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        堅守學(xué)術(shù)之路
        ——記北京大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院教授丁帆

        2018-08-11 07:57:02
        科學(xué)中國人 2018年12期
        關(guān)鍵詞:拓撲學(xué)流形球面

        本刊記者 李 剛

        專家簡介:

        丁帆,北京大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院教授,博士生導(dǎo)師。分別于1989年和1995年在浙江大學(xué)獲得學(xué)士學(xué)位及博士學(xué)位。2000年1月至2002年2月到荷蘭萊頓大學(xué)進行訪問,2010年9月至2011年8月到德國科隆大學(xué)進行訪問。長期從事切觸拓撲、低維拓撲方面的研究。近年來,主持或參加了國家自然科學(xué)基金青年科學(xué)基金項目、重點項目、面上項目等;發(fā)表論文20余篇。

        對很多人來說數(shù)學(xué)是枯燥無味、抽象難懂的。但在許多數(shù)學(xué)家看來,整個數(shù)學(xué)是很多奇妙觀念的編織物。而在現(xiàn)代數(shù)學(xué)領(lǐng)域,拓撲學(xué)經(jīng)常被形象地稱為“橡皮幾何學(xué)”,它主要研究幾何圖形在連續(xù)變形下保持不變的性質(zhì)。隨著拓撲學(xué)的概念和方法滲透到其他數(shù)學(xué)分支,并應(yīng)用到物理學(xué)、化學(xué)、生物學(xué)、計算機理論和經(jīng)濟學(xué)領(lǐng)域,它的重要地位也愈來愈凸顯,學(xué)術(shù)界更是掀起了拓撲學(xué)研究熱潮。北京大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院教授丁帆便是拓撲學(xué)的求索者。

        開啟數(shù)學(xué)之旅

        上世紀(jì)70年代后期,徐遲的報告文學(xué)《哥德巴赫猜想》一經(jīng)發(fā)表,數(shù)學(xué)家陳景潤的事跡便影響和帶動了一代青年人走上數(shù)學(xué)研究的道路。作為標(biāo)準(zhǔn)的70后,丁帆小時候就對數(shù)學(xué)表現(xiàn)出不一樣的天賦。他還記得,父親發(fā)現(xiàn)他在數(shù)學(xué)上的優(yōu)勢后,有意在數(shù)學(xué)方面培養(yǎng)他?!拔腋赣H經(jīng)常讓我超前學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)。在小學(xué)時就讓我自學(xué)初中的數(shù)學(xué),初中的時候,父親又買來數(shù)學(xué)課外輔導(dǎo)書讓我自學(xué)。讀初三時還參加市數(shù)學(xué)競賽,獲得一等獎?!?/p>

        在父親用心的培養(yǎng)下,15歲的丁帆考入浙江大學(xué)少年班,直接搭上了開往大學(xué)的直通車。在少年班學(xué)習(xí)一年后,丁帆轉(zhuǎn)到應(yīng)用數(shù)學(xué)系。他告訴記者,因為讀大學(xué)的時候年紀(jì)比較小,轉(zhuǎn)入應(yīng)用數(shù)學(xué)系后,和班上的同學(xué)玩不到一塊去。于是,他就一心埋頭學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)課程,在數(shù)學(xué)世界里尋找樂趣。而這樣的付出,為丁帆換來了優(yōu)異的專業(yè)成績。丁帆說,在大學(xué)二年級時,他上了周友成老師開的點集拓撲課程后,發(fā)現(xiàn)拓撲有一定的難度,有挑戰(zhàn)性。由于成績優(yōu)異,在丁帆被保送研究生后,便選擇拓撲學(xué)為自己的研究方向。“在研究生階段,我也一直‘潛’在拓撲學(xué)世界,探求更多的拓撲奧秘。在導(dǎo)師干丹巖教授的指導(dǎo)下,我學(xué)習(xí)了代數(shù)拓撲、微分拓撲、纖維叢、示性類、h-配邊理論等課程,這為以后的研究打下了堅實的基礎(chǔ)。”丁帆說。

