品的利潤、風險的評估往往要取最值等等,這是純數學與應用數學最不一致的地方,也是數學“生活化”的直接體現(xiàn).高中數學應用題結論的回答一般還要附帶一些說明,因而數學應用題的回答要學生根據題意用簡練、明確的語言概括出來,給出一個清楚的結論.

4 案例分析

教師不但要成為學生進行數學探究的組織者、指導者與合作者,還應成為數學探究的創(chuàng)造者,為學生提供較為豐富的數學探究案例和背景材料.讓以學生為中心的應用題教學,取代傳統(tǒng)的一言堂的傳授的教學模式,筆者在這方面做了一點嘗試,把具體的案例與做法與大家分享.

案例2017年全國高考題(3):某超市計劃按月訂購一種酸奶,每天進貨量相同,進貨成本每瓶4元,售價每瓶6元,未售出的酸奶降價處理,以每瓶2元的價格當天全部處理完.根據往年銷售經驗,每天需求量與當天最高氣溫(單位:°C)有關.如果最高氣溫不低于25,需求量為500瓶;如果最高氣溫位于區(qū)間[20,25),需求量為300瓶;如果最高氣溫低于20,需求量為200瓶.為了確定六月份的訂購計劃,統(tǒng)計了前三年六月份各天的最高氣溫數據,得下面的頻數分布表:

最高氣溫[10,15)[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40)天數2 16 36 25 7 4

以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率代替最高氣溫位于該區(qū)間的概率.

(1)求六月份這種酸奶一天的需求量X(單位:瓶)的分布列;

(2)設六月份一天銷售這種酸奶的利潤為Y(單位:元),當六月份這種酸奶一天的進貨量n(單位:瓶)為多少時,Y的數學期望達到最大值.

分析

4.1 表述題意(說題)——讓學生熟讀題干,理解題意,然后說清條件是什么?結論是什么?

(生)條件1.進貨成本每瓶4元,售價每瓶6元,未售出的酸奶降價處理,以每瓶2元的價格當天全部處理完;

(生)條件2.如果最高氣溫不低于25,需求量為500瓶;如果最高氣溫位于區(qū)間[20,25),需求量為300瓶;如果最高氣溫低于20,需求量為200瓶;

(生)結論1.求六月份這種酸奶一天的需求量X(單位:瓶)的分布列.

(生)結論2.設六月份一天銷售這種酸奶的利潤為Y(單位:元),當六月份這種酸奶一天的進貨量n(單位:瓶)為多少時,Y的數學期望達到最大值.

理順數量關系完成下列審題表格(學生盡可能獨立完成,不能完成生生合作,教師指導):

分析解題策略或想法條件1(見上)條件與哪些量(進貨量)有關構造進貨量n的代數式條件2(見上)需求量與氣溫有關(分類標準)根據進貨量n的數量細化代數式結論1(見上)需求量X的數值古典概型求概率,分布列結論2(見上)根據進貨量n范圍列相應的分布列古典概型求概率,分布列題目背景數學中概率的知識和函數的知識設元直接設元還是間接設元,若間接設,設什么?為什么?

4.2 建立模型——讓學生將題中的文字語言,轉化為數學語言或符號語言,建立相應的數學模型.

如(生)(1)利潤=(6?4)n?虧損

(生或師生合作)(2)細化Y=n(6?4)=2n(n≤200);

Y=200×2+(n?200)(?2)=800?2n(200＜n≤300);

Y=300×2+(n?300)(?2)=1200?2n(300＜n≤500).

(師)由題意可知進貨量n的取值范圍是:200＜n≤500.

(生)

當200＜n≤300時當300＜n≤500時Y800?2n2n2nY800?2n1200?2n2n P0.2 0.4 0.4 P0.2 0.4 0.4

因為第二問又提出了更高的要求,學生要將兩問的條件和結論加以歸納,在一系列的學習實踐等思考活動中發(fā)現(xiàn)和解決問題,在此過程中,這是一個“觀察、思考”和“分析”的過程,是將感性的、形象思維上升到理性思維的過程,是學生親身經歷、積極參與活動的過程.

4.3 自主求解——應用概率知識和分布列的知識進行求解模型,得出數學結論.

(生)(1)需求量X的取值為200;300;500對應概率為:分布列為:

X 200 300 500 P 0.2 0.4 0.4

(生)(2)根據數學期望公式,當200＜n≤300時,E(Y)=160+1.2n,當300＜n≤500時,E(Y)=640?0.4n.

4.4 驗證回答——將數學結論還原為實際問題,檢驗得出應用問題的結論,即當n=300時,E(Y)=160+1.2n=520,最大值為520符合題意,在此基礎上,讓學生體驗和感受生活,發(fā)展實踐能力和創(chuàng)新能力.

這就要求教師明確學生是學習主體,教師要為學生提供一個學數學、做數學、用數學的空間和時間,并創(chuàng)造給學生充分表達自己的想法的機會,關注學生在活動過程中所產生的“學習體驗”和創(chuàng)造性的表現(xiàn),因而其活動過程與結果均具有開放性.

5 實驗結果分析

在新課改理論的指導下,加強應用題的探索與教學,我所教的學生與我市普通高中成績對比,有了一點點成績,下面是他們在高一、高二下學期,兩次期末統(tǒng)一考試成績與全市成績的對比分析表.

高一下學期期末考試成績對比表一

高二下學期期末考試成績對比表二

經過兩年在應用題教學實踐,我所教的兩個班學生解題能力不但在解應用題方面表現(xiàn)突出,而且在解其他數學問題方面也有了明顯的提高.實踐表明,以學生為中心的應用題教學,可以讓學生更自信,更容易成為課堂的探求者和學習的主人.