唐模斌

【摘要】數(shù)學(xué)是一門(mén)高度抽象的學(xué)科，學(xué)數(shù)學(xué)離不開(kāi)解題，解數(shù)學(xué)題需要有良好的思維品質(zhì)。要想學(xué)好數(shù)學(xué)，必須要培養(yǎng)良好的數(shù)學(xué)思維習(xí)慣。很多學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)充滿恐懼，上課能聽(tīng)懂，課后卻做不來(lái)題。因此，教師在組織教學(xué)的過(guò)程中，應(yīng)力爭(zhēng)做到解題方法分析自然、求解或證明過(guò)程符合思維的自然性。注重解題方法的自然性，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)直覺(jué)是提高學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的一條有效途徑。

【關(guān)鍵詞】自然性 數(shù)學(xué)直覺(jué) 數(shù)形結(jié)合

【中圖分類(lèi)號(hào)】G633.6 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】2095-3089（2018）17-0123-02

《高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出“人們?cè)趯W(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)解決問(wèn)題時(shí)，不斷地經(jīng)歷直觀感知、觀察發(fā)現(xiàn)、歸納類(lèi)比、空間想象、抽象概括、符號(hào)表示、運(yùn)算求解、數(shù)據(jù)處理、演繹證明、反思與構(gòu)建等思維過(guò)程。”這些過(guò)程的落腳點(diǎn)就是數(shù)學(xué)思維方式和方法的自然性。本文將從幾個(gè)數(shù)學(xué)題的解法和思路分析當(dāng)中探求解題方法的自然性及其對(duì)數(shù)學(xué)直覺(jué)思維的意義。

例1：已知函數(shù)f（x+a）=-f（x），求證f（x）為周期函數(shù)。

筆者在聽(tīng)課時(shí)遇到一位老師是這樣講解的：這種題，討論函數(shù)的周期性一般的做法是猜想常數(shù)a的倍數(shù)是否是函數(shù)的周期，。

接著老師又出了一個(gè)變式題：已知函數(shù)，則T=________。

很快學(xué)生得出了答案：T=2a。表面上看，學(xué)生迅速地接受了這種題的解法，但是這絕對(duì)是一種假象。才講了例題，馬上給出一個(gè)變式練習(xí)，學(xué)生當(dāng)然能依葫蘆畫(huà)瓢。但是時(shí)間久了，誰(shuí)能確保學(xué)生還能記住這種經(jīng)驗(yàn)？“一般的做法是猜想常數(shù)a的倍數(shù)是否是函數(shù)的周期”這種處理方式非常不自然。學(xué)生肯定會(huì)疑惑為什么要這樣做。

筆者認(rèn)為，此題引導(dǎo)學(xué)生從直覺(jué)上來(lái)認(rèn)識(shí)這個(gè)問(wèn)題更有利于學(xué)生對(duì)問(wèn)題本質(zhì)的把握。自變量加a，函數(shù)值變?yōu)橄喾磾?shù)。一個(gè)很自然的想法是，自變量再加a，兩次取相反數(shù)，函數(shù)值就回到f（x）了。所以猜想函數(shù)的周期為2a。本題的關(guān)鍵是要能猜想出函數(shù)的周期，通過(guò)直覺(jué)分析比通過(guò)所謂的經(jīng)驗(yàn)去嘗試得到結(jié)果顯然更自然，學(xué)生掌握與運(yùn)用也將更靈活。

例2：在ΔABC中，若對(duì)任意的λ∈R，都有，則ΔABC（ ）

A.一定為銳角三角形 B.一定為鈍角三角形

C.一定為直角三角形 D.可以為任意三角形

解法1：設(shè)AB=c，AC=b，BC=a，將兩邊平方得，即關(guān)于λ的不等式在R上恒成立。因此Δ≤0，整理為，再由正弦定理得又，故，則角C為直角，故選C

解法2：當(dāng)λ=0時(shí)有AB≥BC，故角A只可能為銳角。如圖1所示，過(guò)點(diǎn)B作AC的平行線，顯然，對(duì)任意的。由題意，故，從而角C為直角。

評(píng)析：解法1通過(guò)平方得到關(guān)于λ的二次不等式，再借助一元二次不等式恒成立的等價(jià)條件以及利用正弦定理，通過(guò)代數(shù)運(yùn)算得出角C為直角。解法2體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想，這種方法不僅對(duì)問(wèn)題得出了一種直觀的認(rèn)識(shí)，而且免去了繁雜的計(jì)算。通過(guò)這種方法，學(xué)生能更好地把握問(wèn)題的本質(zhì)。

例3：在銳角三角形ABC中，邊c=2，角，求三角形面積S的取值范圍。

解法1：由正弦定理，，又該三角形為銳角三角形，所以。所以。

解法2：如圖2所示：在半徑為的圓中，90°的圓心角所對(duì)的弦AB=2，則弦AB所對(duì)的圓周角為又三角形ABC為銳角三角形，故點(diǎn)C位于劣弧上。由圖可知，當(dāng)C位于C1或C2時(shí)，S=2；當(dāng)C位于劣弧的中點(diǎn)時(shí)，

評(píng)析：解法1從正弦定理與三角形面積公式出發(fā)，再利用積化和差公式求得結(jié)果。現(xiàn)行教材對(duì)積化和差公式已不作要求，學(xué)生很難想到這種方法。另一方面，數(shù)缺形時(shí)少直覺(jué)。解法2能以“形”的直觀啟迪思路，揭示出試題的幾何特征，變抽象為形象，使解法比較繁瑣的這道題變得簡(jiǎn)單明了，學(xué)生更容易理解和入手解決。