        “拓撲”是英文topology的音譯,幾何圖形在連續(xù)變形下保持不變的性質(zhì),即“拓撲性質(zhì)”,其最早反映在歐拉解決的七橋問題、歐拉的多面體公式中。拓撲學(xué)源遠流長,在幾何學(xué)的研究中,黎曼提出n維流形的概念;龐加萊創(chuàng)立了用剖分研究流形的方法,引進了許多不變量,并提出著名的龐加萊猜想……這些理論、概念都與拓撲學(xué)發(fā)展密切相關(guān)。丁帆說,在拓撲學(xué)不斷發(fā)展中,分析的嚴(yán)密化出現(xiàn)許多拓撲概念,如開集、閉集、連通性等,同時,分析學(xué)中泛函理論又導(dǎo)致了抽象空間的觀念,到19世紀(jì)末20世紀(jì)初,學(xué)術(shù)界才形成了組合拓撲和點集拓撲這兩個研究方向。而在我國,直到1931年,師從哈佛大學(xué)數(shù)學(xué)大師莫爾斯的江澤涵為我們國家?guī)砹送負鋵W(xué)這個新學(xué)科,他也成為中國第一個拓撲學(xué)家。

        丁帆告訴記者,隨著抽象代數(shù)學(xué)的興起以及微分流形研究的深入,在拓撲學(xué)中逐步形成了代數(shù)拓撲與微分拓撲這兩個研究方向。20世紀(jì)中期,這兩個研究方向得到迅猛發(fā)展?!癝erre在同倫群計算上取得的突破、Thom的配邊理論、Milnor發(fā)現(xiàn)七維怪球、Smale證明維數(shù)大于等于5的廣義龐加萊猜想,都是那個時期的重要成果,他們也先后獲得了數(shù)學(xué)界最高獎—菲爾茲獎。20世紀(jì)70年代后期至80年代初期,Thurston在三維流形研究中取得重大突破,此外,F(xiàn)reedman證明了四維廣義龐加萊猜想,Donaldson利用規(guī)范理論在四維流形研究中取得重大突破。這些成果導(dǎo)致三維流形、四維流形的研究成為熱點,形成低維拓撲這一研究方向?!倍》f,低維拓撲研究四維及四維以下流形。最簡單的三維流形就是我們所在的三維空間,三維空間再加上“時間”,就是四維流形。在導(dǎo)師干丹巖教授的指導(dǎo)下,丁帆閱讀了四維流形方面的文獻并在討論班上報告,同時,他的博士學(xué)位論文“某些非緊四維流形上的光滑結(jié)構(gòu)”也是關(guān)于四維流形的光滑結(jié)構(gòu)方面的。這些為他拓撲學(xué)研究打下了深厚基礎(chǔ)。

        邁向切觸拓撲

        1995年博士畢業(yè)后,丁帆進入北京大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院從事博士后研究,并在博士后出站時留在北京大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院工作。由于Donaldson、Taubes、Witten等人的工作,四維流形與辛拓撲聯(lián)系越來越緊密。于是,丁帆便開始學(xué)習(xí)辛拓撲方面的一些知識。另外,由于Eliashberg的工作,三維切觸流形的研究開始活躍。在北京大學(xué)姜伯駒院士、王詩宬院士組織的拓撲討論班上,丁帆學(xué)到了三維流形以及紐結(jié)方面的知識。2000年1月,丁帆到荷蘭萊頓大學(xué)訪問,和荷蘭萊頓大學(xué)的Geiges教授合作,開始三維切觸拓撲方面的研究。“切觸幾何的起源與辛幾何類似,與力學(xué)、光學(xué)有關(guān)。偶數(shù)維有辛流形、辛幾何、辛拓撲,奇數(shù)維有切觸流形、切觸幾何、切觸拓撲。切觸拓撲研究切觸流形的整體性質(zhì),對應(yīng)用領(lǐng)域如光學(xué)、熱力學(xué)、力學(xué)及控制理論也很重要?!倍》榻B道。

