廣東省雷州市第八中學(524232) 魏 欣 鄧春梅

數(shù)學文化試題近年來在高考中一直有所體現(xiàn).本文對歷年滲透數(shù)學文化的高考題進行了統(tǒng)計、歸類、分析,并加以解讀,最后給出了數(shù)學文化在教學中的建議,以期達到開闊眼界、積累經(jīng)驗、提高解答滲透數(shù)學文化考題的能力.

一、數(shù)學文化的內(nèi)涵

著名數(shù)學教育家、華東師范大學數(shù)學系張奠宙教授在《數(shù)學教學》2015年第9期發(fā)表了文章《多一點數(shù)學文化的考題》,該文詮釋了數(shù)學文化的內(nèi)涵:數(shù)學文化指數(shù)學的思想、精神、方法、觀點、語言,以及它們的形成和發(fā)展.數(shù)學作為一種文化現(xiàn)象,早已是人們的常識.狹義的數(shù)學文化指數(shù)學的思想、精神、方法、觀點、語言,以及它們的形成和發(fā)展;廣義的數(shù)學文化除上述內(nèi)涵以外,還包含數(shù)學家、數(shù)學史、數(shù)學美、數(shù)學教育、數(shù)學發(fā)展中的人文成分、數(shù)學與社會的聯(lián)系、數(shù)學與各種文化的關系等等.

近幾年高考數(shù)學試卷出現(xiàn)以數(shù)學文化為背景的新穎命題,將數(shù)學知識、方法、文化融為一體,有效考查學生在新情境下對知識的理解及遷移運用能力.2017年考綱作出明確要求后,相信以后的高考關于數(shù)學文化的命題會加大,應引起師生們的重點關注.

二、滲透數(shù)學文化的高考題的統(tǒng)計與分析

以下是近5年高考全國卷(見下表)、2007-2017年其他省份高考卷也均考查滲透數(shù)學文化的高考題,由于篇幅關系,此處不再贅述.

近五年全國卷數(shù)學文化試題分布統(tǒng)計表

縱觀近幾年全國各地的高考試題不難看出,滲透數(shù)學文化的高考題主要有以下五個特點:

第一、從文理試卷分配看,數(shù)學文化背景試題出現(xiàn)在理科數(shù)學卷中較多,文科卷相對較少.

第二、從題型和知識點分布看,基本以選擇填空題為主,計算題和證明題相對較少.

另外,涉及到的知識點主要集中在立體幾何計算與證明、各種幾何形體的體積和面積比例計算、數(shù)列、算法程序框圖、推理、概率、函數(shù)等等.其中幾何形體、數(shù)列、算法程序框圖所占比重明顯較大,也出現(xiàn)了有關數(shù)學史的幾何證明題,并且分值較大.

第三、從素材選取來源來看,出自我國數(shù)學名著的數(shù)學文化真題幾乎均來源于《九章算術》、《數(shù)書九章》及《算數(shù)書》,其中《九章算術》為主.大多以古代社會人們的生活實際和生產(chǎn)實際為背景,且先用古漢語描述,再以現(xiàn)代漢語予以翻譯和解析.另外,外國古代數(shù)學文化也有涉及,多以數(shù)學名題為主.可見,命題者也注意到了數(shù)學的文化多元性思想.

第四、從類別和價值上看,涉及數(shù)學史料中的古算題、數(shù)學名題、數(shù)學家人物及優(yōu)秀成果、數(shù)學與其它學科的文化聯(lián)系所占比例較少.進一步,突出科學價值、人文價值及應用價值較多,突出美學價值較少.

第五、從呈現(xiàn)的方式來看,僅有顯性和隱形兩種形式.其中,以隱性形式考查方式較多,以顯性形式考查方式較少.顯性形式是直接給出數(shù)學文化背景作為試題的情景或引子,解答與數(shù)學文化背景基本無關.而隱形形式是指不直接給出數(shù)學文化背景,隱含考查與數(shù)學文化相關的知識和思想方法.

