本刊記者 李 剛

專家簡介：

丁帆，北京大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院教授，博士生導(dǎo)師。分別于1989年和1995年在浙江大學(xué)獲得學(xué)士學(xué)位及博士學(xué)位。2000年1月至2002年2月到荷蘭萊頓大學(xué)進行訪問，2010年9月至2011年8月到德國科隆大學(xué)進行訪問。長期從事切觸拓撲、低維拓撲方面的研究。近年來，主持或參加了國家自然科學(xué)基金青年科學(xué)基金項目、重點項目、面上項目等；發(fā)表論文20余篇。

對很多人來說數(shù)學(xué)是枯燥無味、抽象難懂的。但在許多數(shù)學(xué)家看來，整個數(shù)學(xué)是很多奇妙觀念的編織物。而在現(xiàn)代數(shù)學(xué)領(lǐng)域，拓撲學(xué)經(jīng)常被形象地稱為“橡皮幾何學(xué)”，它主要研究幾何圖形在連續(xù)變形下保持不變的性質(zhì)。隨著拓撲學(xué)的概念和方法滲透到其他數(shù)學(xué)分支，并應(yīng)用到物理學(xué)、化學(xué)、生物學(xué)、計算機理論和經(jīng)濟學(xué)領(lǐng)域，它的重要地位也愈來愈凸顯，學(xué)術(shù)界更是掀起了拓撲學(xué)研究熱潮。北京大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院教授丁帆便是拓撲學(xué)的求索者。

開啟數(shù)學(xué)之旅

上世紀(jì)70年代后期，徐遲的報告文學(xué)《哥德巴赫猜想》一經(jīng)發(fā)表，數(shù)學(xué)家陳景潤的事跡便影響和帶動了一代青年人走上數(shù)學(xué)研究的道路。作為標(biāo)準(zhǔn)的70后，丁帆小時候就對數(shù)學(xué)表現(xiàn)出不一樣的天賦。他還記得，父親發(fā)現(xiàn)他在數(shù)學(xué)上的優(yōu)勢后，有意在數(shù)學(xué)方面培養(yǎng)他?！拔腋赣H經(jīng)常讓我超前學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)。在小學(xué)時就讓我自學(xué)初中的數(shù)學(xué)，初中的時候，父親又買來數(shù)學(xué)課外輔導(dǎo)書讓我自學(xué)。讀初三時還參加市數(shù)學(xué)競賽，獲得一等獎?！?/p>

在父親用心的培養(yǎng)下，15歲的丁帆考入浙江大學(xué)少年班，直接搭上了開往大學(xué)的直通車。在少年班學(xué)習(xí)一年后，丁帆轉(zhuǎn)到應(yīng)用數(shù)學(xué)系。他告訴記者，因為讀大學(xué)的時候年紀(jì)比較小，轉(zhuǎn)入應(yīng)用數(shù)學(xué)系后，和班上的同學(xué)玩不到一塊去。于是，他就一心埋頭學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)課程，在數(shù)學(xué)世界里尋找樂趣。而這樣的付出，為丁帆換來了優(yōu)異的專業(yè)成績。丁帆說，在大學(xué)二年級時，他上了周友成老師開的點集拓撲課程后，發(fā)現(xiàn)拓撲有一定的難度，有挑戰(zhàn)性。由于成績優(yōu)異，在丁帆被保送研究生后，便選擇拓撲學(xué)為自己的研究方向。“在研究生階段，我也一直‘潛’在拓撲學(xué)世界，探求更多的拓撲奧秘。在導(dǎo)師干丹巖教授的指導(dǎo)下，我學(xué)習(xí)了代數(shù)拓撲、微分拓撲、纖維叢、示性類、h-配邊理論等課程，這為以后的研究打下了堅實的基礎(chǔ)。”丁帆說。

“拓撲”是英文topology的音譯，幾何圖形在連續(xù)變形下保持不變的性質(zhì)，即“拓撲性質(zhì)”，其最早反映在歐拉解決的七橋問題、歐拉的多面體公式中。拓撲學(xué)源遠流長，在幾何學(xué)的研究中，黎曼提出n維流形的概念；龐加萊創(chuàng)立了用剖分研究流形的方法，引進了許多不變量，并提出著名的龐加萊猜想……這些理論、概念都與拓撲學(xué)發(fā)展密切相關(guān)。丁帆說，在拓撲學(xué)不斷發(fā)展中，分析的嚴(yán)密化出現(xiàn)許多拓撲概念，如開集、閉集、連通性等，同時，分析學(xué)中泛函理論又導(dǎo)致了抽象空間的觀念，到19世紀(jì)末20世紀(jì)初，學(xué)術(shù)界才形成了組合拓撲和點集拓撲這兩個研究方向。而在我國，直到1931年，師從哈佛大學(xué)數(shù)學(xué)大師莫爾斯的江澤涵為我們國家?guī)砹送負鋵W(xué)這個新學(xué)科，他也成為中國第一個拓撲學(xué)家。

丁帆告訴記者，隨著抽象代數(shù)學(xué)的興起以及微分流形研究的深入，在拓撲學(xué)中逐步形成了代數(shù)拓撲與微分拓撲這兩個研究方向。20世紀(jì)中期，這兩個研究方向得到迅猛發(fā)展?！癝erre在同倫群計算上取得的突破、Thom的配邊理論、Milnor發(fā)現(xiàn)七維怪球、Smale證明維數(shù)大于等于5的廣義龐加萊猜想，都是那個時期的重要成果，他們也先后獲得了數(shù)學(xué)界最高獎—菲爾茲獎。20世紀(jì)70年代后期至80年代初期，Thurston在三維流形研究中取得重大突破，此外，F(xiàn)reedman證明了四維廣義龐加萊猜想，Donaldson利用規(guī)范理論在四維流形研究中取得重大突破。這些成果導(dǎo)致三維流形、四維流形的研究成為熱點，形成低維拓撲這一研究方向?！倍》f，低維拓撲研究四維及四維以下流形。最簡單的三維流形就是我們所在的三維空間，三維空間再加上“時間”，就是四維流形。在導(dǎo)師干丹巖教授的指導(dǎo)下，丁帆閱讀了四維流形方面的文獻并在討論班上報告，同時，他的博士學(xué)位論文“某些非緊四維流形上的光滑結(jié)構(gòu)”也是關(guān)于四維流形的光滑結(jié)構(gòu)方面的。這些為他拓撲學(xué)研究打下了深厚基礎(chǔ)。

