劉 洪,黃繼偉,袁雨欣

(1.中國(guó)科學(xué)院地質(zhì)與地球物理研究所,北京100029;2.中國(guó)科學(xué)院大學(xué),北京100049;3.中國(guó)科學(xué)院油氣資源研究重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,北京100029)

自20世紀(jì)80年代以來,Thom的突變論、Prigogine的耗散結(jié)構(gòu)、孤立子和Radon變換等數(shù)學(xué)物理研究取得了重大突破[1],卡茲穆迪代數(shù)(Kac-Moody Algebra)圈群、圈代數(shù)(Loop Group and loop Algebra)和Virasoro代數(shù)將孤立子、黎曼群面、超弦、統(tǒng)一場(chǎng)論和凝聚態(tài)物理研究聯(lián)系了起來[2],在數(shù)學(xué)和物理領(lǐng)域取得了大量進(jìn)展,如拓?fù)浣^緣體、半金屬等。在地震波傳播領(lǐng)域,將亞波長(zhǎng)尺度的不均勻性效應(yīng)在波長(zhǎng)尺度上表達(dá)出來[3],在等效速度、等效各向異性等靜態(tài)等效介質(zhì)理論基礎(chǔ)上,發(fā)展了等效Q[3]和等效慢波理論,以解釋薄互層波動(dòng)等效、裂縫波動(dòng)等效和低頻陰影[4]等現(xiàn)象。1988—2004年間油儲(chǔ)項(xiàng)目成果研究[5-8]將數(shù)學(xué)和物理學(xué)的最新成果迅速引入到勘探地震波傳播領(lǐng)域,并發(fā)展出了多維逆散射[9-10]、波場(chǎng)延拓辛幾何算法[6]、非對(duì)稱走時(shí)算法[11-13]和橫向非均勻彈性介質(zhì)方向波響應(yīng)等理論[14]。

我們基于橫向非均勻彈性介質(zhì)方向波響應(yīng)理論[14],利用本征函數(shù)將頻率域波動(dòng)方程展開,推導(dǎo)出了方向波耦合方程,利用方向波相互耦合矩陣的對(duì)稱性質(zhì),推導(dǎo)出自回歸算子齊次方程[9]。

我們基于層狀介質(zhì)的聲波方程,將自回歸算子的逆表示透射波,稱為透射波的線性預(yù)測(cè)表示[15],將該表示與反射波的透射波自相關(guān)表示(又稱為譜乘積表示、譜分解表示)相結(jié)合,可以得到層狀介質(zhì)的Yule-Walker方程和Levinson遞歸反演方法[15],該方法已經(jīng)推廣應(yīng)用于P-SV波[16]。Levinson遞歸反演方法的缺陷是反演層數(shù)一般小于12層,而反演層數(shù)再增加的時(shí)候不夠穩(wěn)定。已有的研究表明,自回歸算子滿足一個(gè)齊次方程[9],如果采用李代數(shù)方法[17]進(jìn)行正、反演,反演結(jié)果比采用Levinson遞歸反演方法得到的結(jié)果更為穩(wěn)定。

在非均勻彈性介質(zhì)情況下,利用自回歸算子齊次方程,采用Magnus方法歸入圈代數(shù)和維拉宿代數(shù)[1-2],可以進(jìn)一步研究強(qiáng)不均勻介質(zhì)的共振現(xiàn)象,這對(duì)強(qiáng)耦合裂縫介質(zhì)響應(yīng)的研究有重要意義,使合理地解釋低頻陰影現(xiàn)象變?yōu)榭赡?。可分表示、快速多極算法和多尺度算法的出現(xiàn),使單程波指數(shù)映射的快速計(jì)算成為可能[18]。以往的推導(dǎo)中[14],存在一個(gè)符號(hào)錯(cuò)誤,本文糾正了符號(hào)錯(cuò)誤,并補(bǔ)充了微分散射矩陣的對(duì)稱性質(zhì)。

1 傳播向量微分方程組

方向波積分表示的基礎(chǔ)是方向波微分方程組,方向波微分方程組可從(1)式垂向一階彈性波微分方程出發(fā)導(dǎo)出,其形式如下:

