劉仁彬

摘 要：本文基于本科應(yīng)用隨機過程課程教學(xué)中授課教師講什么、如何講的問題，結(jié)合該課程的知識點和講授實踐，就本科應(yīng)用隨機過程的授課問題進行了深入的思考和探索。

關(guān)鍵詞：應(yīng)用隨機過程 教學(xué)效果 講授內(nèi)容 講授方式

中圖分類號：G642 文獻標(biāo)識碼：A 文章編號：1672-3791（2018）02（a）-0147-02

《應(yīng)用隨機過程》是本科生學(xué)習(xí)《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》課程后即將開設(shè)的一門后繼課程。它的基本知識和方法，不僅為數(shù)學(xué)、概率統(tǒng)計專業(yè)所必需，也為工程技術(shù)、電子信息及經(jīng)濟領(lǐng)域的應(yīng)用與研究所需要。 因此，隨機過程的理論、方法和應(yīng)用越來越受到人們的重視，高等院校的學(xué)生、工程技術(shù)人員、金融工作者，更迫切地需要學(xué)習(xí)和掌握隨機過程的知識。

但是本科學(xué)生習(xí)慣了確定性現(xiàn)象的研究思維和研究方法，對以研究不確定現(xiàn)象為對象的應(yīng)用隨機過程課程，感覺理論抽象、公式繁瑣，例題聯(lián)系廣泛，理解、接受和應(yīng)用起來難度很大。另一方面，大多數(shù)高校都把這門課程列為選修課，課時較短（我校統(tǒng)計專業(yè)是40學(xué)時，數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)是32學(xué)時，全校選修課是32學(xué)時）。面對這樣的局面，如何在有限的教學(xué)時間內(nèi)實現(xiàn)理想的教學(xué)效果，讓學(xué)生理解抽象的概念、掌握定理結(jié)論并應(yīng)用到實際問題中去分析問題和解決問題，克服學(xué)生的恐懼畏難情緒，使學(xué)生的被動學(xué)習(xí)轉(zhuǎn)變?yōu)橹鲃訉W(xué)習(xí)，最終實現(xiàn)教學(xué)中學(xué)生為主體老師為主導(dǎo)，這不僅要求學(xué)生勤奮努力，更對授課教師提出了較高的要求。講什么？如何講？這是授課教師繞不開的一個主題。 作者結(jié)合講授應(yīng)用隨機過程多年的實踐和體會，進行了如下的思考和探索。

1 對一些概念，講清楚引入它們的原因或作用

在應(yīng)用隨機過程的教學(xué)中，經(jīng)常出現(xiàn)的一種現(xiàn)象是，授課教師直接給出一些抽象的概念，隨后理論上證明一些定理結(jié)論，再講解一些例題。學(xué)生不理解引入這些概念有什么用，為什么需要這些概念，僅僅停留在被動學(xué)習(xí)的不利地位，完全是因為考試而學(xué)習(xí)。如果講清楚概念引入的原因或作用，將有利于學(xué)生加深對概念的理解和掌握。比如，引入事件域σ代數(shù)）這一概念時，可以實數(shù)集的運算封閉性來談事件域引入的原因。因為實數(shù)集具有良好的運算封閉性，即實數(shù)的加、減少、乘、除、乘方、開方仍是實數(shù)，使得其上建立的函數(shù)具有良好的性質(zhì)。同樣地，為了更好地研究事件概率，需要在事件構(gòu)成的集合（集類）上定義一個具有良好性質(zhì)的函數(shù)（概率），這就要求這個事件構(gòu)成的集類對集合的運算具有良好的封閉性，即這個集類的集合經(jīng)并、交、差、對立事件等運算后仍屬于這個集合。這樣的集類稱為事件域，從而很自然地給出事件域概念，加深了學(xué)生的理解。由于事件域?qū)κ录\算具有良好的封閉性，使得其上建立的函數(shù)（概率）具有良好的性質(zhì)，再講授概率的幾條性質(zhì)就很自然了；又比如，為了更好的表示事件，特別是表示一些復(fù)雜事件，概率論在樣本空間上定義一個函數(shù)，用它的函數(shù)值來表示事件，這個函數(shù)就是隨機變量，從而引出隨機變量的概念。再比如，對任意實數(shù)和樣本空間，由于，，所以要求隨機變量X取值表示的事件概率，只需對任意實數(shù)x，求事件的概率，而是x的函數(shù)，稱為X的分布函數(shù)，這樣就說明了引入分布函數(shù)的原因。

