鄭 越，泮斌峰，唐 碩

(1. 西北工業(yè)大學航天學院，西安 710072；2. 陜西省空天飛行器設(shè)計重點實驗室，西安 710072)

0 引 言

三體模型下航天器軌道常常呈現(xiàn)混沌運動狀態(tài)。利用混沌的遍歷特性，能夠使航天器在不耗能的情況下飛行到想要的合理位置。但由于混沌運動本身具有內(nèi)在隨機性和長期趨勢不可預見性，導致航天器在混沌區(qū)域的滑行時間過長。因此，在利用三體模型下混沌運動低能量特性的同時，如何有效減少軌道轉(zhuǎn)移時間是實現(xiàn)大規(guī)模、低成本探月活動的迫切需求，對探月工程的發(fā)展具有非常重要的意義。

目前采用混沌控制理論設(shè)計軌道的研究尚處于起步階段。1995年，Bollt等[1]基于龐加萊截面對流形進行多次截斷來實現(xiàn)地月低能轉(zhuǎn)移，有效地減少航天器在混沌區(qū)域的滑行時間，轉(zhuǎn)移過程中施加了8次脈沖。隨后，Schroer等[2]通過對一組不穩(wěn)定周期軌道進行打靶，利用比Bollt的方法略高的能量縮短了地月轉(zhuǎn)移時間，轉(zhuǎn)移過程中需要至少4次脈沖。Macau[3]將從地球和月球附近出發(fā)的軌道進行拼接，通過3次脈沖，進一步用能量的增加換取了地月轉(zhuǎn)移時間的縮短。近期，Salazar等[4]發(fā)展了Bollt方法[1]，通過增大龐加萊截面流形截斷約束值，利用更大的能量和8次脈沖，以更短的時間到達月球；此外，借助于月球引力輔助變軌方式，也將混沌控制拓展至到地月三體系統(tǒng)L4,L5拉格朗日點的低能轉(zhuǎn)移任務(wù)。

為了減小地月轉(zhuǎn)移過程中所需要的能量，現(xiàn)有的混沌控制方法[1-4]都利用了軌道在龐加萊截面圖上的投影點的穩(wěn)定方向與不穩(wěn)定方向的交點，分別采用了同一軌道截斷[1,4]和不同軌道拼接[2-3]的方法。對于同一軌道截斷的方法，需要軌道本身存在位置接近的投影點。而每次截斷需要在軌道轉(zhuǎn)移過程中施加兩個脈沖，導致軌道轉(zhuǎn)移過程所需要的脈沖過多。即使減小龐加萊截面流形截斷約束值以保證低能耗轉(zhuǎn)移，軌道轉(zhuǎn)移所需要的時間也較長。對于不同軌道拼接的方法，通常需要利用周期軌道作為中間軌道[2]而實現(xiàn)，具有依賴性。

針對現(xiàn)有混沌控制方法存在的需要脈沖次數(shù)多和必須通過固定周期軌道等缺點，本文提出一種新的低能地月軌道轉(zhuǎn)移方法。該方法針對地月三體系統(tǒng)中混沌運動的內(nèi)在隨機性，將混沌區(qū)域在龐加萊截面圖上進行分層。進一步分析航天器在混沌區(qū)域各層之間的運動趨勢，找到了在盡可能減少飛行時間的前提下完成地月軌道轉(zhuǎn)移的途徑。通過粒子群算法確定地月轉(zhuǎn)移軌道通過L1瓶頸區(qū)的狀態(tài)點，利用向前-向后法在盡可能減少飛行時間的前提下通過2～4次脈沖實現(xiàn)地月低能軌道轉(zhuǎn)移。

1 地月三體系統(tǒng)

1.1 動力學模型

考慮地月圓型限制性三體問題(Circular restricted three-body problem，CRTBP)，質(zhì)量可以忽略的航天器在地球和月球兩個主天體的引力作用下的運動，其中主天體繞其公共質(zhì)心做勻速圓周運動[5-6]。歸一化地球質(zhì)量m1和月球質(zhì)量m2之和為單位質(zhì)量，則：

(1)

(2)