(1)

式中:B為傳播向量;ω為圓頻率。其中,H,N分別為:

2 方向波象征分解

2.1 象征的定義和計(jì)算[11,13,22,23]

式中:這里x,y是水平坐標(biāo);kx,ky是水平波數(shù)。Dx為?b/i?x,Dy為?b/i?y,?b為對(duì)b求導(dǎo)。

(7)

(8)

此運(yùn)算運(yùn)用了萊布尼茲法則,稱為Witt積。

2.2 方向波分解方程的象征齊次函數(shù)求解法

算子矩陣的方向波分解方程如下:

HW=NWQ

(9)

(10)

Q=diag(Q1,Q2,Q3,Q4,Q5,Q6)

(11)

Q=diag(Q+,-Q-)

(12)

式中:Q,W為6×6階矩陣,矩陣元素為象征,Q為垂直慢度算子;W的列向量是方向波的運(yùn)動(dòng)-應(yīng)力向量。Q+,Q-為3×3對(duì)角陣,分別為上行波和下行波垂直慢度算子,一般情況有:

(13)

算子方程(9)在象征域求解較為簡(jiǎn)便,在象征域有:

(14)

即:

(15)

其中:

式中:q[0],q[-1],q[-2]為最高齊次性分別為0次,-1和-2次;w[0]w[-1]w[-2]最高齊次性分別為0次,-1和-2次。按方程的齊次性分級(jí)求解,對(duì)比象征方程(15)兩邊齊次性,可得:

(19)

方程(19)是傳統(tǒng)的方程,其解法已由FRYER等[19-20]闡明,本文簡(jiǎn)述如下。

(20)

由于N的存在,該式形式上與本征展開不同。根據(jù)方程(4)和方程(20)容易證明:

文獻(xiàn)[14]中少了共軛的符號(hào),q[-1]+q[-2]見文獻(xiàn)[14]。

2.3 方向波象征分解的能流歸一化

方程(15)可寫為:

(25)

記算子轉(zhuǎn)置的象征為:

(26)

根據(jù)齊次性分級(jí)計(jì)算方法和方程(25)可以證明:

(27)

設(shè)

(28)

引入能流歸一化的解:

(31)

有:

(32)

將歸一化后的wi′仍記為wi,可得:

(33)

有:

(34)

據(jù)此可以將逆矩陣表示為:

(35)

當(dāng)垂直慢度為實(shí)數(shù)時(shí),所有本征向量象征均為實(shí)數(shù),矩陣元素為實(shí)數(shù)。

3 微分散射矩陣的對(duì)稱性

3.1 方向波微分方程組

時(shí)間空間域中W是6×6階矩陣,其象征為w,矩陣元素為象征,即σ(W)=w,在時(shí)間空間域,設(shè):

(36)

式中:U是上行波波場(chǎng);D是下行波波場(chǎng)。

由方程(15)可得象征域(頻率波數(shù)域)算子部分本征分解(區(qū)別于完全本征分解):

(37)

其時(shí)間空間域形式為:

(38)

將其帶入(1)式,可得:

(39)

即:

(40)

令中間變量S:

(41)

可得:

(42)

該式稱為方向波微分方程組。

3.2 微分散射矩陣象征關(guān)于轉(zhuǎn)置運(yùn)算的對(duì)稱性

方程(41)給出的S稱為微分散射矩陣算子,對(duì)應(yīng)的象征形式(或者頻率波數(shù)域方程)為:

(43)

式中:s是描述頻率波數(shù)域單反射、單透射的微分散射矩陣象征,其元素為微分散射算子的象征。根據(jù)方程(33)有:

(49)

將方程(49)帶入方程(45)可得:

(50)

即:

(51)

記:

(52)

則根據(jù)公式(48)可得:

(53)

根據(jù)公式(51)可得:

(54)

方程(53)和方程(54)稱為微分反射透射矩陣象征關(guān)于轉(zhuǎn)置運(yùn)算的對(duì)稱性。

3.3 微分散射矩陣象征關(guān)于變量倒轉(zhuǎn)的對(duì)稱性

(55)