2 對相關(guān)聯(lián)的隨機過程，講清楚它們的區(qū)別和聯(lián)系

在應(yīng)用隨機過程課程中，有些隨機過程之間是相關(guān)聯(lián)的，講清楚它們之間的區(qū)別和聯(lián)系，可以讓學(xué)生理解更透徹。比如，對嚴(yán)平穩(wěn)過程和寬平穩(wěn)過程來說，它們的均值函數(shù)和方差函數(shù)存在時均為常數(shù)，而自相關(guān)函數(shù)和協(xié)方差函數(shù)均為時間間隔的一元函數(shù)。但嚴(yán)平穩(wěn)過程不一定是寬平穩(wěn)過程，反之一樣，也存在既不是嚴(yán)平穩(wěn)又不是寬平穩(wěn)的隨機過程。具體例子如下：（1）對其密度函數(shù)為，則是嚴(yán)平穩(wěn)過程，但不存在，所以不是寬平穩(wěn)過程；（2）對，因為對有，即該隨機過程的一維分布函數(shù)隨時間平移改變，所以該過程不是嚴(yán)平穩(wěn)過程。但由于均值函數(shù)，協(xié)方差函數(shù)只與時間差有關(guān)，

且二階矩，故該過程為寬平穩(wěn)過程。但對，因是t的函數(shù)，故該過程既不是嚴(yán)平穩(wěn)過程又不是寬平穩(wěn)過程。由上述關(guān)系可知，當(dāng)嚴(yán)平穩(wěn)過程也是二階矩過程時必為寬平穩(wěn)過程。另外，理論上可以證明，對正態(tài)過程（Gauss過程）而言，嚴(yán)平穩(wěn)過程等價于寬平穩(wěn)過程。

3 對具有多個定義的隨機過程，明確它們各自的使用范圍

對隨機過程的多個等價定義，講清楚它們各自的使用范圍，對它們的具體應(yīng)用是有益的。比如，泊松過程具有如下三個等價定義：

定義1稱計數(shù)過程N（t）為參數(shù)為的泊松過程，如果（1）N（0）=0；（2）過程有獨立增量；（3）。

定義2 計數(shù)過程為參數(shù)為的泊松過程，如果（1）N（0）=0；（2）過程具有平穩(wěn)獨立增量性；（3）對充分小的正數(shù)；（4）對充分小的正數(shù)。

定義3 稱計數(shù)過程N（t）為參數(shù)為的泊松過程，如果某事件A發(fā)生的間隔時間序列獨立均服從參數(shù)的指數(shù)分布。

一般，定義1和3常在理論計算和證明中使用，定義2通常在實際問題中用來判斷某個隨機過程是否可近似為泊松過程。

4 對實際工程中常用到的隨機過程，盡量多結(jié)合一些實際案列，突出它們的應(yīng)用價值

結(jié)合一些實際案例去理解抽象的隨機過程，對理論上理解和實際中運用有很大的幫助。比如，一段時間內(nèi)，到某商場購物的顧客數(shù)；經(jīng)過公路某路口的汽車數(shù)；保險公司接到的索賠數(shù)；細胞中染色體的交換數(shù)；計數(shù)器上的粒子流和炮彈的彈著點等等，都可以近似看成泊松過程。又比如，一臺機器上某種型號的零件發(fā)生故障后立即換上同型號的新零件，則一段時間內(nèi)換下的零件近似為一個延遲更新過程；再比如，昆蟲沿著一個三角形三條邊在三個頂點間爬行，且以相同的概率爬向相鄰的頂點，則某時刻昆蟲所在的頂點位置是一個時齊鏈；還有上鞅、下鞅和鞅可以描述有利、不利和公平賭博等等例子。

5 對一些抽象難懂的隨機過程，運用數(shù)學(xué)軟件進行動態(tài)演示

有一些隨機過程教材上只給出了抽象的定義，如用傳統(tǒng)的講授方法，學(xué)生不易理解和接受，也無法明白其應(yīng)用價值。比如教材上理論推導(dǎo)了隨機游動的極限過程就是布朗運動，用標(biāo)準(zhǔn)布朗運動定義了漂移布朗運動和布朗橋，比較抽象，學(xué)生也難于理解“漂移”和“橋”的特征，如果借助數(shù)學(xué)軟件編程在多媒體上進行演示，則通過對時間的無限分割可以讓學(xué)生看到用隨機游動逼近布朗運動的這個過程，相比傳統(tǒng)的講授更容易讓學(xué)生接受。通過對比讓學(xué)生對漂移布朗運動中“漂移”有更加形象直觀的認識。通過圖像的實現(xiàn)可直觀地講解為什么這樣的過程稱為“橋”。對具體如何編程實現(xiàn)上述教學(xué)效果，可參考文獻。

隨機過程是一門高度抽象應(yīng)用廣泛的新學(xué)科，隨著各領(lǐng)域新問題的出現(xiàn)和新的數(shù)學(xué)知識的引入，其發(fā)展是與時俱進的。在講授隨機過程課程時，既要通曉各領(lǐng)域相關(guān)的實際例子，又要深入淺出地講清楚抽象的理論知識，講什么？怎樣講？需要授課教師不斷實踐、探索和積累，只有這樣，才能實現(xiàn)該課程的應(yīng)用型人才培養(yǎng)目標(biāo)。

參考文獻

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