采用數(shù)值方法模擬了強(qiáng)弱兩種阻尼條件下傳熱遲滯時(shí)間對一維Rijke管熱聲系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響,發(fā)現(xiàn)Rijke管系統(tǒng)存在穩(wěn)定性切換現(xiàn)象.在推導(dǎo)了無量綱形式的管內(nèi)聲波動量方程和能量方程之后,利用Galerkin方法對控制方程進(jìn)行展開并在時(shí)間域內(nèi)數(shù)值求解.分析了強(qiáng)阻尼和弱阻尼條件下,給定熱源的Rijke管熱聲振蕩的穩(wěn)定性與傳熱遲滯時(shí)間的關(guān)系.結(jié)果顯示:在兩類阻尼條件下,持續(xù)增大傳熱與速度的遲滯時(shí)間,系統(tǒng)均呈現(xiàn)出穩(wěn)定性切換現(xiàn)象,即系統(tǒng)在穩(wěn)定和不穩(wěn)定兩個(gè)狀態(tài)間持續(xù)轉(zhuǎn)變;但弱阻尼系統(tǒng)的不穩(wěn)定區(qū)域?qū)捰趶?qiáng)阻尼系統(tǒng)的不穩(wěn)定區(qū)域,系統(tǒng)最大振幅相對增大,且系統(tǒng)熱聲振蕩的主模態(tài)在不同模態(tài)之間發(fā)生轉(zhuǎn)換.最后,通過求解系統(tǒng)各階模態(tài)極限環(huán)幅值隨傳熱遲滯時(shí)間的變化,發(fā)現(xiàn)Rijke管熱聲振蕩穩(wěn)定性切換現(xiàn)象與遲滯時(shí)間存在近似周期性關(guān)系.

1 引 言

熱聲振蕩是指燃?xì)廨啓C(jī)和航空發(fā)動機(jī)等設(shè)備由于不穩(wěn)定熱釋放與壓力脈動耦合作用導(dǎo)致的低頻大振幅自激振蕩現(xiàn)象,通常還伴隨高分貝的低頻噪音.以燃燒領(lǐng)域?yàn)槔?在燃?xì)廨啓C(jī)、燃?xì)獍l(fā)動機(jī)、固體火箭發(fā)動機(jī)等燃燒器中,當(dāng)火焰面的熱釋放脈動與燃燒室的聲場之間形成正反饋機(jī)制時(shí),就可能引發(fā)強(qiáng)烈的熱聲振蕩.這種不必要的振蕩常帶來噪音、熄火、工作點(diǎn)偏移和污染物排放等問題,對燃燒設(shè)備的安全和高效運(yùn)行造成影響.另一方面,合理地利用熱聲現(xiàn)象,可制造熱聲發(fā)動機(jī)、熱聲驅(qū)動脈沖管制冷機(jī)等熱聲轉(zhuǎn)換設(shè)備,該類設(shè)備結(jié)構(gòu)簡單,可靠性高、壽命長且環(huán)保性高,其相關(guān)研究引起了越來越多的關(guān)注.

1878年,Rayleigh首先對熱聲振蕩的產(chǎn)生機(jī)理給出描述,向一振蕩的氣團(tuán)周期性地加入或取出熱量,所產(chǎn)生的效果取決于加熱或者散熱與振蕩的相位關(guān)系:當(dāng)熱量在壓力最高點(diǎn)加入或者最低點(diǎn)取出,則振蕩加強(qiáng);反之,振蕩減弱.至今,Rayleigh準(zhǔn)則仍是被廣泛接受的熱聲振蕩現(xiàn)象產(chǎn)生和維持的合理解釋.1963—1983年,Rott發(fā)表了一系列文章,建立了經(jīng)典線性熱聲理論,在理論上闡明熱聲效應(yīng)中存在著熱和功的相互轉(zhuǎn)化,奠定了現(xiàn)代線性熱聲理論的基礎(chǔ),該理論是目前熱聲研究中最有效、運(yùn)用最為廣泛的理論.

瑞利準(zhǔn)則和線性理論能夠闡述熱聲振蕩的產(chǎn)生和維持的機(jī)理,但卻無法描述起振、跳頻、遲滯以及聲壓飽和等非線性現(xiàn)象,這是因?yàn)闊崧曊袷幨且粋€(gè)非常復(fù)雜的非線性問題,而線性理論是對小振幅弱非線性現(xiàn)象的近似,其中考慮了系統(tǒng)的線性,但忽略了熱源函數(shù)本身的非線性.于是,發(fā)展非線性熱聲理論來解釋此類現(xiàn)象,描述本質(zhì)上非線性的熱聲自激振蕩的整個(gè)過程就顯得十分迫切[1].

