張媛媛

(開封大學(xué) 數(shù)學(xué)教研部,河南 開封 475000)

具源項(xiàng)和阻尼項(xiàng)的發(fā)展方程整體吸引子的性質(zhì)是近年來(lái)偏微分方程研究的熱點(diǎn),目前關(guān)于它的研究主要集中在其存在性及維數(shù)方面.文獻(xiàn)[1-3]對(duì)方程

utt-div{σ(|u|2)u}-Δut+Δ2u+h(ut)+g(u)=f(x)

的整體吸引子及分形維數(shù)做了相關(guān)研究.文獻(xiàn)[4]對(duì)該方程的Hausdorff維數(shù)做了相關(guān)討論.文獻(xiàn)[5-7]對(duì)一些非線性發(fā)展方程解的長(zhǎng)時(shí)間行為也做了相關(guān)論述.論文的目的是研究下列一類具源項(xiàng)和阻尼項(xiàng)的發(fā)展方程整體吸引子的Hausdorff維數(shù)問(wèn)題.方程中牽涉到的非線性項(xiàng)一直是偏微分方程處理的難點(diǎn),對(duì)非線性源項(xiàng)和阻尼項(xiàng)的先驗(yàn)估計(jì)更是復(fù)雜與繁瑣,估計(jì)時(shí)可能不易控制.這里將采取算子半群與偏微分方程中常用不等式結(jié)合的方法，對(duì)方程中的4個(gè)非線性項(xiàng)作估計(jì)，盡可能地減少?gòu)?fù)雜的運(yùn)算,也使估計(jì)更精確，有

(1)

(2)

u(x,0)=u0(x),ut(x,0)=u1(x),x∈Ω，

(3)

其中:Ω是RN中具有光滑邊界的有界區(qū)域.筆者采取半群的方法研究方程(1)整體吸引子的維數(shù),這在相關(guān)文獻(xiàn)中還沒(méi)有出現(xiàn)過(guò).

1 相關(guān)引理及主要結(jié)論

記

定義As(s∈R),Hilbert空間

考慮問(wèn)題(1)～(3)的Cauchy問(wèn)題

(4)

u(x,0)=u0(x),ut(x,0)=u1(x).

(5)

引理1假定下列條件成立

(1)

(2)f=h1+h2,hi:V1→V-1,i=1,2,h(s)s≥0,‖h2(v)‖V-1≤C(h2(v),v)1-σ2,

‖h1(v)‖V-1≤C(1+(h2(v),v))1-σ3,

(3) ?σ4,σ5∈(0,1),δ1,δ2∈(0,2δ),有

‖g(u)‖V2δ-1≤C(R)(1+‖u‖V2(1+δ))1-σ4,u∈V2(1+δ),‖u‖V2≤R,

‖h(v)‖V2δ-1≤C(R)(1+‖v‖V1+2δ)1-σ5,v∈V1+2δ,‖v‖≤R,

‖g(u1)-g(u2)‖V2δ-1≤C(R)‖u1-u2‖V1+2δ1,u1,u2∈V1+2δ,‖u1‖V1+2δ+‖u2‖V1+2δ≤R，

‖h(v1)-h(v2)‖V2δ-1≤C(R)‖v1-v2‖V1+2δ2,v1,v2∈V1+2δ,‖v1‖V2δ+‖v2‖V2δ≤R.

(4)βi∈C1(R),βi(s)s≥B1|s|α+2,|βi(s)|≤B2(1+|s|α+1).

(6) (u0,u1)∈X2+2δ.

引理2[10]設(shè)X,Y是Banach空間,X?Y.若φ∈L∞(0,T;X)∩Cw([0,T];Y),則φ∈Cw([0,T];X).

引理3[11]設(shè)X是Hilbert空間.B?X是緊集,S:B→X是連續(xù)映射,S(B)=B,若下列條件成立

(1)S在B上一致可微.即?u∈B,存在線性算子L(u)∈L(X),使得

則dH(B)

引理4[12]設(shè)X是Hilbert空間,q(t;.),r(t;.)是X上的二次型,{L(t)|t∈[0,T),0

(1) ?η0∈X,q(t;L(t)η0)絕對(duì)連續(xù),且?t∈[0,T),q′(t;L(t)η0)=r(t;L(t)η0);

注1定義S(t)(u0,u1)=(u(t),ut(t)),則S(t)組成X2+2δ中的連續(xù)半群.