二、滲透數(shù)學文化的高考題的歸類與總結(jié)

1.滲透數(shù)學文化的幾何題

例1 (2017年浙江理科卷第11題)我國古代數(shù)學家劉徽創(chuàng)立的“割圓術”可以估算圓周率π,理論上能把π的值計算到任意精度,祖沖之繼承并發(fā)展了“割圓術”,將π的值精確到小數(shù)點后七位,其結(jié)果領先世界一千多年,“割圓術”的第一步是計算單位圓內(nèi)接正六邊形的面積S內(nèi),S內(nèi)=___.

賞析本題以我國古代數(shù)學家劉徽創(chuàng)立的“割圓術”估算圓周率為載體,主要考查了圓與三角函數(shù),創(chuàng)設的情景具有濃厚的文化底蘊.答案為

圖1

例2 (2015年全國I理科卷第6題)《九章算術》是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學名著,書中有如下問題:“今有委米依垣內(nèi)角,下周八尺,高五尺.問:積及為米幾何?”其意思為:“在屋內(nèi)墻角處堆放米(如圖1,米堆為一個圓錐的四分之一),米堆底部的弧長為8尺,米堆的高為5尺,問米堆的體積和堆放的米各為多少?”已知1斛米的體積約為1.62立方尺,圓周率約為3,估算出堆放的米約有()

A.14斛 B.22斛 C.36斛 D.66斛

賞析本題插圖來源于《九章算術》,是本題的一個亮點,其一增強了數(shù)學問題的生活化,使數(shù)學的應用更貼近學生的生活實際;其二探索了高考數(shù)學試題插圖的新形式,給出了如何抽象數(shù)學問題現(xiàn)象化的范例.本題選B.

例3 (2014年湖北文科卷第10題)《算數(shù)書》竹簡于上世紀八十年代在湖北省江陵縣張家山出土,這是我國現(xiàn)存最早的有系統(tǒng)的數(shù)學典籍,其中記載有求“囷蓋”的術:置如其周,令相乘也.又以高乘之,三十六成一.該術相當于給出了由圓錐的底面周長L與高h,計算其體積V的近似公式它實際上是將圓錐體積公式中的圓周率π近似取為3.那么,近似公式相當于將圓錐體積公式中的π近似取為( )

賞析本題源于《算數(shù)書》,通過加工改造和加以解析的方式創(chuàng)設了類比推理的情景.試題充分體現(xiàn)了地域特色和數(shù)學文化.本題選B.

例4 (2012·湖北理科卷第10題)我國古代數(shù)學名著《九章算術》中“開立圓術”曰:置積尺數(shù),以十六乘之,九面一,所得開立方除之,即立圓徑.“開立圓術”相當于給出了已知球的體積V,求其直徑d的一個近似公式人們還用過一些類似的近似公式,根據(jù)判斷π=3.14159...,下列近似公式中最精確的一個是()

賞析球是完美的幾何體,揭示球的直徑與體積之間的關系是中國古代數(shù)學的重要研究內(nèi)容.本題以《九章算術》中“開立圓術”為背景,給出了四個歷史上曾經(jīng)使用過的關于球的直徑與體積之間的近似公式.題目沒有直接要求考生將四個公式與球的體積公式比較,判斷公式的精確性,而是采用了“下列近似公式中最精確的一個是”這種相對隱蔽的獨特的設問方式,要求考生自己尋找判別方法,滲透著對考生創(chuàng)新意識的考查.本題選D.

例5 (2013年湖北文科卷第16題)我國古代數(shù)學名著《數(shù)書九章》中有“天池盆測雨”題:在下雨時,用一個圓臺形的天池盆接雨水,天池盆盆口直徑為二尺八寸,盆底直徑為一尺二寸,盆深一尺八寸.若盆中積水深九寸,則平地降雨量是____寸.(注:①平地降雨量等于盆中積水體積除以盆口面積;②一尺等于十寸)

賞析本題源于《數(shù)書九章》,通過加工改造和加注解析的方式降低了理解題意的難度.試題體現(xiàn)了空間想象能力中“無圖想圖”、“無圖作圖”的高層次要求,有效地考查了考生提煉圖形與應用圖形的能力,同時傳播了數(shù)學文化.著名數(shù)學史專家錢寶宗先生對于《數(shù)書九章》中提到的“天池盆”作了高度的評價,指出:“天池盆是世界文化史上最早出現(xiàn)的雨量器.”本題答案為3寸.