Rijke管是研究熱聲振蕩最方便最典型的系統(tǒng),國內(nèi)外學(xué)者以Rijke管熱聲系統(tǒng)為模型展開了大量研究.關(guān)于Rijke管內(nèi)的非線性熱聲振蕩現(xiàn)象,目前存在著幾種可能的解釋,包括但不限于非線性聲學(xué)效應(yīng)、非線性對流換熱、熱聲非正交性以及非線性管口損失等四類原因.1990年,Heckl[2]對Rijke管中的非線性效應(yīng)進(jìn)行了理論和實(shí)驗(yàn)研究,指出Rijke管中的非線性效應(yīng)主要在于非線性對流換熱和非線性管口損失,前者在速度擾動和主流速度量級相當(dāng)時(shí)作用明顯,導(dǎo)致?lián)Q熱率下降,是振蕩幅值限制的關(guān)鍵原因;后者在壓力振動幅值很高時(shí)凸顯出管口損失增大的作用,但作用相對小得多.國內(nèi)韓飛等[3,4]通過研究Rijke管熱聲相互作用的非線性和管口末端的非線性輻射聲阻,指出非線性效應(yīng)的作用是限制振幅的增長和激發(fā)高階諧波的出現(xiàn).2003年,Matveev[5]在其博士論文中指出:在大量的系統(tǒng)中,聲音強(qiáng)度導(dǎo)致的非線性聲學(xué)損失并不足以成為熱聲振蕩非線性飽和現(xiàn)象的主要原因.Balasubramanian和Subramanian等[6,7]首次提出Rijke管內(nèi)的非正交熱聲現(xiàn)象,通過數(shù)值模擬總結(jié)出,即使在沒有阻尼的情況下非正交性也可以導(dǎo)致幅值飽和.

在非線性熱聲振蕩的研究領(lǐng)域內(nèi),馬大猷[8]對熱聲振蕩問題進(jìn)行過系統(tǒng)研究,并根據(jù)瑞利準(zhǔn)則推導(dǎo)出了詳細(xì)的Rijke管方程的嚴(yán)格解,給出了相應(yīng)的管內(nèi)非線性行波和駐波解.Yoon等[9]以Rijke型火箭發(fā)動機(jī)為對象,描述了非線性速度敏感型熱聲不穩(wěn)定系統(tǒng)演化過程中的自舉(bootstrapping)現(xiàn)象,即系統(tǒng)第一階模態(tài)的能量先傳遞給第二階模態(tài),激發(fā)第二階模態(tài)幅值增長,而第一階模態(tài)幅值下降;隨后第二階模態(tài)再將能量傳遞給第一階模態(tài),導(dǎo)致第一階模態(tài)幅值隨之增長的現(xiàn)象.李國能等[10]在對一端開口一端封閉的Rijke型預(yù)混燃燒器的研究中發(fā)現(xiàn)熱聲不穩(wěn)定的起振過程存在著頻率跳躍:系統(tǒng)首先激發(fā)低階的熱聲振蕩,然后低階熱聲振蕩逐步消退,激發(fā)起更高階的熱聲不穩(wěn)定,依次類推,直到激發(fā)起適合當(dāng)前燃燒器結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定持續(xù)的壓力振蕩.黃鑫等[1]總結(jié)了Rijke型熱聲自激振蕩的研究進(jìn)展,指出目前還沒有能完全解釋熱聲振蕩機(jī)理的理論,已有的理論只適用于弱非線性,應(yīng)該在管內(nèi)自激振蕩非線性現(xiàn)象以及建立并完善非線性模型兩個(gè)方面做進(jìn)一步研究.2014年,Sayadi等[11]在其研究中指出,在熱釋放率較小時(shí),系統(tǒng)主要振蕩頻率為線性化后不穩(wěn)定模態(tài)的頻率,但當(dāng)熱釋放率增大到一定程度時(shí),系統(tǒng)將激發(fā)出其他高階頻率,而在線性分析中,這些頻率卻可能是穩(wěn)定的.Kashinath[12]對燃燒G方程和聲波方程耦合求解,獲得了Rijke熱聲振蕩通向混沌的兩種途徑:倍周期分岔及Ruelle-Takens-Newhouse途徑,發(fā)現(xiàn)火焰皺褶和夾斷是產(chǎn)生周期性聲波的原因.2017年,Li等[13]研究了時(shí)間遲滯、聲學(xué)損失以及燃燒-流動耦合對Rijke管穩(wěn)定性的影響,熱源選取1990年Fleifil等[14]提出的n-τ模型,根據(jù)加熱功率和系統(tǒng)阻尼將穩(wěn)定性區(qū)間分為遲滯無關(guān)區(qū)域和穩(wěn)定性切換區(qū)域.在遲滯無關(guān)區(qū)間,改變遲滯時(shí)間的大小,對系統(tǒng)穩(wěn)定性沒有影響;但在穩(wěn)定性切換區(qū)域,系統(tǒng)穩(wěn)定性隨著遲滯時(shí)間的增大在穩(wěn)定和失穩(wěn)之間轉(zhuǎn)變.但該文以線性模型為基礎(chǔ),而且僅選取了第一階模態(tài),因此所得結(jié)果實(shí)際上應(yīng)該是線性結(jié)果.