方程(10),方程(11),方程(12)即為:

(56)

方程(15)或者方程(26)可寫為:

h(ω,k)#wi(ω,k)=Nwi(ω,k)#qi(ω,k)

(57)

和

(58)

利用Christoffel方程、傳播矩陣微分方程[19-20]和前述象征進(jìn)行齊次運(yùn)算,不難證明:

(59)

即波數(shù)變號(hào),上下行波換方向:

q+(ω,k)=q+(-ω,k)=-q-(-ω,-k)

(60)

據(jù)此,方程(58)改寫為:

(61)

根據(jù)傳播矩陣微分方程,可得:

(62)

將公式(62)代入方程(61)與方程(57)比較可得:

(63)

帶入方程(43)可得:

(64)

即:

(65)

和

(66)

4 反射算子的因果分解表達(dá)

4.1 Lie代數(shù)微分方程的解[17,9,10]

(67)

式中:Bn為Bernoulli數(shù)。對(duì)于方程:

(68)

的解可寫為:

(69)

即:

(70)

(71)

利用方程(67)式不難證明:

(72)

4.2 彈性波單程波算子和廣義WRW模型

設(shè):

(73)

則方程(42)可以變?yōu)?

(74)

式中:exp(-η(iωq++suu))和expη(-iωq-+sdd)均為彈性波單程波算子,是標(biāo)量情況下真振幅偏移[3]的推廣;sud[1](z,ω,k)為廣義WRW模型(sud充當(dāng)R,彈性波單程波算子充當(dāng)W),它只含一次波,是準(zhǔn)確的,與玻恩近似相比它是一種忽略了多次波的近似。

4.3 上下行波的能流守恒

利用方程(54)和方程(72),可得:

(77)

可得:

(80)

由方程(79)、方程(80)可得:

利用方程(74)、方程(81)可得:

(84)

這是能流守恒方程在歸一化上下行波系數(shù)上的反映。

4.4 振幅輻射傳遞方程的解

(85)

由方程(86)、方程(87)可得:

(88)

(89)

方程(86)、方程(87)可寫為:

4.5 反射響應(yīng)的預(yù)測(cè)算子分解

設(shè)

a(z,ω,k)=-f11(z,ω,k)+f21(z,-ω,-k)

(92)

利用公式(90)可得:

(93)

(93)式稱為預(yù)測(cè)算子象征的齊次方程。將反射波響應(yīng)、透射波響應(yīng)的邊界條件:

(94)

帶入方程(85)可得:

(95)

(95)式的第1和第4行可寫為:

0=f11(z,ω,k)(I3+r(0,ω,k))-

f12(z,ω,k)r(0,ω,k)

(96)

(97)

(96)式和(97)式相加,利用方程(88)、(92)可得:

(98)

可得:

式中:a(z,ω,k)稱為預(yù)測(cè)算子的象征,它是點(diǎn)源透射波響應(yīng)的逆算子響應(yīng)。利用(99)式,(100)式可得:

(101)

(101)式稱為反射響應(yīng)預(yù)測(cè)算子分解的象征形式,由于預(yù)測(cè)算子a(z,ω,k)具有因果算子象征的性質(zhì),故(101)式又可以稱為因果分解表達(dá)式。

5 小結(jié)

本文提出了橫向非均勻彈性介質(zhì)方向波的積分表示,正演計(jì)算的過程是:①利用象征齊次函數(shù)分級(jí)求解本征值問題;②利用本征函數(shù)沿深度變化求微分散射矩陣象征;③求取單程波散射算子象征;④求解自回歸算子齊次方程;⑤利用自回歸算子求取反射算子象征。這種積分表示與一維譜分解、P-SV波譜分解、橫向變速譜分解兼容。自回歸算子齊次方程對(duì)研究諧振散射有重要意義。

致謝:感謝李幼銘教授領(lǐng)導(dǎo)的“八五”,“九五”油儲(chǔ)項(xiàng)目提供了理論和應(yīng)用相結(jié)合的平臺(tái),使得引入李群和擬微分算子改進(jìn)頻率域散射理論成為可能。