☉福建省廈門大學(xué)附屬實驗中學(xué) 邱 云 劉金亮

一、專題復(fù)習(xí)課現(xiàn)狀

高三第二輪專題復(fù)習(xí)時間緊、任務(wù)重、起點高、容量大、單調(diào)、沉悶、拖課是普遍課堂現(xiàn)象.“課前布置專題練習(xí)，做好熱身訓(xùn)練；分析往年高考考情，歸納命題熱點；精講高考模擬試題，強調(diào)規(guī)范答題；提煉數(shù)學(xué)思想方法，總結(jié)題型特征”這“四步走”是教學(xué)操作的常態(tài).從瞄準(zhǔn)高考靶心、突破難點的角度看，課堂看似飽滿.但因老師“滿堂灌”，加之知識綜合性強，學(xué)生在被動聽講中缺少了獨立思考的時間和空間，缺少了思維的交流與碰撞，課堂呈現(xiàn)四個弊端：教師講得辛苦，學(xué)生聽得疲憊，課堂缺乏生機；“知識、題型、經(jīng)驗”等復(fù)習(xí)所得理解體會不深，易出現(xiàn)講過、做過但還是出錯的現(xiàn)象；過于注重復(fù)習(xí)的綜合性，忽視基礎(chǔ)性、探究性和創(chuàng)造性；缺少課后作業(yè)設(shè)計，課堂“精華”得不到有效鞏固和內(nèi)化.

在專題復(fù)習(xí)中如何讓不同層次的學(xué)生滿懷激情、學(xué)有所悟、提升素養(yǎng)，值得研究.不久前，筆者在高三復(fù)習(xí)研討課上，嘗試了開放式專題復(fù)習(xí)方式.以期用數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)指揮課堂，實現(xiàn)專題復(fù)習(xí)從“知識、題型”向“能力、素養(yǎng)”轉(zhuǎn)變，從“講授、經(jīng)驗”課堂向“智慧、生成”課堂轉(zhuǎn)變.

二、開放式教學(xué)實踐

課例：與橢圓有關(guān)的最值問題

1.依綱據(jù)本，謀篇布局

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》（以下簡稱課標(biāo)）要求：掌握橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及簡單性質(zhì)；通過圓錐曲線的學(xué)習(xí)，進一步體會數(shù)形結(jié)合思想.《全國統(tǒng)一考試大綱》要求：掌握橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及簡單性質(zhì)，理解數(shù)學(xué)的思想.本節(jié)課復(fù)習(xí)橢圓中的最值問題，知識交匯多樣，解題方法靈活，對邏輯推理和數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)要求較高，是學(xué)生普遍畏難的考點.如果單刀直入復(fù)習(xí)“綜合性最值問題”，那么橢圓的定義、方程及其幾何性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，以及弦長、夾角等常規(guī)最值問題就會被疏遠(yuǎn).如果重復(fù)羅列一遍橢圓的知識點，再講綜合性最值問題，又顯得瑣碎乏味，散而不專，不利于學(xué)生集中精力復(fù)習(xí)難點.于是，筆者設(shè)計了以“橢圓最值”為統(tǒng)領(lǐng)的開放問題，“形散神不散”開展教學(xué).預(yù)設(shè)教學(xué)方案如下：

如圖1，已知F1，F(xiàn)2是橢焦點，P為橢圓E上的一個動點.請?zhí)岢霾⒔鉀Q三個以上與橢圓有關(guān)的最值問題.

因為經(jīng)過第一輪復(fù)習(xí)，學(xué)生已初步建立橢圓的知識體系.預(yù)計學(xué)生能提出以下四個問題：

（1）∠F1PF2的最大值；

（2）△F1PF2面積的最大值；

（3）焦半徑|PF1|的最大值和最小值；

（4）過點F2的焦點弦PP′的最值.

圖?

圖?

等學(xué)生提完問題后，教師簡單歸納、點撥，然后引出本節(jié)課的難點——“四邊形面積的最值”：

引導(dǎo)學(xué)生分析問題，師生一起優(yōu)化思路.

思路1：設(shè)直線方程為y=kx，點E，F(xiàn)到直線AB的距離分別為d1，d2，則四邊形AEBF的面

思路2：設(shè)點A，B到直線EF的距離為h1，h2，則四邊形

2.放飛思維，構(gòu)建體系

開放問題拋出后，學(xué)生非常興奮，一會兒互相質(zhì)疑，一會兒互相補充，疑惑著，領(lǐng)悟著，快樂著，享受著.獨立思考，小組合議后，分組展示學(xué)生成果.通過觀察圖形、分析橢圓方程特征，同學(xué)們很快提出并解決了預(yù)設(shè)中的問題（1）至（4），還出乎意料地提出以下三個最值問題：

（6）橢圓內(nèi)接矩形PQMN面積的最大值.

（7）T為橢圓外一定點，求（|PF1|+|PT|）的最值.

（8）過橢圓內(nèi)一點作兩條互相垂直的直線，交橢圓于A，C，B，D四點，求四邊形ABCD面積的最值.