        2002年2月回國后,丁帆一邊教學(xué),一邊繼續(xù)切觸拓撲方面的研究。在國家自然科學(xué)基金的資助下,丁帆經(jīng)常利用寒暑假去德國科隆大學(xué)訪問,與Geiges教授繼續(xù)合作研究。他們研究了圓周上環(huán)面叢的某些胎緊切觸結(jié)構(gòu)的辛可填充性與三維切觸流形的手術(shù)描述,并給出了三維流形手術(shù)描述中Kirby移動在三維切觸流形的手術(shù)描述中的類似;給出了帶標(biāo)準(zhǔn)切觸結(jié)構(gòu)的三維球面中一些勒讓德鏈環(huán)的勒讓德同痕分類及帶標(biāo)準(zhǔn)切觸結(jié)構(gòu)的單位圓周的1-射流空間中的一些勒讓德紐結(jié)的勒讓德同痕分類;確定了帶標(biāo)準(zhǔn)切觸結(jié)構(gòu)的單位圓周×單位球面的切觸自同胚的切觸同痕類群;證明了8k-1維球面上有怪異但同倫平凡的切觸結(jié)構(gòu);給出了偶數(shù)維閉、連通、定向流形上主單位圓周叢有單位圓周作用下不變的切觸結(jié)構(gòu)的一個充分必要條件。

        當(dāng)問到丁帆他最滿意的成果時,他說,應(yīng)該是2004年發(fā)表的與Geiges教授合作的論文“A Legendrian surgery presentation of contact 3-manifolds”?!霸谡撐闹校覀兡7铝巳我婚]、可定向、連通三維流形可從三維球面沿其中一個鏈環(huán)作手術(shù)得到這一基本結(jié)果,證明了任一閉、連通三維切觸流形可從帶標(biāo)準(zhǔn)切觸結(jié)構(gòu)的三維球面沿其中一個勒讓德鏈環(huán)作切觸手術(shù)得到。沒想到這篇文章被引用很多次,直到現(xiàn)在還有文章引用?!?/p>

        在未名湖畔

        此外,丁帆還與River Chiang、Otto van Koert合作,研究了切觸流形的開書分解;與李友林、張強合作,研究了某些帶邊三維流形上胎緊切觸結(jié)構(gòu)的分類;與李友林、陳飛飛合作,給出了帶標(biāo)準(zhǔn)切觸結(jié)構(gòu)的單位圓周×單位球面中勒讓德環(huán)面結(jié)的勒讓德同痕分類;與Geiges、張光劍合作,給出了某些亞臨界Stein可填充五維切觸流形的微分同胚分類等?!败妶F作戰(zhàn)方可走得更遠。孤軍奮戰(zhàn),要得到好的成果則會更加困難。所以,在研究中,我更注重以團隊形式前進?!倍》f道。

        切觸拓撲是當(dāng)前研究的一個熱點,與其他領(lǐng)域,如三維流形、紐結(jié)理論、辛拓撲、動力系統(tǒng)等有很多聯(lián)系。丁帆在切觸拓撲領(lǐng)域展開了很多研究?!皣鴥?nèi)從事切觸拓撲研究的人還很少,研究水平和國際上相比還有很大差距。”丁帆補充說。對于自己一直堅守在數(shù)學(xué)研究領(lǐng)域,他則表示,上學(xué)時數(shù)學(xué)能拿到好成績,是激勵他不斷鉆研數(shù)學(xué)的一大原因;而現(xiàn)在,當(dāng)自己的研究成果以論文的形式不斷出現(xiàn)在高水平雜志上,便鼓勵著他繼續(xù)向更高峰探索。他也相信,只要堅守初心,無畏前進,在數(shù)學(xué)研究的道路上,一定能披荊斬棘,開創(chuàng)一片新天地。

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