闕仁波

(廈門大學嘉庚學院土木系 福建漳州 363105)

0 引言

位移法是解超靜定結構的一種方法，與力法相比，它在解高次超靜定結構和易于程序化方面，比力法更具優(yōu)勢[1-4]，但它在概念上相對較難，而對于很多概念，如獨立線位移、鉸化法和位移牽連關系等，在很多教材[1-5]和文獻[6-11]中的敘述都比較零散，缺乏富有邏輯的串聯(lián)；或只給“其然”，缺乏對“所以然”的證明；或就題論題，缺乏對“萬變不離其宗”之宗的闡釋；或結論缺乏普適性，難以應對“常規(guī)”之外的題目；或有謬誤[7-8]；諸如此類。在結構必須滿足的平衡條件、荷載-位移關系和位移協(xié)調條件中，難點往往在位移協(xié)調條件的建立上。此外，很多難點又與轉角位移方程導出時所基于的前提和假設相關。鑒于此，本文擬追根溯源，然后從源點出發(fā)，較系統(tǒng)全面地理清理順位移法的內在邏輯關系，從而破解難點。

1 轉角位移方程的導出和位移法的基本思想

位移法是在力法之后基于力法而發(fā)展起來的，它所用到的轉角位移方程、固端彎矩和固端剪力公式最初都是通過力法推導出來的。對于圖1中的3種單跨超靜定結構，設AB桿為等截面(等EI)直桿，引起其內力的因素可能是荷載、溫變和桿端位移等，現(xiàn)先用力法推導因桿端位移所引起的桿端彎矩和桿端剪力公式[3]。

(a)

(b)

(c)圖1 等截面單跨超靜定梁

(a)

(b)圖2 圖1(a)的基本體系

圖1(a)所示為三次超靜定結構，按圖2(a)解除多余約束。忽略軸向受壓時的P-Δ效應和幾何剛度，則FNBA對彎矩和剪力無影響，圖2(a)可簡化為圖2(b)計算；忽略軸向變形，且設彎曲變形是微小的，則可近似取弦長等于原長，弦轉角φ=Δ/l(具體原因請見3.1所述)；忽略剪切變形，由圖乘法可得：

對于圖1(b)，MBA=0(力邊界條件)為已知，代入式(1)可得：

可見，θB不獨立。

對于圖1(c)，F(xiàn)QAB=FQBA=0(力邊界條件、剪力靜定)和θB=0(位移邊界條件、滑動支座)為已知，由式(1)可得：

可見，Δ不獨立。

疊加可得總的桿端彎矩和桿端剪力：

式(4)即通過力法推導出來的、作為位移法基礎的公式，它是考慮了位移協(xié)調條件的荷載-位移關系。位移法的基本體系法即通過附加約束，將原結構解構為一個個如圖1所示的3種基本單跨超靜定單元和可能存在的靜定部分，靜定部分只需考慮平衡條件即可確定內力，只對超靜定部分應用位移法。通過式(4)求出各單元的桿端彎矩和桿端剪力，再通過重構，求出各個附加約束處的約束力并令其為零(即向原結構等價轉化，原結構本無附加約束，故附加約束力應為零)，從而建立平衡方程，求解得基本未知量；進而桿端彎矩，將每一基本單跨解除限制轉動的桿端約束，并代以相應的約束力矩(大小和方向與桿端彎矩相同)，即成靜定結構，從概念上完成“解超靜定”(實際中則可能采用疊加法)。

圖2(b)中，未知量有MAB、MBA、FQAB、FQBA、θA、θB和Δ共7個，已建立了4個方程(式(1))，將MAB、MBA、FQAB和FQBA均表示為以θA、θB和Δ為自變量的因變量，一旦后者求出，前者即可求出，故θA、θB和Δ為獨立變量，或基本未知量，此處，“基本”即“獨立”。按此定義，根據(jù)式(2)和式(3)可知，圖1(b)的θA和Δ、圖1(c)的θA為基本未知量。