例6 (2015年湖北理科卷第19題)《九章算術》中,將底面為長方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬,將四個面都為直角三角形的四面體稱之為鱉臑.如圖2,在陽馬P?ABCD中,側(cè)棱PD⊥底面ABCD,且PD=CD,過棱PC的中點E,作EF⊥PB交PB于點F,連接DE,DF,BD,BE.

圖2

(1)證明:PB⊥平面DEF.試判斷四面體DBEF是否為鱉臑,若是,寫出其每個面的直角(只需寫出結(jié)論);若不是,說明理由.

(2)若平面DEF與平面ABCD所成二面角的大小為的值.

賞析本題以課本例題為原型改編而成,主要考查空間直線與平面的垂直以及二面角等基礎知識,同時考察空間想象能力和推理論證能力,以及數(shù)形結(jié)合的思想和轉(zhuǎn)化與化歸的思想.此題背景源于《九章算術》卷第五《商功》之[一五].今有陽馬,廣五尺,袤七尺,高八尺.問積幾何;之[一六]今有鱉孺,下廣五尺,無袤;上袤四尺,無廣,高七尺.問積幾何.考題將“陽馬”、“鱉孺”相結(jié)合,并與課本例題有機整合、巧妙嫁接、精典設問、和諧優(yōu)美的考題呼之即出.讓數(shù)學教育者與高考學子為之贊嘆.

2.滲透數(shù)學文化的數(shù)列題

例7 (2017年全國新課標II理3)我國古代數(shù)學名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問題:遠望巍巍塔七層,紅光點點倍加增,共燈三百八十一,請問尖頭幾盞燈?”意思是:一座7層塔共掛了381盞燈,且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍,則塔的頂層共有().

A.1盞 B.3盞 C.5盞 D.9盞

賞析該題選自明代著名數(shù)學家吳敬所著《九章算法類比大全》“塔頂盞燈”問題,后來明朝著名的數(shù)學家程大位將這首名題選入《算法統(tǒng)宗》.顯然,這是一個等比數(shù)例問題,已知塔的層數(shù)、燈總和,下層比上一層增加一倍,根據(jù)等比數(shù)列求和公式可求得塔頂有3盞燈.

例8 (2011年湖北理科卷第13題及文科卷第9題)《九章算術》“竹九節(jié)”問題:現(xiàn)有一根9節(jié)的竹子,自上而下各節(jié)的容積成等差數(shù)列,上面4節(jié)的容積共3升,下面3節(jié)的容積共4升,則第5節(jié)的容積為____升.

賞析本題將數(shù)學史與等差數(shù)列知識進行融合,注意考查學生的理解問題及知識的遷移應用能力.《九章算術》是中國古代第一部數(shù)學專著,是《算經(jīng)十書》是一部經(jīng)幾代學者整理、刪補和修訂而成的數(shù)學經(jīng)典著作,系統(tǒng)總結(jié)了戰(zhàn)國、秦、漢時期的數(shù)學成就.全書采用問題集的形式編寫,共整理246個問題及解法,分成方田、粟米、衰分、少廣、商功、均輸、盈不足、方程和勾股共九章.同時,《九章算術》在數(shù)學上還有其獨到的成就,不僅最早提到分數(shù)問題,也首次闡述了負數(shù)及其加減法運算法則.它是一本綜合性的數(shù)學著作,是當時世界上最簡練有效的應用數(shù)學,它的出現(xiàn)標志著我國古代數(shù)學形成了完整的體系.本題答案為

例9 (2012年湖北文科卷第17題)傳說古希臘畢達哥拉斯學派的數(shù)學家經(jīng)常在沙灘上畫點或用小石子表示數(shù).他們研究過如圖3所示的三角形數(shù):

圖3

將三角形數(shù)1,3,6,10,…記為數(shù)列{an},將可被5整除的三角形數(shù)按從小到大的順序組成一個新數(shù)列{bn}.可以推測:

(1)b2012是數(shù)列{an}中的第___項;

(2)b2k?1=____.(用k表示.)

賞析此題是以形為載體,考查數(shù)列的通項公式等基礎知識,考查特殊與一般的數(shù)學思想方法,考查歸納與猜想、推理與計算的能力,試題既合理引用了經(jīng)典史料,又不刻意增加難度,同時對學生的數(shù)感進行了有效地考查,讓學生在數(shù)學史的背景中,體驗數(shù)學的理性精神.