本文以一維水平電熱絲網(wǎng)加熱的Rijke管為研究對象,采用非線性熱源模型,從Navier-Stokes(N-S)方程出發(fā),引入非線性傳熱模型和阻尼模型,推導(dǎo)出管內(nèi)聲波擾動量控制方程組.采用Galerkin方法逼近控制方程并數(shù)值求解,取系統(tǒng)前十階模態(tài)進(jìn)行計(jì)算,研究了在強(qiáng)阻尼和弱阻尼條件下,傳熱遲滯參數(shù)對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響.結(jié)果發(fā)現(xiàn),除公認(rèn)的兩個(gè)重要因素?zé)嵩次恢煤蜔嵩创笮≈?阻尼系數(shù)和傳熱遲滯時(shí)間也可能對系統(tǒng)穩(wěn)定性造成影響,不僅系統(tǒng)穩(wěn)定性隨傳熱遲滯時(shí)間在穩(wěn)定和不穩(wěn)定狀態(tài)間切換,而且系統(tǒng)熱聲振蕩的主模態(tài)也和遲滯時(shí)間相關(guān).最后,通過求解系統(tǒng)各階模態(tài)極限環(huán)幅值隨傳熱遲滯時(shí)間的變化,發(fā)現(xiàn)這種穩(wěn)定性切換現(xiàn)象與傳熱遲滯時(shí)間存在周期性關(guān)系.

2 數(shù)學(xué)物理模型及求解

2.1 Rijke管模型及控制方程

采用如圖1所示的一維水平電熱絲熱源的Rijke管熱聲模型,兩端均為壓力開口邊界.其中,Rijke管長度為L,熱源位置,來流速度.

圖1 簡化的水平Rijke管模型Fig.1.Simplified Schematic of the horizontal Rijke tube.

模型的控制方程從N-S方程出發(fā),假設(shè)氣體為理想流動,忽略氣體的熱傳導(dǎo)和黏性損失.由于Rijke管內(nèi)空氣溫度范圍和壓強(qiáng)范圍介于240 K

采用聲流分析法,將變量分為穩(wěn)態(tài)流動量和擾動聲學(xué)量部分,令p0,ρ0,u0及Q0分別為速度和熱源熱釋放量的平均量;分別為對應(yīng)的擾動量,即

由于速度和速度擾動項(xiàng)相對音速都很小,因此,在推導(dǎo)過程中,含有速度和速度擾動項(xiàng)都忽略不計(jì).得到關(guān)于各擾動項(xiàng)的方程組

對上述方程進(jìn)行無量綱化,令:

其中x,t,u′,p′以及xf分別表示無量綱后的距離、時(shí)間、擾動速度、擾動壓力和熱源位置;a0為流動平均音速;M為平均流馬赫數(shù).將(12)式代入方程(10),(11)中,得到無量綱形式的管內(nèi)聲場動量和能量方程:

2.2 阻尼模型

Rijke管熱聲系統(tǒng)的阻尼損失主要分為兩部分,分別是邊界層損失和管口末端的聲能輻射損失,Howe[15]曾提出如下形式的阻尼模型:

式中ξ是管內(nèi)總阻尼系數(shù),j代表系統(tǒng)的第j階聲波模態(tài),ξj是第j階聲模態(tài)的阻尼系數(shù);A和P分別為Rijke管截面積和截面周長;ν和κ流體的動力黏性系數(shù)和熱擴(kuò)散率,ωj=jπ為系統(tǒng)的第j階聲模態(tài)的無量綱頻率.令

則有

將阻尼模型引入方程(13),得到含阻尼的管內(nèi)擾動方程

2003年,Matveev[5]在其博士論文中曾采用Howe模型對其實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)的阻尼進(jìn)行計(jì)算并用于數(shù)值分析,根據(jù)Matveev的實(shí)驗(yàn)參數(shù)可得其系統(tǒng)阻尼參數(shù)為c1=0.028,c2=0.0001,Subramanian等[7]曾使用該阻尼系數(shù)對Matveev的實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ瓦M(jìn)行數(shù)值模擬,給出了較好的對比結(jié)果.此外,Subram anian等[16],Juniper[17]以及Sayadi等[11]對熱聲不穩(wěn)定的研究中也使用到Howe阻尼模型,且均取c1=0.1,c2=0.06.下文將采用這兩組阻尼參數(shù)對Rijke管熱聲系統(tǒng)的穩(wěn)定性進(jìn)行研究,并分別稱之為“弱阻尼”和“強(qiáng)阻尼”.

2.3 熱源模型

1914年,King提出了電加熱絲非定常熱釋放率的速度時(shí)滯模型,該模型雖然為非線性模型,但只能預(yù)測速度擾動幅值大于主流速度的非線性現(xiàn)象,即僅對熱源處發(fā)生回流的情況有效.1990年,Heckl[2]指出,K ing模型不符合擾動速度為主流速度的1/3時(shí)就出現(xiàn)非線性的實(shí)驗(yàn)觀測結(jié)果,他以K ing模型為基礎(chǔ)提出了改進(jìn)的非線性模型,稱為Heckl模型.Heckl模型的時(shí)均值及擾動速度小于1/3主流速度時(shí)的預(yù)測結(jié)果與King模型一致,當(dāng)擾動速度大于1/3主流速度,更符合實(shí)驗(yàn)的非線性結(jié)果.本文熱源函數(shù)采用Heckl模型,取熱源擾動項(xiàng)如下:

其中Lw,dw及Tw為電熱絲的長度、直徑和溫度.由于熱慣性的存在,傳熱和流場速度之間存在傳熱遲滯時(shí)間τ.

傳熱遲滯時(shí)間可利用Lighthill[18]提出的經(jīng)驗(yàn)公式進(jìn)行計(jì)算,

從中可知對電熱絲網(wǎng)加熱的Rijke管,影響傳熱遲滯時(shí)間的因素為電熱絲直徑和管內(nèi)氣體平均流動速度.

無量綱化的傳熱遲滯時(shí)間為

2.4 擾動方程的Galerk in逼近

擾動方程組為時(shí)間和空間的偏微分方程組,這里采用Galerkin方法將控制方程表達(dá)成頻域和時(shí)域函數(shù)的疊加,基函數(shù)的選取并不惟一,原則是必須滿足邊界條件,本文選取線性化的系統(tǒng)自共軛部分的特征函數(shù)作為基函數(shù).對兩端開口的Rijke管,在x=0和x=1處,忽略管口損失,有p′(x,t)=0,?u′(x,t)/?x=0,可將聲波速度場和壓力場分別表示如下:

考慮到計(jì)算可行性,只能采用有限數(shù)量的模態(tài)數(shù)目.2014年,Selimefendigil和?ztopb[19]以熱機(jī)為研究對象發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)前兩階和前十一階模態(tài)分別占據(jù)了97%和99.9%的流體動能.2017年,Sui等[20]在對Rijke型熱聲不穩(wěn)定的實(shí)驗(yàn)研究中指出,標(biāo)準(zhǔn)化的第一階特征值占總空間平均壓力脈動的92%,第二階模態(tài)是極限環(huán)振動的關(guān)鍵因素,其中第二、第三階的脈動能量占5%和2.3%.馮建暢等[21]在對Rijke管熱聲不穩(wěn)定的分岔分析中發(fā)現(xiàn):當(dāng)取前九階模態(tài)和前十階模態(tài)時(shí),得到的數(shù)值解差異可以忽略不計(jì),說明了十階聲學(xué)模態(tài)的收斂性.因此在后續(xù)計(jì)算中,將取前十階Galerkin模態(tài)進(jìn)行計(jì)算和分析.