注2在定理1的假定下,注1定義的連續(xù)半群在X2+2δ上存在整體吸引子.

定理1假定引理1的條件成立,且滿足下列條件

(1)

(3)σi,βi∈C2(R).

則注2中的整體吸引子存在Hausdorff維數(shù).

引理5若定理1中的條件(1),(2)成立,則?R>0,?σ0:0<σ0<<1,(u,v)∈X2+2δ,則

‖g′(u)‖L(V2+2δ-σ0,V2δ-2)≤C(R),?u∈V2+2δ,‖u‖V2+2δ≤R，

‖f′(v)‖L(V2δ,V2δ-1)≤C(R),?v∈V2δ,‖v‖V2δ≤R.

引理6若定理1中的條件(1),(2)成立,則?0<γ<<1,且

?ξ,η∈V2+2δ,‖ξ‖V2+2δ+‖η‖V2+2δ≤R,

2 定理1的證明

第一步: 變分方程解的存在性.

(6)

v(0)=v0,vt(0)=v1.

其中

(v0,v1)∈X2+2δ.

(7)

(6) 式與Aδvt作內(nèi)積,得

(8)

(9)

(10)

由引理5,有

(11)

(12)

由(8)～(12)式,得

(13)

由假定不難得估計(jì)

‖vtt‖L2(0,T;V2δ-2)≤C(R,T),t∈[0,T].

(14)

在X2+2δ中(n→∞),有

(15)

(15)式令n→∞,對(duì)t求導(dǎo),由ωj在V2中的稠密性得(6)式,v是問(wèn)題(6)～(7)的解,且

v∈L∞(0,T;V2+2δ),vt∈L∞(0,T;V2δ)∩L2(0,T;V1+2δ),vtt∈L2(0,T;V2δ-2)，

所以，由引理2,有v∈Cw([0,T];V2+2δ).同理,(v,vt)∈Cw([0,T];X2+2δ).

(8)式在(t0,t)上積分,當(dāng)t→t0時(shí),得

所以,(v,vt)∈C(R+;X2+2δ).

第二步:S(t)在Α上一致可微.

設(shè)L(t,φ0):X2+2δ→X2+2δ,L(t,φ0)(ξ,η)=(v,vt),φ0∈A,則L(t,φ0)=DS(t)φ0.

則

所以，S(t)在X2+2δ的有界集上Lipschitz連續(xù).

上式與Aδψt作內(nèi)積,得

(16)

又

(17)

(18)

(19)

將(17)～(19)式代入(16)式,得

由Gronwall不等式, 得

(20)

再令θ=ψ-v,θ滿足

(21)

θ(0)=0,θt(0)=0，

其中：F=g1+g2+g3+g4,且

將(21)式與Aδθt作內(nèi)積,得

(g′(u)θ,Aδθt)-(f′(ut)θt,Aδθt)+(F,Aδθt)，

(22)

(23)

(24)

由引理6,有

(25)

(26)

(27)

(28)

將(23)～(28)式代入(22)式,得

由(20)式和Gronwall不等式,有

第三步:Α的Hausdorff維數(shù).

令ω=vt+εv,(6)式轉(zhuǎn)化為

上式與Aδω作內(nèi)積,得

(29)

其中

將以上4式代入(29)式, 得

令K:X2+2δ→X2+2δ,K{u,v}=A-σ{u,v},{u,v}∈X2+2δ,有

(30)

其中

?α,β>0,使得

設(shè)L1(t,φ0):X2+2δ→X2+2δ,L1(t,φ0)ψ0=ψ(t),其中

則

其中

(30)式亦可寫為

當(dāng)m>m0時(shí),由引理4,有

由引理3,有

dimHΑ≤m0<∞.

證畢.