其中，Ω為旋轉(zhuǎn)坐標系下的等效勢能：

(3)

設(shè)r1,r2為航天器到兩個主天體的距離，有：

(4)

CRTBP系統(tǒng)中，存在雅可比積分如下：

(5)

在地月三體系統(tǒng)中，單位長度為地月之間的距離，L=3.844×105km，單位時間為T=104 h，單位速度為V=1024 m/s。

1.2 龐加萊截面圖及分層

圖1為地月三體系統(tǒng)中雅可比能量C=3.17948的龐加萊截面圖，E，M分別表示地球和月球。以平動點L1[11]為分界線，將龐加萊截面區(qū)域分為地球引力區(qū)和月球引力區(qū)。在地球引力區(qū)中存在四組穩(wěn)定的KAM環(huán)，分別用Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ表示。本文利用KAM環(huán)對龐加萊截面地區(qū)引力區(qū)中的混沌區(qū)域進行分層。首先繪制第Ⅱ, Ⅲ, Ⅳ組KAM環(huán)的包絡(luò)線，形成的封閉區(qū)域分別為2個，3個和1個。然后將第Ⅲ組KAM環(huán)靠近地球一端的包絡(luò)線相連，靠近月球一端的包絡(luò)線與第Ⅳ組包絡(luò)線靠近月球一端的邊緣連接，則可以定義第Ⅲ組KAM環(huán)和第Ⅳ組KAM環(huán)的包絡(luò)線之間的區(qū)域為C層。最后將第Ⅱ組KAM環(huán)靠近地球一端的包絡(luò)線相連，靠近月球一端的包絡(luò)線以其邊緣的曲度延伸并將龐加萊截面地球引力區(qū)分為兩個部分，定義靠近地球部分的混沌區(qū)域為A層，而靠近月球部分C層以外的混沌區(qū)域為B層。

2 混沌控制在低能地月軌道轉(zhuǎn)移中的應(yīng)用

混沌系統(tǒng)具有內(nèi)在的敏感性，表現(xiàn)為對系統(tǒng)施加小的擾動，會使系統(tǒng)偏離固有軌跡而運動[12-13]。這個擾動可以非常小，不改變系統(tǒng)動力學特征，而驅(qū)使固有的系統(tǒng)動力學到最終想要的狀態(tài)。這個混沌控制的過程也被稱為目標命中[14]。由于在混沌系統(tǒng)中，微小的擾動能夠?qū)е戮薮蟮慕K端狀態(tài)偏差，混沌控制的目的就是確定何時以及如何選擇微小的擾動來達到預期的終端狀態(tài)。在地月三體系統(tǒng)中，混沌控制的目的就是通過微小擾動產(chǎn)生的能耗改變航天器軌跡以盡可能縮短飛行時間。

本文根據(jù)地月系統(tǒng)龐加萊截面圖上軌道投影點的分布情況，進一步提出了地月軌道轉(zhuǎn)移時間優(yōu)化原則。利用向前-向后法，在節(jié)省時間的前提下，拼接出地月低能轉(zhuǎn)移軌道。

2.1 地月軌道轉(zhuǎn)移時間優(yōu)化原則

航天器在地月三體系統(tǒng)下不耗費任何能量的軌道轉(zhuǎn)移可以認為是在地球引力區(qū)域的滑行過程中受到月球小引力的影響，與地月之間連線的相交位置逐漸向月球靠近，最終滑行至月球引力區(qū)而到達月球附近的過程。由于在航天器的滑行過程中會經(jīng)過混沌區(qū)域的很多層，而過多的混沌層和在每一層內(nèi)過長的游蕩時間，是地月軌道轉(zhuǎn)移時間過長的主要原因。因此要減少地月軌道轉(zhuǎn)移時間就要讓航天器只經(jīng)過必經(jīng)的混沌層并且盡可能減少在每一層的游蕩時間。