將熱源方程(19)代入方程(18),利用(22)式和(23)式展開并投影到基函數(shù)系,得到時(shí)域內(nèi)常微分方程組

其中j=1,2,3…N,N=10,且

3 計(jì)算結(jié)果與討論

從(21)及(22)式中可以得出:系統(tǒng)的可變參數(shù)包括熱源位置xf、熱源強(qiáng)度K、阻尼系數(shù)c1和c2以及傳熱遲滯時(shí)間τ.通常在實(shí)驗(yàn)條件下熱源位置xf,熱源強(qiáng)度K可以精確調(diào)整和測量,獲得研究較多也較為深入;而系統(tǒng)阻尼和傳熱遲滯時(shí)間τ則難以精確測量和改變,因此前人研究較少.本文采用MATLAB軟件中求解延遲微分方程的dde23函數(shù)對方程進(jìn)行數(shù)值求解,研究阻尼和遲滯參數(shù)對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響.

3.1 傳熱遲滯對強(qiáng)阻尼系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響:穩(wěn)定性切換

首先計(jì)算在強(qiáng)阻尼條件下傳熱時(shí)滯參數(shù)對Rijke管熱聲振蕩的影響,選取計(jì)算參數(shù)為:xf=0.25,K=0.8,c1=0.1,c2=0.06,初始條件為P1=1,Pj=0,?j=1及Uj=0,?j=1,…N.在此條件下,持續(xù)增大傳熱遲滯時(shí)間τ,觀察系統(tǒng)各階模態(tài)振蕩幅值隨時(shí)間演化情況,所得結(jié)果如圖2所示.由于系統(tǒng)壓力振蕩的高階幅值非常小,因此圖2僅顯示前三階壓力分量的變化情況.

圖2 強(qiáng)阻尼系統(tǒng)不同遲滯下的振蕩波形圖Fig.2.Time evolution of the heavily damped system with different time delay.

當(dāng)τ非常小,如τ=0.05時(shí),系統(tǒng)快速地收斂到穩(wěn)定狀態(tài),如圖2(a)所示.系統(tǒng)第一個(gè)臨界點(diǎn)為τ=0.119,越接近該值,系統(tǒng)衰減得越慢,圖2(b)在τ=0.118的條件下,當(dāng)t>140后,系統(tǒng)才呈較明顯的衰減趨勢;當(dāng)τ大于0.119后,系統(tǒng)穩(wěn)定性發(fā)生改變,振蕩幅值不再隨時(shí)間衰減,而是維持在特定幅值振蕩,形成圖2(c)所示的極限環(huán)振蕩.此后系統(tǒng)的極限環(huán)振蕩幅值先隨τ增大,當(dāng)τ=0.49時(shí)達(dá)到極大值,如圖2(d)所示;之后系統(tǒng)振蕩幅值隨τ的τ增大而減小,直到如圖2(e)中所示,系統(tǒng)都將處于極限環(huán)振蕩的狀態(tài).而當(dāng)τ增大到臨界點(diǎn)τ=0.94后,系統(tǒng)將隨時(shí)間逐漸趨于穩(wěn)定,如圖2(f)示.繼續(xù)增大遲滯時(shí)間τ,系統(tǒng)達(dá)到平衡點(diǎn)的時(shí)間越來越短,圖2(g)中當(dāng)τ=1.5時(shí),系統(tǒng)在t=20范圍內(nèi)就達(dá)到平衡.第三個(gè)臨界點(diǎn)為τ=2.01,在0.936<τ<2.01時(shí),系統(tǒng)最終都將趨于穩(wěn)定狀態(tài),而τ>2.01后,系統(tǒng)進(jìn)入新的不穩(wěn)定區(qū)域,初始擾動會最終發(fā)展成周期性的極限環(huán)振蕩,如圖2(h)所示.并且在此之后,系統(tǒng)的穩(wěn)定性依舊隨著遲滯參數(shù)τ的增大不斷地在穩(wěn)定和不穩(wěn)定之間切換.