3.滲透數(shù)學文化的算法題

例10 (2016年全國丙卷理科第8題文科第9題)中國古代有計算多項式值的秦九韶算法,如圖4是實現(xiàn)該算法的程序框圖.執(zhí)行該程序框圖,若輸入的x=2,n=2,依次輸入的a為2,2,5,則輸出的s=()

A.7 B.12 C.17 D.34

圖4

圖5

例11 (2016年四川理科卷第6題)秦九韶是我國南宋時期的數(shù)學家,普州(現(xiàn)四川省安岳縣)人,他在所著的《數(shù)書九章》中提出的多項式求值的秦九韶算法,至今仍是比較先進的算法.如圖5所示的程序框圖給出了利用秦九韶算法求某多項式值的一個實例.若輸入n,x的值分別為3,2,則輸出v的值為()

A.9 B.18 C.20 D.35

例12 (2015年全國卷II文理卷第8題)如圖6,程序框圖的算法思路源于我國古代數(shù)學名著《九章算術》中的“更相減損術”.執(zhí)行該程序框圖,若輸入的a,b分別為14,18,則輸出的a=()

A.0 B.2 C.4 D.14

賞析以上三道題目均來源于我國古代數(shù)學名著《九章算術》,主要考查程序框圖、“秦九韶算法”和“更相減損術”的知識.

圖6

4.滲透數(shù)學文化的概率題

例13 (2017年全國I理科卷第2題)如圖7,正方形ABCD內(nèi)的圖形來自中國古代的太極圖,正方形內(nèi)切圓中的黑色部分和白色部分關于正方形的中心成中心對稱.在正方形內(nèi)隨機取一點,則此點取自黑色部分的概率是()

圖7

解析本題以我國古代的太極圖為背景,考查了幾何概型知識,體現(xiàn)數(shù)學美學價值.本題答案為B.

例14 (2012年湖北理科卷第2題)《九章算術》是人類科學史上應用數(shù)學的最早巔峰,在研究比率方面的應用十分豐富,其中有“米谷粒分”問題:糧倉開倉收糧,糧農(nóng)送來1534石,驗其米內(nèi)雜谷,隨機取米一把,數(shù)得254粒內(nèi)夾谷28粒,則這批米內(nèi)夾谷約()

A.134石 B.169石 C.268石 D.338石

解析本題以《九章算術》為背景,考查了隨機抽樣事件的概率知識,體現(xiàn)數(shù)學應用價值.本題答案為B.

5.滲透數(shù)學文化的邏輯推理題

例15 (2017年全國II理科卷第7題)甲、乙、丙、丁四位同學一起去向老師詢問成語競賽的成績.老師說:你們四人中有2位優(yōu)秀,2位良好,我現(xiàn)在給甲看乙、丙的成績,給乙看丙的成績,給丁看甲的成績.看后甲對大家說:我還是不知道我的成績.根據(jù)以上信息,則可推斷知道自己成績的是().

A.乙可以知道四人成績 B.丁可以知道四人成績

C.乙、丁以知道對方成績 D.乙、丁以知道自己成績

例16 (2016年全國II理科卷第15題)有三張卡片,分別寫有1和2,1和3,2和3.甲,乙,丙三人各取走一張卡片,甲看了乙的卡片后說:“我與乙的卡片上相同的數(shù)字不是2”,乙看了丙的卡片后說:“我與丙的卡片上相同的數(shù)字不是1”,丙說:“我的卡片上的數(shù)字之和不是5”,則甲的卡片上的數(shù)字是____.

例17 (2014年全國I文理卷第14題)甲、乙、丙三位同學被問到是否去過A,B,C三個城市時,甲說:我去過的城市比乙多,但沒去過B城市;乙說:我沒去過C城市;丙說:我們?nèi)巳ミ^同一城市.由此可判斷乙去過的城市為____.

