廣東省中山市實驗中學(528400) 王明義

三角函數(shù)的圖像是三角函數(shù)的重要表示方法之一,它完美地體現(xiàn)了數(shù)形結合的思想,具有直觀形象、規(guī)律明顯的特點.在高考中,這部分內(nèi)容主要以客觀題的形式出現(xiàn),分值在5分左右,偶爾以解答題的形式出現(xiàn)加以考察,多數(shù)題目試題難度中等.在2016年的理科全國I卷高考試題中,與三角函數(shù)的圖像有關的試題共15道,其中8道題考查了三角函數(shù)的圖像的變換.認真研究高考題是復習備考的捷徑,因為高考題有考點準確、信度好、方向明、內(nèi)容精、成本低、效益高的特點,因此,高考題有著極高的訓練和研究價值.

本文作者以2016全國理科數(shù)學I卷的第12道選擇題為出發(fā)點,對這類問題做一個深入的探究,得到三角函數(shù)中一些常用的結論,并利用這些結論方便地解決了一些類似的數(shù)學問題.

一.問題提出

題目(2016年全國卷I第12題)已知函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ),為函數(shù)的零點,為對稱軸,且函數(shù)在區(qū)間上單調(diào),則ω最大值()

A.11 B.9 C.7 D.5

解法一(解析法)依題意有

解方程得

(1) 當m+n=0時,ω=4n+1,又因為得到ω≤12.依題意取n=2得到ω=9,經(jīng)驗證符合單調(diào)性要求.

(2)當m+n=?1時,ω=4n+3,取n=2得經(jīng)驗證函數(shù)不滿足單調(diào)性要求故舍去.

綜上所述,答案B滿足要求.

解法小結這種解法我們稱為解析法,它是利用已知條件采用列方程的方式,來計算出參數(shù)的值,這個解法思路比較簡單,但是實際操作起來計算量偏大,而且不夠直觀.下面我們利用三角函數(shù)的圖像推導出4個性質(zhì),然后利用這些性質(zhì)解決這個問題.

二.與函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)有關的四個性質(zhì)

性質(zhì)1 函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)的某一個零點與某一條對稱軸的距離d和周期T的關系:

證明不妨設函數(shù)的零點為x1,對稱軸為x=x2,則由零點和對稱軸的性質(zhì)可以得到:

證畢.

性質(zhì)2 若函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)在某區(qū)間上單調(diào),則此區(qū)間的長度d與最小正周期T的關系為:

此結論由三角函數(shù)的圖像易得,證明從略.

性質(zhì)3 對于函數(shù)f(x)= sin(ωx+φ),若滿足f(x1)=f(x2),則為函數(shù)的一條對稱軸或者|x1?x2|=kT,k∈N.

證明因為f(x1)=f(x2)所以

或者

性質(zhì)4 對于函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ),若f(x1)=?f(x2),則為函數(shù)的一個零點或者

證明若f(x1)=?f(x2)我們得到:

或者

由(1)得

由(2)得

三.應用舉例

例1 首先我們利用上述性質(zhì)來解決文章開頭的高考題.

解答由性質(zhì)1和性質(zhì)2我們可以得到:

從而得到ω=2n+1且ω≤12.根據(jù)題意和四個選項中的答案,我們先令ω=11進行排除,得到此時n=5.由(1)得對稱軸和零點的距離為下面我們就在零點和對稱軸之間作出個周期的圖像,如圖一.其中黑色加粗部分為給定區(qū)間上的圖像.由于不符合在單調(diào)性的要求故排除.

然后我們再令ω=9,此時n=4.同理可得到對稱軸和零點的距離此時為同理,在零點和對稱軸之間作出個周期的圖像,如圖二.易知此時滿足單調(diào)性的要求,答案選B.

圖1

圖2

例2 (2014年北京理科第14題)設函數(shù)若f(x)在區(qū)間具有單調(diào)性,且試問f(x)的最小正周期是多少?

解答由性質(zhì)2我們可以得到所以所以再有性質(zhì)3和可知為對稱軸.再由性質(zhì)4和可知為函數(shù)的一個零點.再利用性質(zhì)1得即所以T=π.

此題的解答過程完美的體現(xiàn)了上述4個性質(zhì)的應用,簡單明了,賞心悅目.

例3 已知函數(shù)且在有最小值無最大值,則ω為多少?

解答因為函數(shù)在內(nèi)有最小值無最大值,所以在區(qū)間內(nèi)的圖像大致為圖3所示.則由性質(zhì)2可知對稱軸為且所以即ω=且ω＞0,故

圖3

四.備考復習建議

(一)夯實基礎,重點突破

三角函數(shù)圖像問題的核心在于如何作圖和識圖,所以我們要打好利用“五點法”作圖和利用“圖形變換法”作圖這兩個基礎,方能在解題的時候以不變應萬變,用最快捷和高效的方法解決問題.

(二)一題多解,變式訓練

現(xiàn)在的高考題靈活多變,我們不能夠一味的機械模仿,重復做一些“經(jīng)典好題”.否則,一是忽略了數(shù)學的本質(zhì),二是導致學生慢慢失去學習數(shù)學的樂趣.所以我們要進行適當?shù)淖兪接柧?從而克服如上弊端.當然,變式訓練要圍繞學生的易錯點展開,訓練學生解決靈活性問題的能力,讓學生不斷積累,做到舉一反三.

(三)數(shù)形結合,鍛煉思維

上面的例題中,我們主要是利用三角函數(shù)的圖像觀察出四個性質(zhì),這就是數(shù)形結合的思想的應用.數(shù)形結合的思想是數(shù)學知識在更高層次上的抽象和概括,高考中會面臨對這方面的重點考查.因此,通過復習提升學生高階思維能力,也是我們今后學習過程中的重中之重.