對角線互相垂直的四邊形是預(yù)設(shè)練習(xí)內(nèi)容.學(xué)生能提出這樣有價值的問題，說明課前有較深入、全面的自主復(fù)習(xí).

這個最值問題的“含金量”不亞于老師預(yù)設(shè)的問題（5）.筆者于是及時改變教學(xué)方案，決定和學(xué)生一起探究問題（8）.

3.收放有度，突出重點

四邊形面積的最值問題是本節(jié)課的研究重點.教師要抓住“主線”，收放有度駕馭課堂，引導(dǎo)學(xué)生聚焦疑難問題，不讓思維的風(fēng)箏漫天飛舞，使學(xué)生通過對難點問題的探求，提升元認(rèn)知監(jiān)控水平，發(fā)展理性思維和數(shù)學(xué)運算能力，積累分析和解決綜合問題的活動經(jīng)驗.

探究運算思路：當(dāng)直線斜率存在時，設(shè)直線l1：y=kx，

學(xué)生提出兩種意見：

先換元：令t=k2+1或直接變

讓學(xué)生根據(jù)經(jīng)驗自主展開代數(shù)運算和推理，通過類比算法，掌握運算法則，理解運算對象，發(fā)展運算素養(yǎng).

分享解題體會：運算程序相同的幾何元素，靈活運用整體代換，減少重復(fù)計算；將“最值”問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)值域問題，關(guān)鍵是選準(zhǔn)自變量，構(gòu)建函數(shù)關(guān)系式，難點是化簡關(guān)系式；齊次分式函數(shù)的化簡通常有兩個方向：全化為根式，再對被開方式分離常數(shù)或構(gòu)造二次函數(shù)；先換元，轉(zhuǎn)化為較簡單的分式函數(shù)，再用均值不等式或函數(shù)法求最值.

及時鞏固，體驗成功：讓學(xué)生獨立思考、規(guī)范解答預(yù)設(shè)問題（5），學(xué)以致用求解一般四邊形面積的最值問題.

4.問題延伸，課后鞏固

課標(biāo)指出：“要豐富作業(yè)形式，提高作業(yè)的質(zhì)量，提升學(xué)生完成作業(yè)的自主性、有效性.”解析幾何綜合題的特點是：想一想有思路，算一算被堵住，入手容易推進難；課堂上聽一聽都懂，同樣題型考試時還是半懂不懂.因此，在“面積最值”等綜合性問題的分析、解決中，只有真正明晰算理、厘清知識的來龍去脈，才能領(lǐng)悟問題的本質(zhì)，掌握解決問題的要領(lǐng).“課堂聽來終覺淺，絕知此事要躬行”.有效設(shè)計課后作業(yè)，對鞏固課上學(xué)習(xí)所得不可或缺.

思考：2014年高考全國卷Ⅰ第20題第（Ⅱ）問.自主研究“三角形最值問題”，多角度體驗函數(shù)思想、化歸思想的運用及化繁為簡求最值的原理.

三、課后訪談

為了解學(xué)生的上課感受，評估教學(xué)效果，筆者課后訪談了不同數(shù)學(xué)水平的同學(xué).以下是有代表性的真實感言.

學(xué)生1：這種開放式討論的復(fù)習(xí)方式讓我能更全身心地投入課堂，給我更充分的空間和時間用于自我發(fā)散和聽取他人見解，讓我對圓錐曲線的最值問題有更全面、多維度的了解.例如同學(xué)提出的“求橢圓內(nèi)接矩形的面積最大值”問題.同學(xué)們分別提出了普通方程和參數(shù)方程解法，讓我對這類問題有了更綜合性的體悟.這種授課方式打破了數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課枯燥、單一的氛圍，能讓人在激情與快樂中回顧并鞏固“故”，發(fā)現(xiàn)“新”.我收獲頗豐，很享受這樣的上課方式.

學(xué)生2：清脆的下課鈴響了，我卻仍沉浸在“面積最值問題”的思考中.課堂上，老師拋出問題，同學(xué)們各抒己見，師生合力歸納出“從角度到弦長，到面積”的最值問題及其求解辦法.我在不知不覺中被引入高速的思維運轉(zhuǎn)中，不斷思考，不斷前行……同學(xué)們在老師的啟發(fā)下，積極主動地解決一個又一個問題，加深了對知識的記憶和理解，原本混亂的“最值知識體系”厘清不少.尤其是課上提到的“化歸思想、換元方法”激發(fā)了我的新靈感，對解析幾何更有信心了.

學(xué)生3：大家在思考最值問題時，思維不斷發(fā)散，由淺及深，分析已知量，尋找最適方法，建立與未知量的聯(lián)系.將這些最值問題類比、聯(lián)想，歸納出常規(guī)方法，完善思維框架.最開心的是，老師與我們交互提問，共同解惑，互動時的氛圍給人以深思、探索的欲望.同學(xué)提出的用定義法確定動點P，求“|PF1|+|PT|”的最大值，印象最為深刻.