邁向切觸拓撲

1995年博士畢業(yè)后，丁帆進入北京大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院從事博士后研究，并在博士后出站時留在北京大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院工作。由于Donaldson、Taubes、Witten等人的工作，四維流形與辛拓撲聯(lián)系越來越緊密。于是，丁帆便開始學(xué)習(xí)辛拓撲方面的一些知識。另外，由于Eliashberg的工作，三維切觸流形的研究開始活躍。在北京大學(xué)姜伯駒院士、王詩宬院士組織的拓撲討論班上，丁帆學(xué)到了三維流形以及紐結(jié)方面的知識。2000年1月，丁帆到荷蘭萊頓大學(xué)訪問，和荷蘭萊頓大學(xué)的Geiges教授合作，開始三維切觸拓撲方面的研究。“切觸幾何的起源與辛幾何類似，與力學(xué)、光學(xué)有關(guān)。偶數(shù)維有辛流形、辛幾何、辛拓撲，奇數(shù)維有切觸流形、切觸幾何、切觸拓撲。切觸拓撲研究切觸流形的整體性質(zhì)，對應(yīng)用領(lǐng)域如光學(xué)、熱力學(xué)、力學(xué)及控制理論也很重要?！倍》榻B道。

2002年2月回國后，丁帆一邊教學(xué)，一邊繼續(xù)切觸拓撲方面的研究。在國家自然科學(xué)基金的資助下，丁帆經(jīng)常利用寒暑假去德國科隆大學(xué)訪問，與Geiges教授繼續(xù)合作研究。他們研究了圓周上環(huán)面叢的某些胎緊切觸結(jié)構(gòu)的辛可填充性與三維切觸流形的手術(shù)描述，并給出了三維流形手術(shù)描述中Kirby移動在三維切觸流形的手術(shù)描述中的類似；給出了帶標(biāo)準(zhǔn)切觸結(jié)構(gòu)的三維球面中一些勒讓德鏈環(huán)的勒讓德同痕分類及帶標(biāo)準(zhǔn)切觸結(jié)構(gòu)的單位圓周的1-射流空間中的一些勒讓德紐結(jié)的勒讓德同痕分類；確定了帶標(biāo)準(zhǔn)切觸結(jié)構(gòu)的單位圓周×單位球面的切觸自同胚的切觸同痕類群；證明了8k-1維球面上有怪異但同倫平凡的切觸結(jié)構(gòu)；給出了偶數(shù)維閉、連通、定向流形上主單位圓周叢有單位圓周作用下不變的切觸結(jié)構(gòu)的一個充分必要條件。

當(dāng)問到丁帆他最滿意的成果時，他說，應(yīng)該是2004年發(fā)表的與Geiges教授合作的論文“A Legendrian surgery presentation of contact 3-manifolds”?！霸谡撐闹校覀兡７铝巳我婚]、可定向、連通三維流形可從三維球面沿其中一個鏈環(huán)作手術(shù)得到這一基本結(jié)果，證明了任一閉、連通三維切觸流形可從帶標(biāo)準(zhǔn)切觸結(jié)構(gòu)的三維球面沿其中一個勒讓德鏈環(huán)作切觸手術(shù)得到。沒想到這篇文章被引用很多次，直到現(xiàn)在還有文章引用?！?/p>

在未名湖畔

此外，丁帆還與River Chiang、Otto van Koert合作，研究了切觸流形的開書分解；與李友林、張強合作，研究了某些帶邊三維流形上胎緊切觸結(jié)構(gòu)的分類；與李友林、陳飛飛合作，給出了帶標(biāo)準(zhǔn)切觸結(jié)構(gòu)的單位圓周×單位球面中勒讓德環(huán)面結(jié)的勒讓德同痕分類；與Geiges、張光劍合作，給出了某些亞臨界Stein可填充五維切觸流形的微分同胚分類等?！败妶F作戰(zhàn)方可走得更遠。孤軍奮戰(zhàn)，要得到好的成果則會更加困難。所以，在研究中，我更注重以團隊形式前進?！倍》f道。

切觸拓撲是當(dāng)前研究的一個熱點，與其他領(lǐng)域，如三維流形、紐結(jié)理論、辛拓撲、動力系統(tǒng)等有很多聯(lián)系。丁帆在切觸拓撲領(lǐng)域展開了很多研究?！皣鴥?nèi)從事切觸拓撲研究的人還很少，研究水平和國際上相比還有很大差距。”丁帆補充說。對于自己一直堅守在數(shù)學(xué)研究領(lǐng)域，他則表示，上學(xué)時數(shù)學(xué)能拿到好成績，是激勵他不斷鉆研數(shù)學(xué)的一大原因；而現(xiàn)在，當(dāng)自己的研究成果以論文的形式不斷出現(xiàn)在高水平雜志上，便鼓勵著他繼續(xù)向更高峰探索。他也相信，只要堅守初心，無畏前進，在數(shù)學(xué)研究的道路上，一定能披荊斬棘，開創(chuàng)一片新天地。