這種系統(tǒng)穩(wěn)定性隨著傳熱遲滯的增加不斷切換的現(xiàn)象稱為穩(wěn)定性切換現(xiàn)象,該現(xiàn)象廣泛存在于各類時(shí)滯系統(tǒng)中.可用Rayleigh準(zhǔn)則來解釋Rijke管內(nèi)的穩(wěn)定性切換現(xiàn)象:改變傳熱遲滯時(shí)間,即改變系統(tǒng)熱釋放與波動速度之間的相位差,亦改變了熱釋放與波動壓力的相位差.對系統(tǒng)任一階振蕩模態(tài)而言,在一個(gè)振蕩周期內(nèi),由熱源、阻尼以及其他模態(tài)作用共同導(dǎo)致的能量變化為正則振蕩加強(qiáng);為負(fù)值則振蕩減弱;當(dāng)達(dá)到平衡時(shí),則該模態(tài)或處于穩(wěn)定狀態(tài),或處于特定幅值下的極限環(huán)振蕩狀態(tài).

3.2 傳熱遲滯對弱阻尼系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響:穩(wěn)定性切換及主模態(tài)改變

選取計(jì)算參數(shù)為:xf=0.25,K=0.8,c1=0.028,c2=0.0001,P1=1,Pj=0,?j=1及Uj=0,?j=1,…N. 在此條件下,持續(xù)增大傳熱遲滯時(shí)間τ,觀察系統(tǒng)各階壓力振蕩幅值隨時(shí)間的演化情況,所得結(jié)果列于圖3中.與上文一致,圖3只顯示了系統(tǒng)前三階壓力幅值的變化情況.

系統(tǒng)穩(wěn)定性改變的第一個(gè)臨界點(diǎn)在τ=0.02.如圖3(a)所示,當(dāng)τ<0.02時(shí),系統(tǒng)隨時(shí)間演化最終收斂到平衡點(diǎn);而當(dāng)τ增大到0.02時(shí),系統(tǒng)最終將進(jìn)入圖3(b)所示的極限環(huán)振蕩狀態(tài);繼續(xù)增大τ,從圖3(c)及圖3(d)可以發(fā)現(xiàn),隨著第一階壓力幅值的增長,當(dāng)τ=0.2時(shí),第二階壓力幅值也不斷地增長甚至略微大于第一階幅值,系統(tǒng)振蕩的主模態(tài)從第一階變?yōu)榈诙A;繼續(xù)增大τ,系統(tǒng)的極限環(huán)幅值開始減小,且第二階模態(tài)幅值減小的速度要大于第一階幅值,圖3(e)中當(dāng)τ=1.0時(shí),第二階幅值減小為第一階幅值的1/4左右.

圖3 弱阻尼系統(tǒng)不同遲滯下的振蕩波形圖Fig.3.Time evolution of the weakly damped system with different time delay.

圖3 弱阻尼系統(tǒng)不同遲滯下的振蕩波形圖(續(xù))Fig.3.Time evolution of the weakly damped system with different time delay.

當(dāng)τ=1.2時(shí),如圖3(f)所示,系統(tǒng)幅值并不呈單調(diào)遞增的趨勢,而是第一階模態(tài)先迅速衰減,然后第三階模態(tài)幅值迅速增大到約0.6,與圖3(d)中第二階幅值占主導(dǎo)的情況不同的是,圖3(d)中系統(tǒng)各階模態(tài)都是呈單調(diào)遞增的趨勢上升的極限環(huán)狀態(tài),而圖3(f)經(jīng)歷了一個(gè)第一階模態(tài)衰減而后第三階模態(tài)幅值上升到極限環(huán)振蕩的過程,可以推測當(dāng)τ=1.2時(shí),第一階和第二階壓力模態(tài)的相位與熱釋放相位不同,只有第三階模態(tài)相位與熱釋放相位相同.

在0.02<τ<1.27范圍內(nèi),系統(tǒng)振蕩的主模態(tài)在第一、第二及第三階之間切換,但一直處于不穩(wěn)定的極限環(huán)狀態(tài),而當(dāng)達(dá)到第二個(gè)臨界點(diǎn)τ=1.27時(shí),系統(tǒng)再次進(jìn)入穩(wěn)定區(qū)間,從圖3(g)和圖3(h)可以觀察到該轉(zhuǎn)變.

