曹博書 ，宋 劍 ，陳 斌

（1.中國民航大學飛行技術學院，天津 300300；2.中國南方航空股份有限公司機務工程部，廣州 510470）

永磁同步電機（PMSM，permanent magnet synchronous motor）體積小、重量輕、功率大，具有良好的短時過載性能，因此在舵機和操縱負荷系統(tǒng)等低速大扭矩領域具有廣闊的應用前景[1]。但在重載情況下交直軸電感飽和，交直軸磁路之間產生耦合效應，磁路飽和磁阻增大導致永磁體退磁；同時，齒槽效應導致磁阻變化、改變磁場諧波分布及電機齒槽位置磁儲能大小，使得經典的dq軸電機模型不能反映電機重載情況下的電磁轉矩特性。因此，建立一種重載情況下考慮磁儲能變化的飽和諧波模型，對研究脈動轉矩特性，特別是不考慮溫升效應的短時過載特性具有重要意義。

目前，電機飽和模型的研究主要是利用凍結磁導率法，在凍結電機某一運行狀態(tài)的鐵心磁導率和磁場分布前提下，分別計算轉子永磁體、交直軸電流單獨作用時的磁場。由此計算出對應的電感值，該方法雖然能較為準確地提取交直軸飽和自感和互感參數，但沒有考慮磁路飽和磁阻增大對永磁體的影響。作為永磁電機的重要參數，永磁體隨著磁路磁阻增大而退磁，即永磁體等效激磁電流隨磁路飽和而減小，同時由于飽和時交直軸之間存在耦合效應，重載時永磁體在交直軸均激發(fā)磁場，因此飽和情況下還存在交軸等效激磁電流[2-5]。文獻[6-7]考慮了交直軸飽和電感和永磁體磁場諧波，但為了簡化模型忽略了定子繞組磁場諧波，實際上電機重載時定子繞組磁場諧波對轉矩諧波的影響遠大于永磁體磁場諧波對轉矩諧波的影響。

根據電磁能量轉換原理，考慮磁飽和、永磁退磁與定子繞組磁場諧波效應，推導完善考慮磁儲能變化的反電動勢和電磁轉矩諧波計算公式。以一臺內埋式永磁同步電機為例，利用有限元法，提取不同交直軸電流情況下的電磁參數，在Matlab仿真平臺建立電機數學模型并導入相關參數。通過仿真實驗與有限元分析對比，證明該模型提高了電機在重載情況下反電動勢和轉矩的諧波特性模擬程度。

1 磁儲能變化的PMSM飽和諧波模型推導

考慮諧波效應的PMSM定子側電機磁鏈模型為

雖然齒槽效應為氣隙磁導率周期變化導致的電感諧波，但為了便于公式推導，將氣隙磁鏈諧波分量單獨設為一項。由此，式（1）中：LABC0為三相繞組電感基波分量矩陣；IABC、ψf0ABC和ψk分別為定子電流矢量、永磁體磁鏈基波在三相繞組的分量和k次磁鏈諧波幅值，其中 k=2n+1，n=1，2，…；θe為轉子電角度。由于齒槽位置磁阻差異較大，且隨著交直軸電流不同，合成磁場相位也會偏離轉子永磁體基波磁場相位，因此，不能簡單地認為諧波磁鏈和永磁體轉子的基波磁場具有相同相位。定義θk0反映k次諧波磁鏈偏離轉子永磁體位置的情況，磁鏈諧波是轉子永磁材料和定子電流共同作用的結果，定子電流不同，θk0值不同。

對式（1）進行dq變換，得到轉子側磁鏈模型為

其中：n=1，2，…，由于式（1）中 k 為3 的倍數的磁鏈諧波dq變換后為0，因此轉子側磁鏈諧波為奇次諧波且不含有3n次諧波。ifdq為永磁體等效交直軸激磁電流，隨著飽和程度加深，直軸等效激磁電流ifd將減小。

式（2）中，轉子側交直軸電感基波分量為

根據電磁轉換原理，反電勢計算公式為

對其進行dq變換，得到轉子側反電勢為

其中：ωe為轉子電角速度，將式（2）代入式（4）得

由虛位移法可知，電磁轉矩和輸入電能與磁儲能變化關系為

式（6）中，等式左側為輸出的機械能，等式右側左部為輸入電能，中部為繞組電阻消耗的電能，右部為電機磁儲能的微分量，Wm表示磁儲能。文獻[7]所介紹的傳統(tǒng)諧波模型中忽略了磁儲能微分量對轉矩的影響，導致計算轉矩諧波值偏大，特別是磁路嚴重飽和的情況下，遠大于有限元分析的轉矩諧波情況。

