貴州省貴州師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院(550025) 鄧清 夏小剛

在初中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)中,中考題對老師的復(fù)習(xí)有很好的導(dǎo)向作用,其中,中考壓軸題更側(cè)重考查學(xué)生對數(shù)學(xué)知識點深度綜合和對數(shù)學(xué)思想方法的靈活運用.但部分教師由于對中考題壓軸題的意圖理解不透,導(dǎo)致在復(fù)習(xí)時容易脫離學(xué)生數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu),在知識的綜合復(fù)習(xí)部分簡單安排為大量難題的機械訓(xùn)練,徒增學(xué)生學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān).

數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)是存在于學(xué)生頭腦里的數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)與認(rèn)識結(jié)構(gòu)有機結(jié)合而成的心理結(jié)構(gòu).而學(xué)生頭腦里的數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)又是課程教材里的知識結(jié)構(gòu)和老師的數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)在學(xué)生頭腦里的反映[1].因此在對數(shù)學(xué)知識進行綜合復(fù)習(xí)時,要立足于學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu),也就應(yīng)注意回歸教材,以教材為起點,引導(dǎo)學(xué)生進行思考分析,使問題的難點部分能在學(xué)生的原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中得到自然生長.下面筆者將結(jié)合貴陽市2015年的一道數(shù)學(xué)中考壓軸題的溯源、引導(dǎo)學(xué)生的分析為例,談?wù)剬?shù)學(xué)復(fù)習(xí)的思考與建議,供同行參考.

1.試題呈現(xiàn)與解評

圖1

題目(2015年貴陽中考卷第25題)如圖1,在矩形紙片ABCD中,AB=4,AD=12,將矩形紙片折疊,使點C落在AD邊上的點M處,折痕為PE,此時PD=3.

(1)求MP的值;

(2)在AB邊上有一個動點F,且不與點A,B重合.當(dāng)AF等于多少時,△MEF的周長最小?

(3)若點G,Q是AB邊上的兩個動點,且不點A,B重合,GQ=2.當(dāng)四邊形MEQG的周長最小時,求最小周長值.(計算結(jié)果保留根號)

解析(1)利用矩形的性質(zhì)和折疊的軸對稱原理可知:在折疊紙片后,PD=PH=3,AB=CD=MH=4,∠H=∠D=90°,由勾股定理可得MP=5;

圖2

(2)△MEF的周長為C△MEF=ME+MF+EF,由于ME的長為定值,因此只需求MF+EF的最小值即可.如圖2,作點M關(guān)于AB的對稱點M′,連接M′E交AB于點F,點F即為所求,且AM′=AM=4,過點E作EN⊥AD,垂足為N,由折疊可知:∠MEP=∠PEC,又根據(jù) ∠MPE= ∠PEC,即可得 ∠MEP=∠MPE,即得ME=MP=5,在 Rt△ENM中,MN=又有NM′=NM+MA+AM′=3+4+4=11,由得所以當(dāng)時,△MEF的周長最小;

圖3

(3)如圖3,在EN上截取ER=2,連接M′R交AB于點G,再過點E作EQ//RG,交AB于點Q,此時易得四邊形ERGQ為平行四邊形,即得GQ=ER=2,GR=QE,此時GM′+GR最小,且MG+QE=GM′+GR,則MG+EQ最小,四邊形MEQG的周長最小,M′R=因為ME=5,GQ=2,所以,四邊形MEQG的最小周長值是

評析起點低,落點高,思維難度層層遞進是近年來貴陽市中考數(shù)學(xué)壓軸題的命題趨勢.本題以矩形折疊為背景,精巧地設(shè)置了動點求最值的兩個遞進問題,綜合地考查了折疊和矩形的性質(zhì),勾股定理和相似三角形等相關(guān)知識,利用軸對稱解決最短路徑的轉(zhuǎn)化思想.設(shè)置的三個小題,由易到難,層次分明.然而,筆者初探此題時,認(rèn)為學(xué)生對第(3)問的處理難免感到突兀.學(xué)生即便由第(2)問想到利用軸對稱將線段MG轉(zhuǎn)換為M′G,依然很難求折線段M′—GQ—E的長度.如何引導(dǎo)學(xué)生較輕易地解決此問題呢?筆者將視線轉(zhuǎn)移到學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知的映像之一——教材,并找到了此題的命題背景.

2.考題溯源

在貴陽市九年義務(wù)教育初中階段使用的教材——北師大版八年級(下冊)中具有這道題的模型,即教材90頁第三章《圖形的平移與旋轉(zhuǎn)》的總復(fù)習(xí)題第18題,題目原型如下:

教材原題如圖4,甲乙兩個單位分別位于一條封閉式街道的兩旁,現(xiàn)準(zhǔn)備合作修建一座過街天橋.

