張志虎,趙佳旻,劉 梅

(1.中國電子科技集團公司第二十九研究所,四川 成都 610000;2.哈爾濱工業(yè)大學電子與信息工程學院,黑龍江 哈爾濱 150000)

單站被動雷達的可觀測性較弱,其航跡優(yōu)化的過程是提高跟蹤系統(tǒng)可觀測性的過程,從而能夠達到提高定位以及跟蹤精度的主要目的。然而在實際應用中,有的時候飛行平臺并不能毫無限制地按照最優(yōu)的軌跡進行運動。當空間內存在敵方目標,如防空火炮、敵方雷達等限制區(qū)域時,飛行平臺的飛行軌跡便受到了種種限制,所以只研究無限制條件下的軌跡優(yōu)化是沒有太多的使用價值。此時就要針對存在限制條件下的飛行平臺軌跡優(yōu)化進行一定的研究。本文的研究重點在于引用了最小化克勞美勞下界(CRLB)的跡(GDOP)[1]作為性能指標來研究觀測平臺的最優(yōu)軌跡,從而使雷達系統(tǒng)的跟蹤誤差最小。

1 無限制條件下的軌跡優(yōu)化

1.1 問題描述

對于單站被動雷達,若要對空間上的飛行目標進行定位,需要觀測平臺的運動階數高于目標運動階數,此時,觀測平臺如何運動才能使目標的跟蹤誤差最小,成為我們研究的主要問題。本文假設環(huán)境理想,即觀測平臺可以在三維空間內無限制條件地自由運動,目標和觀測平臺在空間的位置關系如圖1所示。

其中，βj為j時刻目標相對于觀測平臺的真實方位角(以正北為參考方向)。

1.2 定位與跟蹤誤差的下限

對于無限制條件下軌跡優(yōu)化的研究,通過引入目標定位跟蹤精度下限CRLB(Crammer-Rao Lower Bound,CRLB),以及通過CRLB計算出的精度幾何散布GDOP(Geometric Dilution of Precision,GDOP)作為航路優(yōu)化的指標,采用單步尋優(yōu)的方式,避開了在復雜的全局尋優(yōu)方法中要求目標固定或目標的運動速度和航向必須已知的困難。

CRLB[2]是研究平臺對目標的某一航跡的跟蹤效果的評價指標,下面給出定義。

定義P為對應任何位置確定變量無偏估計器的估計誤差協方差矩陣。下列不等式成立:

(1)

在上述模型和噪聲的條件下,到k時刻為止,理想的估計誤差下限CRLB為

(2)

式中:Hj=[cosβj-sinβjjT·cosβj-jT·sinβj],T為觀測平臺的采樣間隔,Rj為觀測序列β的協方差矩陣。

所以到k時刻為止,根據式(2)可以得到i時刻狀態(tài)XT(i)的CRLBXT(i)理想估計誤差下限為

(3)

其中,φj,i為目標狀態(tài)轉移矩陣。

目標初始狀態(tài)XT(0)=[rx0,ry0,vx0,vy0],其中,rx0,ry0為目標初始時刻的位置信息,vx0,vy0為目標初始時刻的速度信息。XT(0)的理想估計誤差下限為

CRLBXT(0)=FIM(0)-1

(4)

(5)

其中,rj為目標與觀測平臺的徑向距離;xT,yT為目標的位置;xO,yO為觀測平臺位置;vxT,vyT為目標運動速度。

上述選狀態(tài)變量為:X=XT(0),即目標初始狀態(tài)。而EKF形式計算CRLB時,狀態(tài)變量為每一個時刻的目標狀態(tài)X(k)。所以,采用EKF的形式計算第i時刻的CRLB為

(6)

(7)

初始條件為

所以

(8)

從CRLB或FIM的元素表達式可以知道,每一個元素同觀測平臺的位置坐標相關,因此雷達系統(tǒng)觀測平臺運動軌跡的優(yōu)劣就能通過這個指標反映出來。

本文取幾何定位散布精度GDOP(Geometric Dilution of Precision,GDOP)評估的目標函數,即性能指標,GDOP就是理想估計誤差下限CRLB的跡函數。其定義為

(9)

GDOP同CRLB有關,CRLB的表達式非常復雜,這里采用數值計算的方法來計算單觀測器測向無源定位的誤差下限CRLB,以找出影響定位精度的主要因素,說明觀測器運動軌跡對定位精度的影響。