從圖3(i)和圖3(j)可看到,第三個(gè)臨界值為τ=1.73,在τ>1.73后,系統(tǒng)再次進(jìn)入不穩(wěn)定區(qū)間,此后系統(tǒng)一直處于極限環(huán)振蕩狀態(tài),且振蕩主模態(tài)在第一階、第二階及第三階之間切換.系統(tǒng)第4個(gè)臨界點(diǎn)為τ=3.3,當(dāng)τ>3.3后,系統(tǒng)再次進(jìn)入穩(wěn)定區(qū)間,圖3(k)和圖3(l)中給出了系統(tǒng)從不穩(wěn)定到穩(wěn)定的轉(zhuǎn)變.

3.3 強(qiáng)、弱阻尼系統(tǒng)穩(wěn)定性對比

將兩種不同阻尼條件下系統(tǒng)穩(wěn)定性區(qū)間進(jìn)行對比,結(jié)果列于表1.

表1 兩種不同阻尼條件下系統(tǒng)的穩(wěn)定性區(qū)間Table 1.Comparison of stability region of differently damped systems.

從表1可以發(fā)現(xiàn),當(dāng)阻尼從c1=0.1,c2=0.06減小到c1=0.028,c2=0.0001后,系統(tǒng)的第一個(gè)不穩(wěn)定區(qū)間范圍從0.119<τ<0.93擴(kuò)大為0.02<τ<1.27,第二個(gè)不穩(wěn)定區(qū)間從2.01<τ<3.07擴(kuò)大到1.73<τ<3.3,而穩(wěn)定區(qū)間范圍則分別從τ<0.119,0.94<τ<2.01及3.07<τ<3.90縮小到τ<0.02,1.27<τ<1.73及3.3<τ<3.7,說明減小系統(tǒng)阻尼,系統(tǒng)的每個(gè)不穩(wěn)定區(qū)域的范圍增大,穩(wěn)定區(qū)域范圍縮小.這是因?yàn)樽枘嵩酱?能量耗散越快,系統(tǒng)就越趨于穩(wěn)定.

其次,對比圖2和圖3還可以發(fā)現(xiàn):強(qiáng)阻尼條件下,不穩(wěn)定區(qū)域內(nèi)始終是第一階模態(tài)的幅值遠(yuǎn)高于其他高階成分;而弱阻尼條件下,系統(tǒng)的主模態(tài)并不固定在第一階模態(tài),而是在第一階、第二階和第三階之間轉(zhuǎn)換,這是由于所選取的阻尼模型對高階成分的衰減作用更加強(qiáng)烈導(dǎo)致的.

此外,弱阻尼條件下,當(dāng)τ=1.2時(shí),系統(tǒng)幅值并不呈單調(diào)遞增的趨勢,而是先經(jīng)歷了一個(gè)低頻模態(tài)衰減,然后高頻模態(tài)快速增長達(dá)到飽和狀態(tài)的過程.而強(qiáng)阻尼條件下卻不出現(xiàn)該現(xiàn)象,這說明阻尼也是決定系統(tǒng)振蕩模態(tài)的一個(gè)重要因素.

以上討論表明,系統(tǒng)阻尼和傳熱時(shí)滯參數(shù)不僅影響到系統(tǒng)是否穩(wěn)定,還影響到系統(tǒng)極限振蕩時(shí)的主模態(tài).在之前的研究中,學(xué)者們一般認(rèn)為系統(tǒng)主模態(tài)只和熱源位置有關(guān),而該結(jié)果則說明,不僅僅是熱源的位置,系統(tǒng)的阻尼以及傳熱遲滯時(shí)間都是決定系統(tǒng)主振蕩模態(tài)的重要參數(shù).

圖4和圖5分別給出了兩類阻尼下系統(tǒng)前三階模態(tài)對傳熱遲滯τ的分岔圖譜.其中不同顏色的點(diǎn)分別代表不同壓力模態(tài)在系統(tǒng)達(dá)到極限環(huán)振蕩或者穩(wěn)定狀態(tài)時(shí)的峰值,黑色表示一階模態(tài),藍(lán)色表示二階模態(tài),紅色表示三階模態(tài).從中可以發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)穩(wěn)定性與時(shí)滯參數(shù)存在近似周期關(guān)系,且變化周期約為2,這符合系統(tǒng)第一階模態(tài)的周期,即系統(tǒng)各模態(tài)中的最大周期.

圖4 強(qiáng)阻尼系統(tǒng)對時(shí)間遲滯τ的分岔圖Fig.4.Bifurcation plot of heavily damped system for variation of time lag(τ).