2 適用條件和解題要點

式(1)～(4)導出過程中所引入的前提和假設，以及所得出的一些結論，既決定了位移法的適用條件，也提示了位移法的解題要點，具體闡述如下。

2.1 非等截面直桿應在截面突變處分為不同的基本單元

圖1中的3種基本單元，桿件均為等截面直桿，故若某直桿不是全長等截面，則截面突變處應按剛結點處理，分桿件為不同的基本單元，如圖3所示。

(a) (b) 圖3 非等截面直桿梁

2.2 忽略軸力影響對支座性質的影響

在式(1)～(4)的推導過程中，引入了忽略軸力影響的假定，故圖2(a)可簡化為圖2(b)計算。由此，就求被解構的基本單元的彎矩和剪力而言，圖4(a)與圖4(b)等效。若已求出A端彎矩，解除A端限制轉動的約束，并代以相應的約束力矩，則圖4(a)和圖4(b)均可按圖5所示的簡支梁計算，即圖6(a)本為一次超靜定結構，但若忽略軸力的影響，求彎矩和剪力時可按圖6(b)計算，即圖6(a)為彎矩和剪力靜定、軸力靜不定結構。在剛架中，一般先求彎矩，再由對桿端求矩平衡、求桿端剪力，進而由結點投影平衡求軸力，故某單元的軸力還取決于其它單元的剪力或軸力，不能認為圖4(a)和圖6(a)的軸力為零。

(a) (b) 圖4 忽略軸力影響時的等效

圖5 圖4的基本體系

(a) (b) 圖6 軸力靜不定、彎矩和剪力靜定

當忽略軸向變形且只受軸力時，圖7(a)～ (c)均可等效為圖7(d)，如此可簡化分析計算。

(a) (b)

(c) (d) 圖7 忽略軸向變形且只受軸力時的等效

2.3 只對超靜定部分應用位移法

與力法拆除多余約束形成基本體系相比，位移法是對超靜定部分附加約束形成基本體系。因靜定部分只需考慮平衡條件即可求解，且支座位移在靜定部分不產生內力，故若原結構中有靜定部分，可先作如下預處理以簡化計算：先根據(jù)平衡條件求解靜定部分，然后將其去掉，代以其對超靜定部分的作用力，只對超靜定部分應用位移法(注：矩陣位移法中則同時考慮靜定部分，約束住所有結點位移)。但請注意，不要去掉靜不定部分。例如，按對圖6的分析方法可分析得圖8(a)中DF進而FG的彎矩和剪力靜定、軸力靜不定，而CB則全靜定，故可按圖8(b)所示按位移法計算，又按圖7的分析，可進一步簡化為圖8(c)，由此得基本體系如圖8(d)。

(a) (b)

(c) (d) 圖8 只對超靜定部分應用位移法

3 忽略軸向變形(考慮溫變時例外)條件下的位移協(xié)調條件分析

3.1 轉動

lB?B=l(1-cosφ)=2lsin2(φ/2)

(5)

lB?B′=lsinφ

(6)

圖9 轉動時的位移協(xié)調條件

例如圖10中，若ACBD， 則AC桿和BD桿的C點和D點分別沿垂直于AC和BD，且與原來在同一高度上的直線運動，ΔCA和ΔDB即AC桿和BD桿的側移。由此可知，CD無側移，若忽略CD桿的軸向變形，則ΔCA=ΔBD。

圖10 轉動時的位移協(xié)調條件舉例

若一根桿件的兩端分別繞與之相連的兩根桿件的遠端作圓周轉動，根據(jù)前述可知，可近似以沿切線運動代替沿弧線運動，從而兩根桿件(或桿件的延長線)的交點，必為瞬時不動點(否則，該點將有兩個不同方向的位移，違反位移的唯一性)。如圖11(a)中產生Δ3=1時BC桿的B端、C端和O點(虛交點)，以及圖12中產生Δ4=1時BD桿的B端、D端和C點(實交點)。由此，一方面，可建立桿件兩端位移之間的牽連關系，如φCB=ΔB/lOB=ΔC/lOC，如圖11(a)所示；另一方面，當考慮與側移相關的平衡時，若截斷的各桿(或各桿的延長線)匯交于瞬時不動點，則可對該點求矩，將軸力排除在外，以簡化計算，如圖11(b)所示[3,4,6,11]。若采用投影平衡，則方程中將含軸力，還得通過結點平衡，先將軸力采用剪力表示出來；對于截斷兩根以上既不平行也不匯交桿件的情況，要么采用投影平衡，要么采用能量法[11]。