例4：（1）已知函數(shù)，求f（x）的最大值。

（2）設(shè)函數(shù)若函數(shù)的最小值為g（a）求g（a）。

很多資料書(shū)都把這類(lèi)問(wèn)題歸類(lèi)為“軸動(dòng)區(qū)間定”和“軸定區(qū)間動(dòng)”。這種歸納方法表面上看條理很清晰，實(shí)則是把簡(jiǎn)單問(wèn)題復(fù)雜化。學(xué)生學(xué)了物理就知道，運(yùn)動(dòng)是相對(duì)的，無(wú)論是“軸動(dòng)”還是“區(qū)間動(dòng)”，都可以看成對(duì)稱(chēng)軸在運(yùn)動(dòng)。一元二次函數(shù)求最值關(guān)鍵看對(duì)稱(chēng)軸與給定區(qū)間的位置關(guān)系，從直觀上對(duì)稱(chēng)軸與區(qū)間的關(guān)系就只有“左邊”、“中間”、“右邊”三種情況。當(dāng)然當(dāng)二次函數(shù)開(kāi)口向上（下）時(shí)，求最大（小）值時(shí)，對(duì)稱(chēng)軸位于區(qū)間中間還應(yīng)考慮對(duì)稱(chēng)軸更靠近左邊還是右邊。因此，只考慮對(duì)稱(chēng)軸位置的變換，討論的情況就形象直觀，學(xué)生接受起來(lái)簡(jiǎn)單易懂。從位置關(guān)系來(lái)決定討論點(diǎn)顯得很自然，突出了問(wèn)題的幾何特征，學(xué)生很容易理解和掌握。

例5：已知數(shù)列滿足a1=an=0，且當(dāng)時(shí)，，令求S（An）的最大值。

參考答案：由，可設(shè)，則或，，，所以。

因?yàn)閍1=an=0，所以c1+c2+…+cn-1=0，且n為奇數(shù)，c1，c2，…，cn-1是由個(gè)1和個(gè)-1構(gòu)成的數(shù)列。所以S（An）=c1+（c1+c2）+…+（c1+c2+…+cn-1）=（n-1）c1+（n-2）c2+…+2cn-2+cn-1。則當(dāng)c1，c2，…，cn-1的前項(xiàng)取1，后項(xiàng)取-1時(shí)S（An）最大。此時(shí)，。

評(píng)析：本題的難點(diǎn)是得出，時(shí)S（An）取最大值。參考答案的做法過(guò)于抽象，解題思路不夠自然。若能從數(shù)形結(jié)合的角度來(lái)考慮就簡(jiǎn)單明了。

則a2，a3，…an-1對(duì)應(yīng)的點(diǎn)全部位于等腰直角三角形兩腰上面，否則a2，a3，…an-1對(duì)應(yīng)的點(diǎn)就會(huì)有一些位于三角形內(nèi)部，此時(shí)S（An）自然要小些。

在現(xiàn)行教育體制下，為了提高學(xué)生考試成績(jī)，很多老師急功近利，填鴨式地給學(xué)生灌輸各種所謂的經(jīng)驗(yàn)、技巧。然而數(shù)學(xué)問(wèn)題千變?nèi)f化，誰(shuí)能夠記住各種方法？沒(méi)有把握數(shù)學(xué)的本質(zhì)，即使記住了很多方法，拿什么來(lái)發(fā)現(xiàn)與創(chuàng)新？愛(ài)因斯坦曾經(jīng)說(shuō)過(guò)：“想象比知識(shí)更重要。”所謂想象其實(shí)就是一種思維直覺(jué)，要想有所發(fā)現(xiàn)，有所創(chuàng)新必須具有超強(qiáng)的直覺(jué)。數(shù)學(xué)學(xué)科的教學(xué)必須讓學(xué)生對(duì)知識(shí)有一個(gè)直觀上的認(rèn)識(shí)。發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的能力比解決問(wèn)題的能力更重要。要有所發(fā)現(xiàn)、有所創(chuàng)新，必須培養(yǎng)超強(qiáng)的數(shù)學(xué)直覺(jué)。 從認(rèn)知規(guī)律上講，直觀上的東西更容易被記住，運(yùn)用起來(lái)更靈活。在以高考為主要目標(biāo)的同時(shí)，我們可能有些忽視培養(yǎng)學(xué)生對(duì)知識(shí)的直觀體驗(yàn)，因?yàn)檫@些東西在高考題中體現(xiàn)并不明顯。然而生搬硬套、死記硬背得來(lái)的數(shù)學(xué)知識(shí)終究缺乏靈活性，在實(shí)際應(yīng)用中完全發(fā)揮不出來(lái)。數(shù)學(xué)直覺(jué)是數(shù)學(xué)研究能力的重要表現(xiàn)，過(guò)分強(qiáng)調(diào)對(duì)知識(shí)、技巧的記憶、數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)太依賴(lài)模式化的解題經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生的數(shù)學(xué)能力就得不到提高。這也就解釋了中國(guó)學(xué)生在國(guó)際上的一些學(xué)業(yè)水平測(cè)試中很有優(yōu)勢(shì)，但是與之形成鮮明對(duì)比的是我們?cè)谥Z貝爾獎(jiǎng)、菲爾茨獎(jiǎng)等國(guó)際大獎(jiǎng)獲獎(jiǎng)方面的巨大差距。數(shù)學(xué)知識(shí)的掌握必須要有一個(gè)直觀體驗(yàn)過(guò)程。注重解題思路的自然性不僅可以提升學(xué)生的學(xué)習(xí)成績(jī)，更能加深學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的直觀認(rèn)識(shí)，從而提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。