圖5 弱阻尼系統(tǒng)對時(shí)間遲滯τ的分岔圖Fig.5.Bifu rcation plot of weakly damped system for variation of time lag(τ).

圖4 和圖5中,當(dāng)τ=0.49時(shí),系統(tǒng)第一階模態(tài)的幅值達(dá)到極大值,根據(jù)瑞利準(zhǔn)則可以推測,當(dāng)τ=0.49時(shí),第一階模態(tài)壓力振蕩和放熱脈動相位差最小.

對比圖4和圖5中的最大振蕩幅值可發(fā)現(xiàn),在強(qiáng)阻尼條件下,系統(tǒng)振蕩最大幅值約為1,而弱阻尼系統(tǒng)的最大振蕩幅值為2.83.這是因?yàn)閺?qiáng)阻尼系統(tǒng)不僅能量耗散的更多,且高階模態(tài)成分被抑制程度較高,因此,輸入系統(tǒng)的熱能轉(zhuǎn)化為聲能的部分更少,相對集中在一階模態(tài).而弱阻尼系統(tǒng)能量耗散較少,且阻尼對高階模態(tài)的抑制作用也減小,因此,輸入系統(tǒng)的熱能更多的轉(zhuǎn)化為聲能,不僅第一階模態(tài)幅值變大,第二階和第三階模態(tài)得到的能量亦有所增多,幅值也相對增大.

圖4中系統(tǒng)第一階模態(tài)的幅值占據(jù)主要地位,遠(yuǎn)大于第二階、第三階模態(tài)幅值,與圖2符合得很好.而圖5中的不穩(wěn)定區(qū)域則分為兩類,以0—2區(qū)間內(nèi)為例,當(dāng)0.02<τ<1.05時(shí),系統(tǒng)第一階、第二階和第三階模態(tài)都處于不穩(wěn)定狀態(tài),且第一階和第二階模態(tài)幅值量級相當(dāng),第三階模態(tài)幅值較小.而1.08<τ<1.27時(shí),系統(tǒng)只有第三階模態(tài)處于不穩(wěn)定狀態(tài).這說明在該范圍內(nèi),只有第三階模態(tài)的壓力振蕩相位和熱釋放脈動相位相同.

4 結(jié) 論

以一維Rijke管系統(tǒng)熱聲振蕩為研究對象,通過分離擾動項(xiàng)的方法得到了管內(nèi)聲場壓力和速度控制方程,采用Galerkin方法對控制方程進(jìn)行了數(shù)值求解,分析了強(qiáng)阻尼和弱阻尼系統(tǒng)動力學(xué)特性與傳熱遲滯時(shí)間τ的關(guān)系,得出如下結(jié)論:

1)在給定的熱源位置和熱源強(qiáng)度下,對強(qiáng)阻尼系統(tǒng)和弱阻尼系統(tǒng),增大熱源相對速度的遲滯時(shí)間,系統(tǒng)的穩(wěn)定性都將在穩(wěn)定和不穩(wěn)定兩個(gè)狀態(tài)間轉(zhuǎn)變,即系統(tǒng)存在穩(wěn)定性切換現(xiàn)象;

2)在給定的熱源位置和熱源強(qiáng)度下,弱阻尼系統(tǒng)不穩(wěn)定區(qū)域大于強(qiáng)阻尼系統(tǒng)的不穩(wěn)定區(qū)域,且由于更多的熱能被轉(zhuǎn)化為聲能,系統(tǒng)極限環(huán)振蕩最大幅值亦從1增大到2.83;

3)在給定的熱源位置和熱源強(qiáng)度下,強(qiáng)阻尼系統(tǒng)熱聲振蕩的主模態(tài)始終是第一階模態(tài),而弱阻尼條件下,系統(tǒng)熱聲不穩(wěn)定的主模態(tài)在第一階、第二階和第三階模態(tài)間轉(zhuǎn)換,這意味著當(dāng)阻尼較弱時(shí),即使在相同的加熱位置,系統(tǒng)也可能發(fā)生聲波頻率改變或者復(fù)頻率聲波的現(xiàn)象;

4)系統(tǒng)穩(wěn)定性與時(shí)滯參數(shù)存在近似周期性切換關(guān)系,且變化周期約為2,與系統(tǒng)一階模態(tài)周期相等.