(a) (b)圖11 瞬時不動點(虛交點)

圖12 瞬時不動點(實交點)

3.2 平動

圖13中，若A、B分別平移到A′和B′，且AA′∥BB′，若忽略軸向變形，假設弦線A′B′與AB等長，則須ΔA=ΔB，AB∥A′B′，AB桿無側移。

圖13 平動時的位移協(xié)調條件

例如圖14中，按3.1所述，A、B、C三點的位移分別垂直于三根相互平行的柱，故AA′∥BB′∥CC′， 若忽略AB和BC的軸向變形，則由上述結論可得：ΔA=ΔB，ΔB=ΔC，AB桿和BC桿無側移。

圖14 平動時的位移協(xié)調條件舉例

3.3 平面運動

(a) (b) (c) 圖15 平面運動時的位移協(xié)調條件

圖16 平面運動時的位移協(xié)調條件舉例1

例如，可采用圖17(b)來分析圖17(a)中Δ2=1時AB桿的側移，lAA″=lBB′，A′A″⊥A″B′，由正弦定理從ΔAA′A″中可求得：lBB′=4/3， 側移lA′A″=5/3。注意，盡管實際中A點不會沿AC豎向移動，但并不影響分析結果。

(a) (b)圖17 平面運動時的位移協(xié)調條件舉例2

對圖15(a)和(c)，可采用類似圖11或圖12的方法，設A點和B點分別沿過A點和B點的兩根桿件的切線移位，則過A點和B點分別作AA′和BB″的垂線，它們的交點O即為瞬時不動點。根據(jù)平面圖形繞瞬時不動點轉動的轉角等于繞任意基點轉動的轉角的特點，則桿件繞基點A′轉動的轉角(即弦轉角φ)等于繞O點轉動的轉角，由此可方便地確定弦轉角φ[11]以及ΔA和ΔB。

圖15中，當BB′與BB″在同一直線上，則必有：ΔBA=0，即AB桿無側移，且ΔB=ΔA，退化為圖13所示的平動。如圖10中的CD桿、圖14中的AB桿和BC桿。

4 抗彎剛度無窮大時的位移牽連和力矩分配

位移有剛體位移(桿件本身為剛體或桿件作整體同步平移)和變形兩種形式，EI→∞的桿件本身不會發(fā)生彎曲變形而產生角位移(即變形所致的角位移為0)，若再加上忽略軸向變形的假定，以及同一剛結點處各桿的轉角相等的條件，則它的剛體轉動或剛體平移將會引起位移牽連，減少基本未知量。

例如，設圖18(a)的BCD的EI→∞，則它只會繞C點作剛體轉動，一方面，如3.1所述，忽略軸向變形，B點和D點將產生垂直于BD的豎向線位移，導致ΔBA=-lΔ1，因E點無豎向約束，故在D點的帶動下，DE將作整體同步平移，不產生內力；另一方面，根據(jù)剛結點處各桿的轉角相等，可得AB桿的θB=Δ1和DE桿的θD=Δ1。原本的4個基本未知量θB、ΔB、θC和θD減為一個：θC=Δ1。

(a)

(b)圖18 抗彎剛度無窮大時的位移牽連

當EI→∞的桿件的結點作用外力矩時，根據(jù)按轉動剛度分配力矩的原則可知，該外力矩將全由該桿件承擔，其它參與力矩分配的桿件分配所得的力矩為零。附加剛臂的EI→∞，當附加剛臂處作用有外力矩時，外力矩由附加剛臂單獨承擔，不會在結構內引起內力，由此可快速求出自由項。如圖24中，外力矩F1l僅由B點的附加剛臂承受，其它桿件無彎矩，故自由項F1P=F1l，F(xiàn)2P=0。