圖4

①天橋建在何處才能使由甲到乙的路線最短?(注意:天橋必須與街道垂直).

②天橋建在何處才能使甲乙到天橋的距離相等?

這道題的思想方法與上述考題如出一轍,而且此題以生活情境為背景,更加形象直觀,更能引起學(xué)生的興趣.所以,筆者認(rèn)為,如果教師在復(fù)習(xí)時引導(dǎo)學(xué)生對此題進行探究,并注重引發(fā)學(xué)生的操作與思考,從中提取數(shù)學(xué)本質(zhì),學(xué)生對這一中考題的解決會相對容易很多.因此,學(xué)生在第考題中(3)問犯難的時候,筆者打算先讓學(xué)生回到教材中的這個題,并引導(dǎo)學(xué)生完成如下分析與思考:

圖5

問題分析與解決教材中這個問題的難點在于從甲到乙的路徑必然是一條折線,也就是說要走的路徑必然是三條線段長度之和.恰好就是天橋在中間拐一個彎,無法使路線在同一直線上,使其與學(xué)生原有的數(shù)學(xué)認(rèn)知——“將軍飲馬”問題發(fā)生沖突,處理好這個沖突時解決問題的關(guān)鍵.繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn),橋的位置并不會影響我們解決這個問題的思路,因此可以假設(shè)這樣的特殊情況:假設(shè)橋就在單位甲或乙的位置,圖5中以橋在單位甲位置為例.這樣就把橋轉(zhuǎn)化到路線的第一段,將變化的兩條道平移到一起,就可以轉(zhuǎn)化為“將軍飲馬問題”了.顯然,當(dāng)平移后的兩條道AB、BC在同一直線上時,三條線段長度之和最短.

數(shù)學(xué)抽象引導(dǎo)學(xué)生將教材中過天橋的問題抽象出其數(shù)學(xué)本質(zhì),即求兩個定點到一條可沿某一方向平移的定長線段兩端距離之和最小問題,解決該問題的數(shù)學(xué)思想是借助平移與軸對稱,把定點與線段端點的兩條連線平移在一起,將所求折線段的長轉(zhuǎn)化為將軍飲馬問題.如圖6所示:經(jīng)過轉(zhuǎn)化后,即可將M′G+GQ+QE長度的最小值轉(zhuǎn)化為M′G+GR+RE的最小值,顯然,當(dāng)M′、G、R三點共線時,M′G+GR+RE的值最小.

圖6

圖7

回到考題引導(dǎo)學(xué)生掌握以上思想后,上述中考試題的第(3)問,學(xué)生只需借助軸對稱,如圖7,將線段MG轉(zhuǎn)化為線段M′G,就成功地將四邊形MGQE的周長轉(zhuǎn)化為線段M′G+GR+RE的長,再借助勾股定理,問題的解決便顯得順理成章、水到渠成了.

3.歸納與拓展

在引導(dǎo)學(xué)生運用自己數(shù)學(xué)認(rèn)知解決上述問題后,該模型由新知轉(zhuǎn)化成了學(xué)生的已有數(shù)學(xué)認(rèn)知,此時可繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生將它與之前的認(rèn)知建立聯(lián)系,進行歸納與拓展,以形成結(jié)構(gòu)化、體系化的數(shù)學(xué)思想方法.

歸納 (1)動點個數(shù)多于一個,且分別在兩條直線上,求三角形最小周長.以圖8為例,將定點進行兩次軸對稱轉(zhuǎn)化,根據(jù)“兩點之間,線段最短”,將△ABC周長轉(zhuǎn)化為折線段A′B+BC+CA′的長,即可求得.

圖8

圖9

圖10

(2)在(1)的情形下,若要求BC垂直某一條直線,求折線段AB+BC最小值時,以圖9為例,將定點A進行一次軸對稱轉(zhuǎn)化后,將AB+BC的長轉(zhuǎn)化為A′B+BC,根據(jù)“垂線段最短”,即可求得.

拓展若將該考題進行延伸,可以得到多條定長線段在多條直線上運動的問題,為了便于凸多邊形的研究,在此僅推廣為兩條動線段的問題,如圖10所示,將六邊形ABCDEF的周長問題通過平移和軸對稱轉(zhuǎn)化為折線段的長,顯然,當(dāng)線段B′′D、DE、E′A三條線段共線時,六邊形ABCDEF的周長最小.