例18 (2014年北京理科卷第8題)學生的語文、數(shù)學成績均被評定為三個等級,依次為“優(yōu)秀”“合格”“不合格”.若學生甲的語文、數(shù)學成績都不低于學生乙,且其中至少有一門成績高于乙,則稱”學生甲比學生乙成績好”.如果一組學生中沒有哪位學生比另一位學生成績好,并且不存在語文成績相同、數(shù)學成績也相同的兩位學生,那么這組學生最多有()

A.2人 B.3人 C.4人 D.5人

賞析以上四道題目主要考查邏輯推理能力及分析問題、解決問題的能力.試題要求考生從文字語言中精確抽取有用的信息,加工信息,并利用各信息中的邏輯關系,通過邏輯推理,最終做出正確的判斷.

三、數(shù)學文化在教學中的建議

1.在知識引入部分注重體現(xiàn)數(shù)學文化.

知識的引入部分是體現(xiàn)數(shù)學文化的一個重要途徑,我們可以從多方面來體現(xiàn)數(shù)學文化,如:數(shù)學知識的發(fā)生、發(fā)展的背景,數(shù)學知識的應用、數(shù)學知識與社會發(fā)展的關系,與此知識相關的趣聞軼事,數(shù)學家的故事、精神,以及含有此知識的自然資源、人文遺產(chǎn)等.

2.借助數(shù)學文化突破教學難點.

如對高中函數(shù)的概念的教學,如果采取傳統(tǒng)的先給出定義,再舉例、練習強化的方式進行教學,往往效果不佳.教學中可以利用函數(shù)概念的發(fā)展史,從變量說引入,到對應說,到關系說,再合理應用一些特殊函數(shù)如符號函數(shù)和高斯函數(shù)等,可以幫助學生理解函數(shù)概念和本質(zhì),從而提升學生對學科本質(zhì)的認識.

3.在解題的過程中滲透數(shù)學文化,尤其是歷史上的數(shù)學名題.

數(shù)學名題和數(shù)學猜想是無數(shù)先賢細致思考和用心鉆研的結(jié)晶,它們無不很好的促進了數(shù)學的不斷前進.歷史上許多數(shù)學名題不僅能展現(xiàn)出其所在的歷史背景,且都展現(xiàn)著某些重要的思想方法和獨特的數(shù)學魅力.例如古希臘三大幾何問題、哥尼斯堡七橋問題、哥德巴赫猜想等.

4.善用教材中隱形數(shù)學文化知識進行拓展訓練.

當前教材中出現(xiàn)了許多高考數(shù)學文化命題素材來源題.如“阿波羅尼圓”、“回文數(shù)”、“三角形數(shù)”分別出現(xiàn)在人教版高中數(shù)學必修2第131頁習題4及必修3第51頁第3題和必修5第28頁的正文部分.因此,教師上課時要有意識地對這些數(shù)學文化素材或歷史名題進行拓展改編.比如根據(jù)布洛卡點的基本性質(zhì),就可以結(jié)合余弦定理、外森比克不等式和等比數(shù)列等知識拓展許多變式問題.

5.在課堂小結(jié)中注重體現(xiàn)數(shù)學文化.

課堂小結(jié)不僅僅是對知識點的總結(jié),更重要的是對數(shù)學思想方法的總結(jié),對數(shù)學應用價值的總結(jié).在課外閱讀中注重體現(xiàn)數(shù)學文化.教材的拓展性欄目提供了豐富的數(shù)學文化素材,教師應該引導學生閱讀、思考、操作,并注意從中引導、總結(jié)數(shù)學家的探索精神、理性精神、求實精神等數(shù)學精神,以及數(shù)學與社會發(fā)展、生活實際的聯(lián)系等.

數(shù)學作為一種文化,體現(xiàn)在數(shù)學的方方面面.教材相當重視數(shù)學文化,幾乎教材的每一部分都含有數(shù)學文化的內(nèi)容,我們教師應該主動去發(fā)掘開發(fā)這些內(nèi)容,并將數(shù)學文化與教學實踐有機地結(jié)合起來,使數(shù)學文化貫穿到教學實踐的全過程.這樣做,使數(shù)學史的應用深入到學生的認知層面,有利于培養(yǎng)學生的數(shù)學思維能力和數(shù)學問題意識.張奠宙教授指出:“數(shù)學史必須走進課堂,在實際教學中使得學生在學習數(shù)學的過程中真正感受到文化感染,產(chǎn)生文化共鳴,體會數(shù)學的文化品味和人情味.”