1.3 最優(yōu)航路算法

不難看出：在計算每一時刻的GDOP值時，利用了全部跟蹤時長的信息,然而往往在實際應用中,這種算法顯然是無法實現的,因為跟蹤時只可能利用到跟蹤時刻之前的信息,其之后的信息并無法獲得,所以在進行航路優(yōu)化的時候需要使用EKF濾波算法,即進行單步優(yōu)化[3],如式:

(10)

(11)

初始條件為

(12)

(13)

GDOP計算表達式為:

(14)

GDOP的值反映了速度和位置估計誤差大小。在某一運動方向下,使得GDOP值最小,說明觀測器朝該方向運動能獲得較高的定位跟蹤精度。該準則下最優(yōu)軌跡求解的過程比較復雜,在單步軌跡優(yōu)化的過程中,本文使用的方法為等間隔搜索法。如圖2所示。

一般情況下,平臺離目標越近,定位精度越高。故平臺最優(yōu)軌跡搜索范圍可定為目標與平臺方向的左右90°將該范圍分為N-1等份,然后逐一進行搜索比較,尋找使得GDOP值最小的觀測器運動方向。具體算法流程見圖3所示。

2 只采取180°轉彎條件下的最優(yōu)航跡規(guī)劃問題

2.1 方位角變化率最大算法(跟蹤時長已知)

對于平臺只采取180°轉彎的情況,本文采用的方法是全局方位角變化率最大算法。

本文取以觀測器為原點的載機直角坐標系,如圖4所示。為了研究方便,假定輻射源與觀測站處于同一個平面內,這就形成了二維定位問題。通常將這種定位方法稱為三角定位法(即BO定位方法)。在二維條件下觀測站O以速度V=(vox,voy)T運動時,它與地面固定目標M=(xi,yi)的連線ri斜距其大小為距離:

(15)

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)

此時目標輻射源的到達觀測平臺的方位角為βi。

由圖4可知：

(21)

當不存在噪聲和干擾,即不存在測量誤差時,對于同一輻射源,方位線精確地相交于一點,該點就是輻射源的位置。但測量誤差或干擾總是存在的,同一輻射源2條以上的方位線一般來說不可能確定唯一的交點。因此為了確定輻射源的位置,就必須使得單位時間的方位角變化速率盡可能地大,以減小測量誤差對目標定位的影響。

方位角變化率最大準則下的觀測器軌跡,可以改善對目標的定位跟蹤性能。在噪聲方差一定的情況下,當觀測器機動使得方位角變化率最大時[4],測量數據的信噪比最大,從而提高對目標的定位精度。

在無限制條件運動時,觀測器機動的思想為[5]:

1)保持有最大接近率,并使β保持常數的航向;

2)當有測量噪聲時,使dβ/dt進行最大的機動。

但在實際應用中,存在著種種限制條件,本文研究的特殊情況是飛行器初始飛行方向以及跟蹤時長已經確定,并且只能進行一次轉彎從而折返的情況下,無法完全滿足上述機動思想。如過轉彎時間過早,則會造成飛行器跟蹤末期距離目標過遠,跟蹤誤差會增大。如果拐彎時間過晚,則跟蹤無法收斂。所以為了尋找一個合適的拐點,只能對上述機動思路進行最大程度地接近從而取得次優(yōu)的跟蹤線路[6-8]。

于是退而求其次,本文采用使所有跟蹤時間內,每時刻的方位角變化率總和最大的思路求出飛行器運動過程中返航的拐點。

本文所探討的限制條件可簡單描述如下:

如圖5所示,平臺在已知的跟蹤時間內,只能在目標單側進行直線運動,并且需要選擇在某個時間點拐彎進行返航。其每一時刻的方位角變化率為Δβi,徑向距離為ri,單位時間內前進距離為Δx。

易知每一時刻的方位角變化率為

Δβi=Δx/ri=v·Δt/ri

(22)

現要求出使得總的方位角變化率

(23)

最小的飛行器拐點。從圖5中可看出,當飛行器接近目標與飛行軌跡垂線焦點A的時候,其徑向距離ri總是在減小,故方位角變化率一直在增大,所以無論飛行器初始條件如何,其從初始位置一直到A點運動的這段距離總是使方位角變化率增大的。所以如何計算拐點在飛行器到達A點之后計算余下的路程即可。

現證明:在飛行器到達A點之后,在剩余跟蹤路程的1/3處拐彎返航即可使得方位角變化率最大。

如圖6,在飛行器到達A點后在剩余跟蹤路程1/3折返的基礎上,如果延遲Δx的路程折返,如圖ab段,則會多出兩段ab而減少一段cd。很容易看出來,ab段的徑向距離r遠遠大于cd段的徑向距離r,所以ab兩段積累的Δβ要小于cd一段積累的Δβ,故之前拐點的方位角變化速率全局最大。