圖1為地月三體系統(tǒng)中雅可比能量C=3.17948的龐加萊截面圖。由地月CRTBP三體動力學模型的公式(2)可以得出，在每個主天體的引力區(qū)，離主天體距離越遠，航天器可以達到的最大速度越小。航天器在地月系統(tǒng)的地球引力區(qū)的滑行過程是一個在動能作用下遠離地球，而在地球引力作用下速度逐漸變小而再向地球附近滑行的一個往復過程。一旦航天器動能可以克服地球引力，航天器將穿過L1瓶頸區(qū)域并受月球引力作用從而到達月球附近。而龐加萊截面圖的包絡(luò)線可以認為是航天器在離主天體相應(yīng)距離下可以達到的最大速度，可以直接影響航天器滑行時的軌跡形狀。

第1.2節(jié)中分析了地月軌道初始位置的選擇原則，即應(yīng)該從軸上第Ⅰ組KAM環(huán)的右側(cè)開始向月球方向移動。圖2為初始位置從第Ⅰ組KAM環(huán)的右側(cè)向月球方向過渡的一組周期軌道(圓圈表示周期軌道的初始位置)；圖3為地月系統(tǒng)的龐加萊截面圖。圖2中的周期軌道圖2(a),2 (b),2 (c), 2(d),2 (e), 2(f) ,2 (g),2 (h)在圖3中的投影點分別對應(yīng)于周期軌道a, b, c, d, e, f, g, h。圖3中，投影點位于KAM環(huán)圓心的周期軌道f為穩(wěn)定周期軌道，對其周圍軌跡流形具有吸引作用；而投影點位于混沌區(qū)域的周期軌道a, b, c, d, e, g, h為不穩(wěn)定周期軌道，可以作為三體系統(tǒng)下軌跡流形狀態(tài)隨著初始點變化的分析依據(jù)。將圖3中的周期軌道與圖1中混沌區(qū)域的分區(qū)圖相對應(yīng)，周期軌道a, b在A層中，通過A層在龐加萊截面圖上所處的位置可知軌道流形在A層內(nèi)距離地球近且速度較大，流形遠離地球再回到地球附近的一個過程中軌跡流形如軌道a, b形成交叉點。同時，A層中的周期軌道隨著初始位置的改變，會經(jīng)過一系列如軌道b的過渡而進入B層，演變?yōu)閳D2(c)中周期軌道的形狀(圖2(c)中周期軌道為文獻[2]中規(guī)定的中間目標)。在B層中，航天器遠離和靠近地球的一個往復過程與地球的距離顯著增大，軌道形狀也如圖2(d), 2(e)發(fā)生了很大的變化。而在B層內(nèi)航天器已經(jīng)可以脫離地球引力的束縛而進入月球引力區(qū)，如圖2(e)所示。當軌道在龐加萊截面圖中處于以周期軌道f為中心的KAM組的內(nèi)圈即C層時，航天器遠離和靠近地球的一個往復過程與地球的距離進一步增大，且在C層內(nèi)航天器非常容易滑行至月球引力區(qū)。圖2(h)為軌道從C區(qū)向月球附近轉(zhuǎn)移的流形圖。

通過圖2(a), 2(b), 2(c), 2(d),2(e), 2(f), 2(g),2(h)可以演變出航天器從地球附近向月球附近軌道轉(zhuǎn)移的過程。轉(zhuǎn)移軌道在混沌區(qū)域的過渡過程可以通過A→B→C或者A→B。為了節(jié)省轉(zhuǎn)移時間，軌道應(yīng)該通過A→B轉(zhuǎn)移至月球附近，所以軌道經(jīng)過C層是軌道轉(zhuǎn)移耗時過長的一個重要原因。軌道轉(zhuǎn)移耗時過長的另一個原因是軌道流形會在相鄰兩層之間來回滑行。如圖2(g)所示，其軌跡在龐加萊截面圖3上的投影g在B, C層之間滑行會消耗過多的飛行時間。所以，為了節(jié)省地月軌道轉(zhuǎn)移時間，就是要使航天器盡快從A層滑行至B層然后再滑行至月球附近，且避免軌道流形在兩層之間來回滑行。

2.2 地月軌道拼接方法

地月系統(tǒng)的混沌區(qū)域內(nèi)，在初始端施加小的擾動可以使軌跡終端的狀態(tài)發(fā)生很大的變化，而混沌本身具有遍歷性，可以在初始端速度改變很小的前提下使航天器軌跡遍布廣泛區(qū)域，通過兩條軌跡的拼接來實現(xiàn)軌道轉(zhuǎn)移。