4.總結(jié)及復(fù)習(xí)建議

學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)是數(shù)學(xué)知識和數(shù)學(xué)思想的加工廠,既為新知識的學(xué)習(xí)提供生長點或固著點,又為新知識的研究提供工具或方法[1].在向?qū)W生講解上述壓軸題時,筆者站在學(xué)生的認(rèn)知角度去思考:在學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)中,有四邊形最小周長問題的解決方法嗎?如果沒有,就將問題往學(xué)生數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)化,采用這種不斷反思,逐步回歸學(xué)生認(rèn)知起點的思想,最終從教材中找到命題背景,以學(xué)生相對熟悉的情境,喚起學(xué)生的記憶,并引導(dǎo)學(xué)生逐步解決問題,再從中提取數(shù)學(xué)思想方法——平移和軸對稱的轉(zhuǎn)化法,讓學(xué)生由直觀到數(shù)學(xué)抽象,感悟問題數(shù)學(xué)本質(zhì),并進一步歸納和拓展,加深該模式在學(xué)生頭腦中的印象.

中考試題通常都具有規(guī)范性、導(dǎo)向性、科學(xué)性等性質(zhì),每一道試題都凝聚著出題人的汗水和心血,特別是承擔(dān)體現(xiàn)區(qū)分度的綜合性試題,更是要經(jīng)過命題人的千錘百煉[2],值得廣大一線教師深入探測和研究.縱觀各地歷年數(shù)學(xué)中考壓軸部分題目,大多取材都是源于課本,但又高于課本.為此,以教材為根基,借中考為導(dǎo)向,是中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)的思想主線.下面,筆者從學(xué)生數(shù)學(xué)認(rèn)知角度,談?wù)剬χ锌紨?shù)學(xué)復(fù)習(xí)的一些建議,供同行參考.

(1)每節(jié)課的復(fù)習(xí)程序應(yīng)注意立足學(xué)生數(shù)學(xué)認(rèn)知,面向全體學(xué)生.在復(fù)習(xí)過程中,應(yīng)注意從思想方法的重要程度和難易程度分層呈現(xiàn),讓所有學(xué)生有所收獲.優(yōu)秀的學(xué)生能力上得到提升,中等學(xué)生方法上有所啟發(fā),后進生在知識方面有所收獲.

(2)知識回顧應(yīng)系統(tǒng)化、結(jié)構(gòu)化.復(fù)習(xí)時要切實用好課本,對課本內(nèi)容必須做到全面復(fù)習(xí),注重引導(dǎo)學(xué)生歸納、整理所學(xué)的知識點,建立合理的知識結(jié)構(gòu),挖掘知識內(nèi)在聯(lián)系,以便學(xué)生更好地感知教材、記憶教材.

(3)注意體會教材習(xí)題呈現(xiàn)的層次性.教材對較難思想方法的習(xí)題處理,總是根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律,按照層層遞進,逐步上升的方法呈現(xiàn)給學(xué)生.教師要注意發(fā)現(xiàn)這一規(guī)律,引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會把教材中一個較復(fù)雜的問題往認(rèn)知起點回歸,讓學(xué)生體會思想方法的來源.

(4)習(xí)題的設(shè)計應(yīng)具有典型性和階梯性[3].習(xí)題設(shè)計時應(yīng)體現(xiàn)教材的重要數(shù)學(xué)知識或重要數(shù)學(xué)思想方法,以教材中的典型例題和具有可生長性的習(xí)題為源,在此基礎(chǔ)上進行延伸或變式.變式時應(yīng)注意對題目的生長要自然,由易到難,由淺入深,如剝春筍,層層遞進.

總之,中考數(shù)學(xué)試題立足于數(shù)學(xué)基礎(chǔ),符合課標(biāo)要求,試題設(shè)計的本質(zhì)都是教材中出現(xiàn)的基本內(nèi)容、基本原理、基本方法和基本問題[4].中考數(shù)學(xué)的復(fù)習(xí)便應(yīng)立足于學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知,從學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知出發(fā),以教材為基礎(chǔ),以課標(biāo)為導(dǎo)向,設(shè)計符合學(xué)生認(rèn)知的復(fù)習(xí)方案.在綜合性較強的習(xí)題講解時必須貼近學(xué)生的思維水平,把握學(xué)生認(rèn)知水平的最近發(fā)展區(qū),安排好背景導(dǎo)入——最好是教材背景導(dǎo)入,把大題化小,難題化易,讓每一位學(xué)生在在應(yīng)對中考的同時,亦能得到各自較好的數(shù)學(xué)發(fā)展.