5 一端固定、一端滑動，且桿軸線與滑動鏈桿斜交的單跨分析

圖1(c)中，桿件軸線與滑動端的鏈桿平行，故沿桿件切向的剪力靜定。若不平行(圖19(a))，則剪力不靜定(圖19(b))，若將支座反力沿軸向、切向和轉向分解(圖19(c))，則從限制軸向線位移、切向線位移和轉角3個自由度的角度來看，圖19(a)與圖1(a)一樣可看作是兩端固定的(圖19(d))，但跨長沿桿軸長，θB=0，Δ可按式(10)計算。

(a) (b)

(c) (d) 圖19 桿軸線與滑動鏈桿斜交的單跨

實際上，若從矩陣位移法的視角來看，圖1和式(1)～式(4)的分析都屬于單元分析，故對于圖19(a)所示的單跨結構，可先通過坐標變換，將其轉換到局部坐標下，再與圖1(a)一樣分析。

F=[FAxFAyMAFBxFByMB]T；

Δ=[uAxuAyθAuBxuByθB]；

圖中所示各量的指向均規(guī)定為正向。

(a) (b)

(c) (d) 圖20 內力和位移的坐標轉換

從圖20(c)可見，若忽略軸向變形，則Δl=uB+uA=0，而側移Δ=vB+vA，由式(8)可得：

-cosα(uAx-uBx)+sinα(uAy-uBy)=0

(9)

Δ=-sinα(uAx-uBx)-cosα(uAy-uBy)

(10)

當滑動向沿y向時，uBx=0，F(xiàn)By=0，由式(9)可看出，uB=uBy不獨立。

若AB上作用著不垂直于桿軸的荷載，如圖21(a)中的Fx、Fy和M，則由坐標轉換可得：

(a) (b)圖21 荷載的坐標轉換

圖22 荷載的坐標轉換舉例

實際上，式(7)～(11)對任意支座形式的斜桿均成立，而不僅限于圖19(a)所示的情形。式(9)和(10)可作為求解任意忽略軸向變形的桿件(不僅限于斜桿和滑動支座)兩端位移牽連關系的解析式。

綜上所述，圖19(a)的轉角位移方程為：

其中，l′=l/cosα；i′=EI/l′；Δ由式(10)確定，也可按3.3所述的方法確定。

6 對只承受結點集中荷載的無側移剛架的分析

若忽略軸向變形，對于無側移(即無結點線位移)的剛架，當只承受結點集中荷載時，彎矩為零[3]，剪力也為零。

利用上述特點，一方面可簡化結點荷載作用下自由項的計算，例如圖23中，當只考慮結點D處30kN的集中力作用時，各桿均無彎矩和剪力，由D、E處的結點力矩平衡和DEF的水平投影平衡可得：F1P=F2P=0，F(xiàn)3P=-30kN ；另一方面，在作如2.3所述的簡化過程中，若靜定部分對超靜定部分的作用力屬于結點集中力，則當無側移時，不引起彎矩和剪力，可去掉以簡化計算，例如圖8(d)可簡化為圖24計算。

圖23 只受結點集中荷載的無側移剛架圖24 圖8(d)的簡化

7 基本未知量的確定

位移法(手算)和矩陣位移法(電算)不同，后者追求統(tǒng)一性，將所有結點位移加以約束，從而使每一跨都成為兩端固定梁，一次性求出所有未知結點位移；而前者則力求計算量少，只通過附加約束，約束住獨立的結點位移，將原結構解構為一個個如圖1所示的3種基本單跨超靜定單元(圖19(a)相當于圖1(a))和可能存在的靜定部分。取獨立的結點位移作為自變量，而將其它未知結點位移、桿端彎矩和桿端剪力表示為它們的因變量，如式(1)～式(3)和式(12)所示，故在確定基本未知量時，一定要準確把握“基本”和“未知”兩個概念，如圖1(c)中，Δ不獨立，故非“基本”，θB=0，故非“未知”。

