歐陽夢(mèng)倩 衡陽師范學(xué)院

1 引言

在某些實(shí)際問題中，考察目標(biāo)函數(shù)：

它的變?cè)铦M足一定約束條件：

我們需要尋找目標(biāo)函數(shù)（1）在約束條件（2）下的極值，這樣的問題稱為條件極值。處理?xiàng)l件極值的基本方法為拉格朗日乘數(shù)法：首先，構(gòu)造一個(gè)含p個(gè)待定乘數(shù)的輔助函數(shù)

2 極值的充分條件

2.1 約束條件可化為顯式方程

假設(shè)（1）和（2）中的函數(shù)都連續(xù)可微，并滿足正則條件：

可以從（2）中解出

將（5）代入（1）得：

于是，所討論得條件極值問題就化成了求目標(biāo)函數(shù)（6）的無條件極值問題。

例1：在已知周長(zhǎng)為2p的一切三角形中，求出面積最大的三角形。

考察目標(biāo)函數(shù)

和約束條件

容易得出

則問題轉(zhuǎn)化成無條件極值：

由

2.2 將約束條件看作隱函數(shù)

2.3 利用海塞（Hasse）矩陣判別

解：設(shè)拉格朗日函數(shù)為：

所求穩(wěn)定點(diǎn)為極小值點(diǎn)，且為最小值點(diǎn)。

判別方法二：由海塞矩陣：

為正定矩陣知穩(wěn)定點(diǎn)即為極小值點(diǎn)，且為最小值點(diǎn)。

3 總結(jié)

拉格朗日乘數(shù)法是求多元函數(shù)條件極值一種常用的方法，利用其求出穩(wěn)定點(diǎn)后，如何確定穩(wěn)定點(diǎn)為極值點(diǎn)，應(yīng)視具體問題而定。