軌道間的拼接是一個目標命中的過程，可以用Shinbrot等提出的向前-向后法(Forward-backward method)來實現(xiàn)[15]。算法的思想如圖4所示，為了找到從初始狀態(tài)點進入以εt為半徑的目標域的一段軌跡，對以(p0,q0)為中心長度為δ的控制段(p,q)施加控制(p,q分別為位置和速度)并向前迭代，而小的目標域向后迭代，如果存在一條同時通過初始位置附近和目標區(qū)域的軌跡，則控制段和目標區(qū)域的延展方向?qū)⒆罱K相交，從交點演變到控制段的點pint出發(fā)可以直接到達目標區(qū)域。

由于在軌道轉(zhuǎn)移過程中施加脈沖只能改變航天器的速度，不能改變其位置，本文將龐加萊截面圖上地球附近的初始點P為中心的區(qū)域作為目標域，而控制段上狀態(tài)點位置坐標位于L1瓶頸處，橫向速度的大小由長度為δ的線段確定，且控制段上所有狀態(tài)點速度大小相同。目標域不穩(wěn)定方向上的點正向時間積分會逐漸遠離以P為初始點的軌跡，控制段穩(wěn)定方向上的點反向時間積分會逐漸遠離以控制段中心點為初始點的軌跡。目標域和控制段經(jīng)過數(shù)次迭代后，其延展方向在龐加萊截面圖上相交，通過交點反向時間和正向時間積分，可以得到一條從P點附近出發(fā)到達L1瓶頸的一段軌跡。由于盡可能縮短航天器在混沌區(qū)域的運送時間是地月軌道轉(zhuǎn)移的重要目標，應(yīng)該盡量減少控制段和目標域的迭代次數(shù)。當控制段與目標域迭代過程中位置很近，延展方向又幾乎平行不易存在交點時，可以通過一個脈沖來拼接軌[16]。

2.3 控制段的確定方法

在PSO算法中，有m個n維的向量的粒子組成一個種群，每個粒子對應(yīng)一個位置向量和一個速度向量。每個粒子根據(jù)自己的飛行經(jīng)歷和種群中其他粒子的飛行經(jīng)歷來調(diào)整自己的飛行，通過跟蹤個體最優(yōu)粒子和全局最優(yōu)粒子來控制自己的運動。在粒子尋優(yōu)過程中，第i個粒子第s維向量的運動軌跡描述如下：

(6)

式中:c1和c2為學習因子，是非負常數(shù)，r1s和r2s服從[0,1]上的均勻分布的隨機數(shù)，vis是粒子的速度，pis為局部最優(yōu)位置，是第i個粒子迄今為止搜索到的最優(yōu)位置，pgs為全局最優(yōu)位置，ω是慣性權(quán)值。

本文算法中，控制段中心點的候選狀態(tài)點向量與每個粒子的二維位置向量(y,θ)相對應(yīng)，y表示狀態(tài)點在縱坐標上的位置，在固定雅可比積分下，該點的速度可以通過式(5)得到：

(7)

θ表示狀態(tài)點速度的方向，則：

(8)

由第2.2節(jié)可知，軌道可以通過目標域和控制段的延展方向在龐加萊截面圖上的交點完成拼接。將目標域數(shù)次迭代后形成的區(qū)域定義為拼接區(qū)域F，本文根據(jù)軌跡與F區(qū)的最短縱坐標距離計算粒子適應(yīng)度值，方法如圖5所示。軌跡從每個狀態(tài)點出發(fā)，如果在預定時間TM內(nèi)，正向時間積分能夠到達月球附近，在預定時間TF內(nèi)，反向時間積分不經(jīng)過C層，則將反向時間積分的軌跡在龐加萊截面圖上的投影點與區(qū)域F最短的縱坐標距離作為這個狀態(tài)點所對應(yīng)粒子的適應(yīng)度值；否則將該粒子的適應(yīng)度值設(shè)定為最大值。計算每個粒子的最小適應(yīng)度值找出局部最優(yōu)位置和全局最優(yōu)位置，最后得出的全局最優(yōu)位置即為控制段中心點對應(yīng)的狀態(tài)向量。