同理,如果提前Δx的距離拐彎,則方位角變化速率同樣會減小,所以最佳拐點為飛行器到達A點之后剩余跟蹤時長的1/3處。

2.2 航跡優(yōu)化算法(跟蹤時長未知)

當飛行平臺的跟蹤時長未知的話,就無法采用全局方位角變化率最大算法。此時所采取的方法是通過實時對跟蹤誤差變化趨勢的監(jiān)視來選擇180°轉彎的時機。

已知系統(tǒng)的跟蹤誤差為

(24)

隨著跟蹤進行,V(k)是時刻變化的,當跟蹤開始一段時間后如果V(k)是持續(xù)發(fā)散的則需要平臺采取180°轉彎機動,使跟蹤誤差收斂。平臺轉彎結束后繼續(xù)監(jiān)視跟蹤誤差V(k)，如果其又有發(fā)散的趨勢或者收斂程度未達到要求,則繼續(xù)進行180°轉彎,直至跟蹤時長結束。

3 仿真測試

3.1 無限制條件下的軌跡優(yōu)化

場景設置:跟蹤時長3000 s,雷達側角誤差標準差0.1°(5 mrad),仿真考慮雷達觀測目標運動的情況。目標初始位置(0 km,0 km),目標速度15 m/s,平臺初始位置為(-50 km,-10 km),平臺速度為(0,150 m/s)。雷達方位角誤差的標準差σ均為0.1°(5 mrad)。雷達方位角的觀測范圍為-180°～180°,在該觀測范圍內雜波均勻分布且每幀雜波數目λ=5。雷達漏檢概率為0.02。實驗中雷達采樣周期為1 s,取8個采樣周期的數據進行航跡起始,其中第1個和第8個采樣周期的測量數據用來形成候選目標集。實驗結果如圖7、8所示。其中,圖7為生成的場景。

雷達相對目標的飛行航跡能影響其跟蹤效果,通過圖7可以發(fā)現,通過本文所說的方法所產生的優(yōu)化航跡是逐漸接近目標的螺旋形,符合理論研究所得的結論。而從跟蹤結果上來看,跟蹤開始的誤差為2500 m左右,在平臺進行了一定時間的機動后跟蹤誤差快速收斂,并維持穩(wěn)定于10 m量級,說明航跡優(yōu)化算法的有效性。

3.2 只采取180°轉彎條件下的最優(yōu)航跡規(guī)劃問題(時長已知)

實驗場景設置:跟蹤時長3000 s,雷達側角誤差標準差0.1°(5 mrad),平臺速度150 m/s正北方向,初始位置(-10 km,-10 km),目標固定,初始位置(0,0),于最佳拐點處拐彎(1000 s)。如圖9所示。

場景跟蹤結果，如圖10所示。

平臺選擇在方位角變化率全局最優(yōu)的拐點處拐彎,從圖11中可以很明確地發(fā)現,跟蹤誤差在拐點處迅速收斂,并穩(wěn)定維持于幾十米左右,跟蹤效果較好。

3.3 只采取180°轉彎條件下的最優(yōu)航跡規(guī)劃問題(時長未知)

實驗場景設置:跟蹤時長3000 s,雷達側角誤差標準差0.1°(5 mrad),跟蹤系統(tǒng)監(jiān)視跟蹤誤差,當其在100 s內跟蹤誤差持續(xù)增長時平臺就采取180°轉彎機動。平臺速度150 m/s正北方向,初始位置(-50 km,-100 km),目標速度5 m/s正北,初始位置(0,0)。

實驗結果:

從跟蹤誤差上可以看出,當誤差在700 s左右有上升趨勢的時候,平臺進行了180°的轉彎機動,隨后跟蹤誤差迅速下降并收斂到很小的量級。說明理論的正確性。同時,如果繼續(xù)跟蹤的話平臺繼續(xù)遠離目標,跟蹤誤差可能繼續(xù)增加,這時只要采取相同的對策直至跟蹤時長結束即可。

4 結束語

本文對測向交叉定位體制下平臺航跡最優(yōu)規(guī)劃算法分別進行了研究并給出了詳細的解決方案,提出的三種不同的航跡優(yōu)化算法能夠對所對應的三種跟蹤場景進行有效的優(yōu)化,從仿真結果的誤差示意圖上能夠明顯看出優(yōu)化前后誤差的變化。通過方案論述以及各種條件下的仿真驗證,表明了本文所提方案的合理性以及適用性,可以應用于工程實踐中。