從圖1和式(1)中可看出，就某一超靜定單跨而言，一個結點位移獨立與否，取決于該結點處與之對應方向(軸向、切向和轉向)的力(力邊界條件)已知與否，若已知，則不獨立，否則，獨立；結點位移未知與否，取決于與之對應的位移邊界條件是否未知。

對圖25(a)～(b)所示結構，彎矩和剪力都靜定，利用單位荷載法可得：

此外，從前述可知，位移牽連(如EA→∞或EI→∞的假設所致)也會減少結點位移的獨立性。

(a) (b)圖25 彎矩和剪力靜定的結構

(a)

(b)

(c)圖26 單位荷載作用下的彎矩圖

由圖1、圖19和圖25可見，只有剛結點處的角位移才獨立；由圖1(c)、圖25(a)和圖25(b)可見，剪力靜定桿的側移不獨立。

外部剛結點(構件與基礎或墻體的剛性聯(lián)結點，即固定支座)處的角位移或為零，或已知，故只有內部剛結點(構件與構件的剛性聯(lián)結點)處的角位移為獨立角位移。此外，還要考慮可能存在的位移牽連對獨立角位移的減少。

平面內，一個結點有兩個自由度，即兩個線位移，在忽略軸向變形的情況下，每根鏈桿可提供一個沿軸向的約束。故若將所有內部剛結點、外部剛結點、滑動聯(lián)結和滑動支座處限制轉動的約束都去掉，只剩下限制線位移的約束，然后來判斷需要添加多少根鏈桿才能使得剩下的體系幾何不變且無多余約束；并減去為限制剪力靜定桿如圖1(c)、圖25(a)和圖25(b)所示切向位移而添加的鏈桿，則沿剩下的鏈桿向的線位移即獨立的結點線位移。利用該法，無需事先將靜定部分除去。

為簡化分析，可對原結構作一些預處理。因圖1(c)的B端解除限制轉動的約束后，將如圖25(a)所示，又按圖7所示的簡化模式可知，只受軸力時， 桿連同與之相連的鏈桿可簡化為一根鏈桿，故對于如圖1(c)和圖25(a)所示的情況，都可事先簡化為如圖27所示的情況，而對于如圖25(b)所示的全靜定部分則可直接去掉。

圖27 圖1(c)和圖25(a)的簡化

例如將圖28(a)中限制轉動的約束(點D、B、C、F處)除去，并添加鏈桿(點A、B、E處)使之幾何不變且無多余約束，但點A、E處附加鏈桿向的線位移不獨立，故只有B點處的線位移為獨立結點線位移，此外，也可作如28(c)所示的預處理再分析。同理，圖29(b)中點C、D處附加鏈桿向的線位移不獨立，故無獨立線位移。由圖8的分析可知，F(xiàn)點相當于圖25(a)的B端，故圖30(b)中點F處附加鏈桿向的線位移不獨立，故只有B點處的線位移為獨立結點線位移。

(a) (b) (c) 圖28 獨立結點線位移的確定舉例1

(a)

(b)圖29 獨立結點線位移的確定舉例2

(a) (b)圖30 獨立結點線位移的確定舉例3

8 結論

(1)轉角位移方程導出時所基于的前提和假設決定了位移法中基本單元的劃分、計算圖的簡化、基本未知量的選擇、位移牽連關系等方面。

(2)位移協(xié)調條件和基本未知量的確定等問題，都與同一剛結點處轉角相等、EA→∞假設、EI→∞假設等條件相關。

(3)一端固定、一端滑動，且桿件軸線與支承鏈桿不平行的單跨結構可按兩端固定的基本單元處理，但兩者之間存在坐標轉換關系。

(4)任意忽略軸向變形的桿件兩端的位移牽連關系，既可用運動學與幾何學的方式求解，也可直接用解析式求解。

(5)將所有內部剛結點、外部剛結點、滑動聯(lián)結和滑動支座處限制轉動的約束都去掉，只剩下限制線位移的約束，然后來判斷需要添加多少根鏈桿才能使得剩下的體系幾何不變且無多余約束，并減去為限制剪力靜定桿切向位移而添加的鏈桿，則沿剩下的鏈桿軸向的線位移即獨立的結點線位移。