王斌儒 甘肅有色冶金職業(yè)技術(shù)學院 劉延卿 內(nèi)蒙古通遼市第一中學

16世紀的歐洲大陸，資本主義蓬勃發(fā)展，在中世紀萬馬齊喑的科學技術(shù)也煥然一新。遠洋航行、天文觀測、船舶制造、軍事創(chuàng)新的要求，源源不斷地為數(shù)學的發(fā)展提供了不竭的動力，各種新思想新方法層出不窮，其中許多方法旨在簡化計算。

一種辦法是使用三角恒等式：

另一種辦法是使用由完全平方公式得到的恒等式：

上述方法在實際應(yīng)用中是不夠的，局限性很強。事實上，我們需要從乘法群到加法群的一個同構(gòu)映射將乘法運算轉(zhuǎn)化成加法運算，而這正是納皮爾對數(shù)簡化計算的本質(zhì)。

1 納皮爾對數(shù)的起源

納皮爾最初的動機是簡化三角學的計算，特別是在天文學中極為重要的球面三角問題。在納皮爾的時代，一個角的正弦并不是現(xiàn)在熟知的比值，也不是一個確定的數(shù)，而是角所對弦長的一半。

我們假設(shè)現(xiàn)在給定一個圓和圓心角，AB是圓內(nèi)任意一條弦，并且C為AB的中點，如圖 1所示：

圖 1

此時 在數(shù)值上就等于｜ ｜。我們?nèi)菀装l(fā)現(xiàn)納皮爾時代正弦值是隨著半徑變化的，半徑越大，正弦值也就越大。

納皮爾由此出發(fā)著手建立正弦的對數(shù)表。納皮爾選擇半徑為107的圓，他的對數(shù)表由間隔一分的107的對數(shù)值組成。

2 等比數(shù)列與等差數(shù)列的對應(yīng)

表 1

容易看出等比數(shù)列中任意兩項的乘積對應(yīng)等差數(shù)列中兩項的和。如果等比數(shù)列足夠稠密，理論上可以用上表來計算任意兩個數(shù)的乘積（當時主要是三角函數(shù)值的乘積）。

基于這個樸素的想法，納皮爾對數(shù)橫空出世了。

最終納皮爾選擇了 =1-10-7，這樣等比數(shù)列中的各項就緊緊挨在一起了。事實上，這樣導(dǎo)致項的間距過小，為了避免出現(xiàn)小數(shù)，加之當時最精確的正弦表是7位有效數(shù)字，納皮爾將每一項都乘以107，就是說規(guī)定：

表 2

如果用 表示納皮爾的對數(shù)，就有

如果將表 2中的數(shù)都除以107，就得到表 3。

表 3

表 4

如果不計比例系數(shù)107，可以發(fā)現(xiàn)LN(ab)=LN(a)+LN(B)，也就是說納皮爾對數(shù)是從到的一個同構(gòu)映射，把乘法運算轉(zhuǎn)化成了加法運算。

3 運動學模型

為了計算任意一個數(shù)的對數(shù)，需要對數(shù)函數(shù)的連續(xù)定義，而不是來自數(shù)列的離散定義，我們更加關(guān)心的是納皮爾連續(xù)的對數(shù)定義。

從等比數(shù)列到等差數(shù)列的對應(yīng)關(guān)系是定義對數(shù)函數(shù)的關(guān)鍵。納皮爾從運動學出發(fā)建立了模型。模型源自一個樸素的想法：用一個勻速運動的點代替等差數(shù)列，用一個速度成比例的點代替等比數(shù)列。納皮爾對數(shù)的定義，實際上是通過考慮兩個點沿著兩條直線的運動而給出的，因為納皮爾時代只有物理運動的直觀概念才能為連續(xù)變量的定量研究提供理論根據(jù)。直線上的動點直觀上被看作是連續(xù)的，納皮爾把對數(shù)和動點對應(yīng)起來，直觀上保證了對數(shù)的連續(xù)性。嚴格地講，動點的速度是連續(xù)變化的，納皮爾時代沒有處理連續(xù)函數(shù)的數(shù)學工具，納皮爾模型的嚴格表述需要使用微積分。

下面給出納皮爾的運動學模型，見圖 2。假定線段AB的長度是定值 107。

圖 2

CD是一條無限延伸的直線。當t=0時，令P、Q兩點分別從A、C出發(fā)。Q在CD上以速度107勻速運動。P在AB上的速度與PB的長度成正比，P的初速度也是107，容易知道P由A到B的速度從107減到 0。

假設(shè)t時刻，P到B的距離PB=X，Q到C的距離CQ=y。

納皮爾規(guī)定：y是x的對數(shù)。我們記作y=LN(x)

我們接下來建立起它和通常意義下對數(shù)的聯(lián)系。

P在A點時，我們有PB=107同時CQ=0，所以LN(107)=0。

我們通過解一階線性微分方程來看看納皮爾的函數(shù)y=LN(x)究竟是什么。

根據(jù)納皮爾的運動學模型，我們有

積分得y=-107lnx+c

根據(jù)初值條件t=0時，x=107，y=0，因此得 c=107ln107。

做一個簡單的變換，可以有我們更熟悉的形式。如果令

所以如果忽略因子107，我們可以再次得出本質(zhì)上納皮爾的對數(shù)是以 為底的。

我們只要對納皮爾的模型稍稍加以修正就很容易地導(dǎo)出自然對數(shù)。我們假定P的速度與AP的長度成正比，Q的速度仍為常數(shù)。同時規(guī)定t=0時，AP=1，CQ=0?？梢缘玫胶蜕厦骖愃频囊粋€一階線性微分方程，并且以自然對數(shù)y=lnx為解。

納皮爾從1594年萌生對數(shù)的初步想法，經(jīng)過20年的深入思考和精密計算，到1614年出版了《奇妙的對數(shù)定律說明書》（Mirifici logarithmorum canonis descriptio），正式宣告了對數(shù)的發(fā)明。200年后，法國數(shù)學家拉普拉斯毫不吝嗇地盛贊對數(shù)：通過減少體力勞動，使天文學家的生命倍增。