2.4 地月軌道轉(zhuǎn)移設(shè)計方法

通過地月三體系統(tǒng)中混沌區(qū)域分層和軌道在各層間轉(zhuǎn)移的規(guī)律能夠得到盡可能快的實現(xiàn)地月軌道轉(zhuǎn)移的途徑；向前-向后法可以盡可能地減小地月軌道轉(zhuǎn)移過程中所需要的能量。將這兩種優(yōu)點相結(jié)合，能夠在節(jié)省時間的前提下，有效實現(xiàn)低能地月軌道轉(zhuǎn)移。

為了盡可能減少軌道轉(zhuǎn)移所需要的時間，一方面，目標域正向時間積分并記錄每次迭代在龐加萊截面圖上的投影點，當?shù)鶱次時如果有部分投影點能夠離開A層，則將這些投影點組成的區(qū)域設(shè)定為拼接區(qū)域F；另一方面，從控制段出發(fā)的參考軌道正向時間積分可以接近月球附近的KAM 環(huán)Q，反向時間積分不經(jīng)過C層且盡可能快地到達拼接區(qū)域F。通過向前-向后法將目標域和控制段的延展方向在區(qū)域F進行拼接。目標域內(nèi)地月軌道轉(zhuǎn)移的起始點通過拼接點反向時間積分得到，而控制段上的轉(zhuǎn)移點通過拼接點正向時間積分得到。地月軌道轉(zhuǎn)移過程如圖6所示。

在整個地月轉(zhuǎn)移過程中，本文方法所需施加的脈沖為2～4次。必要的兩次脈沖為航天器脫離地球附近周期區(qū)域和進入月球附近周期區(qū)域所施加的。在控制段和拼接區(qū)域F的脈沖可以根據(jù)不同情況而改變。在控制段，如果從轉(zhuǎn)移點正向時間積分能夠達到月球附近，則地月軌道轉(zhuǎn)移完成，否則在轉(zhuǎn)移點施加沖量轉(zhuǎn)變?yōu)榭刂贫沃行狞c，再完成地月軌道轉(zhuǎn)移。在拼接區(qū)域，如果目標域和控制段的延展方向在區(qū)域F相交，則這段軌跡的拼接不需要施加沖量，否則在龐加萊截面圖上選擇控制段與區(qū)域F橫坐標相同，縱坐標距離最近的點進行拼接，施加沖量的大小由縱坐標間的距離決定。

3 數(shù)值仿真校驗

地月軌道轉(zhuǎn)移就是對地球附近的周期軌道上的航天器施加脈沖，使其飛行至月球附近，然后再對其施加脈沖使其繞月飛行。在地月三體系統(tǒng)中，地月轉(zhuǎn)移軌道的初始點選擇與文獻[1-4]相同的P點。該點位于半徑為59669 km的圍繞地球旋轉(zhuǎn)的圓軌道上，在圖3所示的龐加萊截面圖中用‘*’表示。在雅可比能量C=7.17218時航天器通過P點圍繞著地球做周期運動(由于參數(shù)精度選擇有差異，本文所得到的周期軌道雅可比能量與文獻[1-4]中的C=7.1738不一致)，施加一個平行的脈沖使航天器進入混沌區(qū)域，這時系統(tǒng)的雅可比能量為C=3.17948(實現(xiàn)地月軌道轉(zhuǎn)移的必要條件是系統(tǒng)雅可比能量必須小于CL=3.1883)。這要求速度的改變ΔV=748.06 m/s(文獻[1-4]中ΔV=744.4 m/s)，而如圖3所示，點P在C=3.17948時包圍在混沌區(qū)域內(nèi)，當軌道轉(zhuǎn)移到月球附近并距離繞月周期軌道為中心的KAM環(huán)Q距離很近時，便可以通過一個很小的脈沖使軌道流形進入KAM環(huán)的邊緣而繞月運動。