忽略磁滯損耗和渦流損耗等效電流對轉矩的影響，按照最簡單積分路徑方法計算磁儲能微分量，先將轉子置于指定位置，然后再施加永磁體等效激磁電流和定子繞組電流，則任意位置磁儲能為

磁儲能對轉子位置的微分量為

根據電流和磁鏈的關系，式（7）可轉化為

將式（2）、式（3）、式（8）代入式（6），得到考慮磁儲能變化的電磁轉矩計算式為

式（9）中，第1部分為考慮了磁飽和及永磁體退磁的電磁轉矩基波分量，第2部分為不考慮磁儲能變化的轉矩諧波分量，第3部分為磁儲能變化對電磁轉矩的影響。

2 PMSM參數提取方法

在不考慮磁滯損耗和渦流損耗的情況下，磁場諧波頻相主要與電流有關，與轉速無關，使電機保持在恒定轉速，利用凍結磁導率法提取不同電流轉速下的三相電感曲線，并進行dq變換。由于不同齒槽位置的電感參數不同，得到包含諧波分量的交直軸電感曲線，對其進行傅里葉變換，得到電感參數基波值，即交直軸自感和互感參數基波曲線。

同理可得交直軸磁場基波參數曲線，等效交直軸激磁電流基波值為

諧波磁場的提取方法為：對A相繞組磁場進行傅里葉變換，得到各奇次諧波的幅值ψk和各次諧波超前于轉子的角度θ0k。

在Matlab/Simulink仿真平臺下，將有限元法提取的不同交直軸電流對應的電感、永磁體等效激磁電流和諧波磁場幅值相位參數導入到lookup table查表模塊，通過線性插值法得到不同交直軸電流對應的電機電磁參數。

設定轉子初始位置、初始交直軸電流，查表得到交直軸磁鏈基波和諧波的幅值相位，通過式（5）計算電機反電勢，根據式（9）計算電機電磁轉矩。

3 仿真驗證

利用有限元軟件ANSYS EM對一臺給定的IPMSM進行電磁分析，采用ANSYS EM材料庫中的標準材料，提取交直軸電感、等效激磁電流和諧波磁場的幅值相位情況，電機參數如表1所示。

表1 永磁同步電機樣機參數表Tab.1PMSM parameters

利用凍結磁導率法提取的交直軸自感及互感基波分量如圖1～圖3所示。

圖1 直軸電感Ld與交直軸電流id和iq的關系Fig.1 Relationship between Ld,idand iq

圖2 交軸電感Lq與交直軸電流id和iq的關系Fig.2 Relationship between Lq,idand iq

圖3 互感Ldq與交直軸電流id和iq的關系Fig.3 Relationship between Ldq,idand iq

由于交軸沒有永磁體，不涉及退磁問題，交軸電流激發(fā)磁場的能力與交軸電流大小有關，與方向無關，因此只分析iq＞0的情況。

通過圖1可知，隨著id增大，有限元分析得出Ld增大，與傳統(tǒng)的磁路飽和理論不符。這是因為傳統(tǒng)電機模型使用線性永磁材料，永磁體不退磁的情況下，磁導率不變。為了更好地反映實際情況，選用ANSYS EM默認材料庫中的非線性永磁材料NdFe35，隨著磁路飽和，永磁體等效激磁電流ifd0減小，永磁材料退磁，永磁體磁導率增大，如圖4所示。由于直軸等效磁路中永磁體和鐵芯串聯形成，因此隨著id增大，凍結磁導率法計算出的直軸電感Ld仍然增大。但是隨著iq增大，磁路趨于飽和，Ld隨iq增大而減小。

圖4 永磁體等效直軸激磁電流基波分量ifd0與交直軸電流id和iq的關系Fig.4 Relationship between equivalent d axis excitation current of permanent magnet ifd0and id,iq

如圖5所示，當電機負載較輕、iq較小時，ifq0幾乎為0，但隨著電機負載增大、iq較大時，沿直軸擺放的永磁材料在交軸表現出了一定的抗磁性，即ifq0＜0。

圖5 永磁體等效交軸激磁電流基波分量ifq0與交直軸電流id和iq的關系Fig.5 Relationship between equivalent q axis excitation current of permanent magnet ifq0and id,iq