四、教學(xué)反思

1.激活復(fù)習(xí)教學(xué)，煥發(fā)課堂生機

進入“深水區(qū)”的專題復(fù)習(xí)，若教學(xué)方式單一，加之高考臨近帶來的心理焦慮，則學(xué)生思維的創(chuàng)造性與活力難以激發(fā)，復(fù)習(xí)難以高效.如何調(diào)動熱情？如何激發(fā)思考？如何取舍有度？如何少講精練？如何講準(zhǔn)練透？讓復(fù)習(xí)課煥發(fā)生機，讓解題教學(xué)理想高效，讓數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)悄然落地，對老師的專業(yè)水平和教學(xué)智慧是個挑戰(zhàn).

本課采用的開放式專題復(fù)習(xí)，盡力把課堂還給學(xué)生，讓學(xué)生主動提取信息，經(jīng)歷提出問題、互相質(zhì)疑、解決問題、完善知識、領(lǐng)會方法的歷程，讓學(xué)生在溫故知新中不斷思考、不斷前行，是使課堂回歸智慧本色的一種嘗試.正如學(xué)生1所言：“我收獲頗豐.”

2.緊扣核心知識，優(yōu)化開放教學(xué)

問題開放解題教學(xué)模式，可以培養(yǎng)學(xué)生探究問題、解決問題的綜合能力，發(fā)展學(xué)生的直覺思維能力，因而在教學(xué)中應(yīng)充分發(fā)揮學(xué)生的主動探求的熱情，在活動中達(dá)到知識建構(gòu)的目的.專題復(fù)習(xí)是知識和能力指向性很強的教學(xué)，問題雖可開放設(shè)計但要指向考綱，允許學(xué)生提出多樣問題但要合理篩選.重點研究的問題，應(yīng)緊扣核心知識.課前，教師要鉆研教材、研讀課標(biāo)、研究考題、了解學(xué)情，對所要復(fù)習(xí)的專題涉及的數(shù)學(xué)知識、方法、思想了然于胸，才便于抓住要領(lǐng)駕馭課堂，實施有效教學(xué)，培育核心素養(yǎng).

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的形成和發(fā)展是在教師的啟發(fā)和引導(dǎo)下，學(xué)生通過自己的獨立思考，或者與他人交流，最終自己“悟”出來的，是一種逐漸養(yǎng)成的思維習(xí)慣和思想方法.因此在教學(xué)活動中，精心設(shè)計合適的教學(xué)方案就非常重要.在本課例中，學(xué)生提出的問題（6）、（7），雖然讓學(xué)生重溫了橢圓參數(shù)方程及定義的靈活運用，展現(xiàn)了學(xué)生思維的開闊性，但課堂上花了不少時間進行推理論分式函數(shù)式的化簡訓(xùn)練會更充分，數(shù)學(xué)運算與邏輯推理素養(yǎng)的課堂落實會更到位，“好”問題的綜合效果可能會更好.

3.立足“四基”“四能”，培養(yǎng)核心素養(yǎng)

《課標(biāo)》強調(diào)，教師應(yīng)結(jié)合相應(yīng)的教學(xué)內(nèi)容，落實“四基”，培養(yǎng)“四能”，促進學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的形成和發(fā)展.“四基”是培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的沃土.教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生理解基礎(chǔ)知識，掌握基本技能，感悟數(shù)學(xué)基本思想，積累數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗，促進學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的不斷提升.

開放式復(fù)習(xí)教學(xué)，讓不同水平的學(xué)生在“四基”“四能”上得到不同的展示和發(fā)展.課例中，常見線段、角度、三角形面積的最值，正是分析、求解綜合問題的基礎(chǔ)；在“最值”問題的探求中，配方、分離常數(shù)、整體代換等代數(shù)運算，畫圖分析、幾何直觀等推理判斷，是解決復(fù)雜問題的基本技能；將四邊形面積轉(zhuǎn)化為三角形面積、弦長問題，運用函數(shù)思想求最值，是常用的重要數(shù)學(xué)思想；研究四邊形問題，先從邊、角、對角線判斷是否為特殊四邊形，如果不特殊，可分解為三角形加以研究，是解題實踐中總結(jié)的活動經(jīng)驗.教學(xué)設(shè)計和實施要立足“四基”“四能”，以生為本做實學(xué)與教的每個環(huán)節(jié)，注重對學(xué)生學(xué)習(xí)行為和思維過程的評價激勵，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)便會在學(xué)習(xí)實踐中悄然發(fā)展.

心理學(xué)家布魯納曾指出：“教學(xué)過程是一種提出問題與解決問題的持續(xù)不斷的活動.”專題復(fù)習(xí)教學(xué)亦如此.李尚志教授認(rèn)為，核心素養(yǎng)不是另外貼的標(biāo)簽，而是在教學(xué)過程中自然而然“潤物無聲”.教無定法，只要課堂教學(xué)緊緊圍繞學(xué)習(xí)目標(biāo)，指向核心素養(yǎng)，讓學(xué)生積極思考，勇于探究，大膽表達(dá)，樂于交流，復(fù)習(xí)課也可精彩紛呈、綻放智慧.證，某種程度上沖淡了對“面積最值”通性通法的學(xué)習(xí).如果將這兩個“好”問題留做課后思考，對形如“S=