當系統(tǒng)雅可比能量C=3.17948，航天器在不施加外力的情況下從龐加萊截面圖上的P點滑行到月球附近需要27年多的時間，而且航天器并沒有長時間停留在月球附近，而是在月球附近飛行數(shù)圈后便很快遠離。圖7(a)為航天器在系統(tǒng)雅可比能量C=3.17948下從P點自由滑行的軌跡，圖7(b)為其對應(yīng)的龐加萊截面圖，對應(yīng)圖1中龐加萊截面圖的分區(qū)。可以看出，航天器在龐加萊截面圖中的A層游蕩很長時間后，其軌跡轉(zhuǎn)變?yōu)樵贏層和B層之間飛行；然后經(jīng)過相當長的時間，轉(zhuǎn)變?yōu)樵贐層和C層之間飛行；最后通過C層軌跡轉(zhuǎn)移到月球附近。

本文選擇P點為中心的區(qū)域作為目標域，用本文方法確定控制段，規(guī)定預定時間TM和TF，進而得到地月低能轉(zhuǎn)移軌道。令TM=5T，圖8(a)，圖8(b)分別為預定時間取TF=50T和TF=25T得到的兩種轉(zhuǎn)移軌道。圖8(a)中，航天器從距離P點非常接近的P1點出發(fā)，施加ΔVP1=736.3 m/s的脈沖使航天器進入混沌區(qū)域。在控制段需要ΔVB1=0.002 m/s，使從B1出發(fā)的流形與從P1出發(fā)的流形拼接形成地月轉(zhuǎn)移軌道。在離繞月準周期軌道KAM最近的點A1施加一個速度增量使軌道流形進入KAM環(huán)內(nèi)需要ΔVA1=4.6 m/s。將這3個脈沖相加，可得到在混沌軌道的控制中所需要的總能量為740.9 m/s，飛行時間為303天。圖8(b)中，航天器從距離P點非常接近的P2點出發(fā)，施加ΔVP2=752.4 m/s的脈沖使航天器進入混沌區(qū)域。在控制段需要ΔVB2=0.2 m/s，使從B2出發(fā)的流形與從P2出發(fā)的流形拼接形成地月轉(zhuǎn)移軌道。在拼接點C2需要ΔVC2=141.6 m/s，在離繞月準周期軌道KAM最近的點A2施加一個速度增量使軌道流形進入KAM環(huán)內(nèi)需要ΔVA2=2.9 m/s。將這4個脈沖相加，可得到在混沌軌道的控制中所需要的總能量為

897.1 m/s，飛行時間為184天。與現(xiàn)有文獻相比，通過本文方法實現(xiàn)地月軌道轉(zhuǎn)移所需的脈沖次數(shù)較少，具體的軌跡可以根據(jù)轉(zhuǎn)移過程中需要的總能量和飛行時間的要求來選擇。表1為文獻[1-4]與圖8中軌道所需總能量、轉(zhuǎn)移時間和脈沖次數(shù)的對比。與文獻[1-4]相比，圖8(a)中所設(shè)計的軌道使用最小的能耗得到了飛行時間較短的轉(zhuǎn)移軌道，而圖8(b)中所設(shè)計的軌道通過稍大的能耗顯著縮短了飛行時間。

表1 地月軌道轉(zhuǎn)移所需的總能量、飛行時間和脈沖次數(shù)Table 1 Required energy, time of flight and impulse times in Earth-Moon orbit transfer

4 結(jié) 論

本文通過將地月三體系統(tǒng)的龐加萊截面圖分為不同的層，得到了地月系統(tǒng)在實現(xiàn)地月轉(zhuǎn)移軌道時耗時過長的原因，提出地月軌道轉(zhuǎn)移時間優(yōu)化原則。結(jié)合向前-向后法，將從地球附近目標域正向時間積分的軌跡和L1瓶頸處的控制段軌跡進行拼接進而完成低能地月軌道轉(zhuǎn)移。該方法僅需施加2～4次脈沖，在盡可能節(jié)省能量的情況下，有效地減少了航天器在混沌區(qū)域的滑行時間。而轉(zhuǎn)移所需的能耗和時間的折衷標準是進一步需要完成工作。