各次諧波超前于轉子的角度如圖6～圖9所示。為了簡化模型，這里僅分析5次和7次磁場諧波幅值相位情況。

將有限元法提取的電感參數導入到Matlab仿真平臺下搭建數模的lookuptable查表模塊中，為了驗證數模諧波特性的模擬程度，使電機保持在特定轉速，在重載條件下對比考慮磁儲能變化的飽和諧波模型、文獻[6-7]所述只考慮轉子磁場諧波的飽和模型和有限元仿真結果之間的差異。磁鏈、電壓及電磁轉矩對比結果如圖10～圖12所示。

圖6 5次諧波磁鏈幅值ψ5與交直軸電流id和iq的關系Fig.6 Relationship between 5-harmonic magnetic chain amplitude ψ5and id,iq

圖7 5次諧波磁鏈超前轉子電角度θ05與交直軸電流id和iq的關系Fig.7 Relationship between 5-harmonic magnetic chain phase θ05and id,iq

圖8 7次諧波磁鏈幅值ψ7與交直軸電流id和iq的關系Fig.8 Relationship between 7-harmonic magnetic chain amplitude ψ7and id,iq

圖9 7次諧波磁鏈超前轉子電角度θ07與交直軸電流id和iq的關系Fig.9 Relationship between 7-harmonic magnetic chain phase θ07and id,iq

模型雖考慮了定子電流對諧波磁鏈的影響，但反電勢和磁鏈的建模方法與文獻[6-7]介紹的方法并無區(qū)別，因此圖10～圖12中磁鏈和反電勢模型統(tǒng)稱為諧波模型。由圖10～圖12可知，諧波模型和有限元分析的交直軸反電勢基波與6次諧波幅值、電磁轉矩基波分量幅值、交直軸磁鏈6次諧波幅值基本一致。

圖10 id=0 A、iq=50 A時磁鏈、反電動勢及電磁轉矩諧波幅值對比Fig.10 Magnetic chain,anti-electromotive force and electromagnetic torque harmonic amplitude comparison when id=0 A,iq=50 A

圖11 id=50 A、iq=50 A時磁鏈、反電動勢及電磁轉矩諧波幅值對比Fig.11 Magnetic chain,anti-electromotive force and electromagnetic torque harmonic amplitude comparison when id=50 A,iq=50 A

圖12 id=40 A、iq=30 A時磁鏈、反電動勢及電磁轉矩諧波幅值對比Fig.12 Magnetic chain,anti-electromotive force and electromagnetic torque harmonic amplitude comparison when id=40 A,iq=30 A

在電磁轉矩諧波方面可發(fā)現，隨著交直軸電流增大，電機飽和程度加深，磁儲能變化產生的轉矩諧波幅值增大，文獻[6-7]介紹的未考慮磁儲能變化的飽和諧波模型6次轉矩諧波與有限元分析結果差異很大，而考慮磁儲能變化的諧波模型與有限元分析結果非常接近，不同重載條件下6次轉矩諧波對比如表2所示。

通過對比可以發(fā)現，在飽和程度最深的id=iq=50 A情況下，未考慮磁儲能變化模型的轉矩諧波幅值是有限元分析結果的11倍，而考慮磁儲能變化的模型只是有限元分析結果的2.2倍；當id=0 A、iq=50 A時，未考慮磁儲能變化模型的轉矩諧波幅值是有限元分析結果的1.8倍，而考慮磁儲能變化的模型只比有限元分析結果高3%；當id=40 A、iq=30 A時，未考慮磁儲能變化模型的轉矩諧波幅值是有限元分析結果的14.8倍，而考慮磁儲能變化的模型只比有限元分析結果高66%。不同交直軸電流下的對比表明，該模型大幅度提升了重載情況下轉矩諧波的模擬程度。

表2 未考慮磁儲能變化、考慮磁儲能變化及有限元法分析的電磁轉矩6次諧波幅值對比Tab.2 6-torque-harmonic amplitude comparison with/without magnetic energy storage change vs FEM results

4 結語

研究了磁儲能變化對轉矩諧波的影響，完善了電磁轉矩的計算公式及數學模型。通過有限元分析法，提取了飽和電感曲線、等效激磁電流曲線和磁場諧波幅值相位曲線。在Matlab仿真平臺上建模，與傳統(tǒng)的飽和諧波模型對比，并與有限元分析結果進行比較研究。結果表明，考慮磁儲能變化的飽和諧波電機數學模型能夠更準確地反映飽和情況下電機電磁轉矩的諧波特性，為電機重載控制，特別是不考慮溫升對電磁參數影響的短時重載控制提供了更加準確的理論依據。