楊澤文，賈鶴鳴，宋文龍，朱傳旭，呂 帥

(1.東北林業(yè)大學機電工程學院，黑龍江哈爾濱 150040； 2.哈爾濱工程大學自動化學院，黑龍江哈爾濱 150000)

植物工廠是一種可以使作物高效產出的現(xiàn)代化新型農業(yè)系統(tǒng)，通過機械設備對其內部的環(huán)境進行控制，以達到農作物的最適生長條件[1-5]。植物工廠可以節(jié)約利用現(xiàn)有土地，保證農作物品質，節(jié)省勞動力，是目前解決資源匱乏的重要工具。其應用場景廣泛，可以建設在土壤貧瘠的地帶、樓宇之間、航天設備之中等[6-10]。

當前是我國農業(yè)發(fā)展最快的時期，一些高等學府、研究院以及與農業(yè)相關的企業(yè)、公司進行了大量的科學試驗，作了深入的學術研究，并取得了突破性進步。但對于植物工廠方面的研究，我國起步相對較晚[11-13]。針對植物工廠環(huán)境數(shù)學動態(tài)模型的建立，目前很少有基于能量角度來建立各個物理量平衡關系的研究。過去幾十年，關于植物工廠環(huán)境控制方面的研究成果大量涌現(xiàn)，各種控制策略和控制技術被應用，如比例、積分、微分(proportion-integral-derivative，簡稱PID)控制、模糊控制、神經網絡控制等[14-19]。但關于溫室控制系統(tǒng)的研究多集中在對各種環(huán)境因子的控制方面，并沒有考慮對植物工廠運行費用的控制。

本研究深入探討植物工廠環(huán)境的容量變量與強度變量，并基于能量角度抽象出閉環(huán)控制系統(tǒng)中的各個通量，建立其平衡關系。利用最優(yōu)控制相關理論，建立數(shù)學動態(tài)模型。植物工廠的建設與運行必須考慮各種環(huán)境因子的優(yōu)化整合，優(yōu)選成本低、效果好的控制過程，以使控制成本達到最優(yōu)。采用最優(yōu)控制中的非線性規(guī)劃(nonlinear programming，簡稱NLP)方法，針對植物工廠運行費用與作物收益的關系，設計能使成本最優(yōu)(用最少的投入在最短的時間內獲得最大的收益)的控制器。

1 通量、信息流的選擇與建立

1.1 植物工廠與作物的關系

不同植物工廠的模型可能會有所不同，但基于能量角度和整體平衡關系描述植物工廠系統(tǒng)的手段是通用的。將植物工廠與作物系統(tǒng)中的能量、質量、物質之間的關系抽象出來，可以得到它們之間的關系，如圖1所示。

圖1中，u表示控制變量；ω表示外界環(huán)境變量；X是容量變量，取決于系統(tǒng)的大小，變量X工廠表示植物工廠存儲的與能量相關的容量信息，變量X作物表示作物保存的與質量相關的容量信息；變量I代表通量，例如，I內-工廠代表從內部設備轉移到植物工廠的通量，包含熱量、CO2濃度等強度信息，相反，I工廠-內代表植物工廠轉移到內部設備的通量。

圖1中的實線代表能量、水、碳物質等變量，虛線代表信息量的流通。(1)代表植物工廠內部設備控制信息，例如加熱設備的控制信息、CO2設備的控制信息等；(2)代表種植者對植物工廠的操作信息，例如加熱溫度的設置等；(3)代表植物工廠外部設備控制信息，例如窗戶的開關等；(4)代表植物工廠對內部設備反饋的相關狀態(tài)信息，例如植物工廠的溫度、CO2濃度等；(5)代表植物工廠對外部設備反饋的相關狀態(tài)信息，例如植物工廠的空氣濕度等；(6)代表植物工廠的狀態(tài)信息，例如植物工廠的溫度、CO2濃度、空氣濕度等；(7)代表作物的自身狀態(tài)信息，例如植物的干質量等；(8)代表對作物進行操作的信息，例如收取作物的質量、消除雜物的質量等信息；(9)代表外界環(huán)境與內部設備相關的信息，例如外界的溫度、光照度等；(10)代表外界環(huán)境與外部設備相關的信息，例如外界的風速、空氣濕度等。

1.2 植物工廠系統(tǒng)中通量的平衡關系

在植物工廠-作物系統(tǒng)中，質量與能量平衡關系的表現(xiàn)形式如下：

(1)

(2)

由于通量變化取決于強度變量而不是容量變量，因此基于強度變量角度建立系統(tǒng)模型更為可行。能量和質量的容量變量與強度變量的關系可以被描述為

X=Mx。

(3)

式中：矩陣M=[mij][i、j∈(1,2,…,n)]代表容量系數(shù)；x代表系統(tǒng)中的強度變量。

將公式(3)展開可得：

(4)

其中，第i個容量變量等于第ij個系數(shù)乘以第j個強度變量相加的和。

原則上，容量變量可以是強度變量的函數(shù)。對公式(4)求導可得：

(5)

令：

(6)

可以得到：

(7)

(8)

(9)

由于變量I與強度變量相關，因此可以將公式(8)、公式(9)表達為函數(shù)形式，其一般非線性變量函數(shù)分別為

(10)

(11)

