☉江蘇省宜興市第二高級中學 孫 立

美國著名數(shù)學家哈爾莫斯曾說過：問題是數(shù)學的心臟.對學生來說，各類考試題無疑是最熟悉的“問題”.如何提升學生的解題能力，是每位老師思考的重要課題.經(jīng)過理論和教學實踐證明，一題多解是提高解題能力的有效途徑.在呈現(xiàn)不同解法的同時，暴露思維過程，從而解題能力得以拓展與提升.

題目 如圖1，已知AC=2，B為AC的中點，分別以AB，AC為直徑在AC同側(cè)作半圓，M，N分別為兩半圓上的動點（不含端點A，B，C），且BM⊥BN，則的最大值為______.

圖1

分析：平面向量的數(shù)量積問題一直是高考、各類模擬題中的常見題型，涉及數(shù)量積的求解、最值的確定、參數(shù)的求值等問題，且往往難度較大.從哪些角度切入，如何正確破解此類問題，是處理此類問題的重點所在.

解法1：如圖2，以點B為坐標原點，線段AC所在的直線為x軸，線段AC的中垂線為y軸建立平面直角坐標系，可得A（-1，0），C（1，0）.

圖2

角度2：通過建立平面直角坐標系，設(shè)出直線BN的斜率為k（k＞0），結(jié)合相應(yīng)直線與圓的方程的聯(lián)立，確定對應(yīng)的點N、M的坐標，結(jié)合平面向量的坐標運算來處理轉(zhuǎn)化對應(yīng)的數(shù)量積，結(jié)合涉二次函數(shù)的取值范圍問題來確定對應(yīng)的最值即可.

解法2：如圖2，以點B為坐標原點，線段AC所在的直線為x軸，線段AC的中垂線為y軸建立平面直角坐標系，可得A（-1，0），C（1，0），

半圓AC的方程為x2+y2=1（y≥0），半圓AB的方程為

角度4：設(shè)出

圖3

角度6：結(jié)合條件，以BC為直徑在AC的同側(cè)畫出對應(yīng)的輔助半圓，這樣通過把向量轉(zhuǎn)化為一起，并設(shè)BD=t（0＜t＜1），結(jié)合平面向量的數(shù)量積的應(yīng)用轉(zhuǎn)化為含t的關(guān)系式，結(jié)合涉及t的二次函數(shù)在限定區(qū)間上的取值范圍問題來確定對應(yīng)的最值即可.

看似簡單的一道平面向量問題，其實認真分析，仔細探究，可以從不同角度展開來解決，也可以通過不同方式加以拓展深入，真正達到“認真解答一個題，拓廣解決一類題，變式深化一片題，思維能力一起高”的目的.其實，通過“一題多解”可以將這些主干知識進行“串聯(lián)”，同時“并聯(lián)”起數(shù)學思想方法和核心素養(yǎng)，開拓學生的解題視野，有效促進學生思維品質(zhì)的改善和創(chuàng)新發(fā)展能力的提升，使學生體驗到數(shù)學的樂趣，收獲成功的喜悅，增強學習數(shù)學的興趣和信心.F