式中：f工廠為關于植物工廠的變量函數(shù)；f作物為關于作物的變量函數(shù)；輸入量為控制變量u和外界環(huán)境變量ω。

2 植物工廠溫度的最優(yōu)控制模型

任何系統(tǒng)的最優(yōu)控制都基于2個方面進行設計考慮，即以數(shù)學模型為基礎和以1個數(shù)學成本最大值(最小值)函數(shù)為基礎。實際問題是要求植物工廠利益最大化，因此成本函數(shù)的數(shù)值代表收益的多少，必須使其達到最大值。收益等于售賣作物所獲得的費用減去維持植物工廠環(huán)境的必要花費。植物工廠與作物的數(shù)學動態(tài)模型如下：

(12)

(13)

由公式(12)可知，作物質量與光照度和溫度成正比。公式(13)闡述的是外界溫度與植物工廠溫度的關系，從植物工廠加熱系統(tǒng)獲得的熱量輸入用K表示。通過提高溫度、提供光照能促進作物質量的增加，但提高溫度會消耗能量，因此對溫度的控制須要進行權衡。在沒有光照的條件下，不須要加熱，因為植物在沒有光照的條件下會停止生長，因此加熱將失去意義。

成本方程J代表利潤，其具體計算公式為

(14)

為分析和解決最優(yōu)控制問題，采用狀態(tài)空間的一般形式表達植物工廠系統(tǒng)。首先通過公式(12)、公式(13)來描述系統(tǒng)的狀態(tài)變量。狀態(tài)變量通常用符號x表示。則

x1=U，x2=T。

(15)

公式(12)、公式(13)除常數(shù)外的其他自變量都被叫作輸入變量或輸入。2種輸入類型分別是可控的控制輸入與由外界環(huán)境變量決定的外界輸入?？刂谱兞坑胾表示，由于加熱可以被控制，因此，

u1=K。

(16)

外界輸入用符號ω代表，因此，

ω1=L，ω2=T外。

(17)

系統(tǒng)模型可以表達為

(18)

(19)

引入變量：

(20)

則公式(19)、公式(20)可以用下式進行表達：

(21)

用一般的函數(shù)表達公式(21)為

(22)

其中，

(23)

式中：變量x,u,c,ω可以是任意維數(shù)，且變量函數(shù)f(x,u,c,ω)也可以是任意維數(shù)，因此公式(23)是一般通用狀態(tài)空間表達形式。在狀態(tài)空間形式中定義系統(tǒng)的初始狀態(tài)U(t0)、T(t0)，表示為

(24)

通過確定變量函數(shù)f(x,u,c,ω)和變量x(t0)，可以分別確定系統(tǒng)和初值。

在最優(yōu)控制中經常假定成本函數(shù)是最小值而不是最大值。通過顛倒成本函數(shù)的符號(正負號)，用最大值替換最小值，將成本公式變成最小值形式：

(25)

為表達成本函數(shù)取決于控制輸入曲線u(t),t0≤t≤tf，成本函數(shù)J經常被寫作f[u(t)]。令：

Φ[x(tf)]=-c4x1(tf)；

(26)

L(x,u,c,ω)=c5u1。

(27)

則公式(25)可被寫為

(28)

公式(28)是成本核算公式的一般表達形式，Φ[x(tf)]、L(x,u,c,ω) 是標量函數(shù)，其中Φ[x(tf)]取決于系統(tǒng)獨立的最終狀態(tài)x(tf)，被定義為植物工廠收益；L(x,u,c,ω)代表從初始時刻t0至最終時刻tf植物工廠的運行費用，被定義為運行成本。

3 非線性規(guī)劃兩點邊值問題

將溫度控制的最優(yōu)控制問題轉化為可以用非線性規(guī)劃方法求解的形式。非線性規(guī)劃方法問題的一般形式為

minf(x)
s.t.hi(x)=0(i=1,2,…,n)；
gj(x)≥0(j=1,2,…,m)。

(29)

式中：f(x)為目標函數(shù)，可以是線性函數(shù)，也可以是非線性函數(shù)；hi(x)是等式約束函數(shù)；gj(x)是不等式約束函數(shù)。約束函數(shù)也可以是非線性函數(shù)。

(30)

并滿足線性等式約束：0≤u≤20。

4 仿真試驗與結果分析

基于植物工廠的溫度控制模型，利用Matlab軟件進行 24 h 全天仿真試驗。

tf=24，Φ[x(tf)]=-c4x1(tf)，

采用非線性規(guī)劃對植物工廠溫度的最優(yōu)控制進行仿真試驗。為更清晰直觀地表達變量之間的關系，將變量的數(shù)值進行適當比例的縮小。從圖2可以看出，控制器可以得到期望的控制，即當光照度和外界溫度適宜時，加熱量達到最大，可以在保證作物生長溫度適宜的條件下，在無光照時停止加熱，以節(jié)省植物工廠運行的費用。從圖3可以看出，狀態(tài)變量x1隨著時間的延長是逐漸上升的，說明作物的干質量在控制器的控制下是逐漸增加的，可以保證在運行成本最小的情況下保證收益的最大化。從圖4可以看出，在6 h附近植物工廠內部的溫度開始升高，停止加熱時溫度降為0 ℃。

5 結論

本研究針對植物工廠與作物系統(tǒng)建立關于能量的系統(tǒng)模型，并確定各個通量間的平衡關系。利用最優(yōu)控制相關理論，在考慮作物收益的同時，將植物工廠的運行費用加入計算之中，使植物工廠與作物系統(tǒng)的收益最大化。本研究在考慮加熱成本、植物工廠內外溫度以及光照條件等因素的情況下，對加熱量進行控制。利用Matlab進行仿真試驗并得出理想的溫度控制律，且證明該控制律可以使植物工廠整體收益隨時間的延長逐漸增加，具有較高的應用前景和工程實用價值。